IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Это линейное пространство называют прос7пракс7пвом суммируемых на [о, 6] дзуккцик и обозначают 11[а,6]. Введем в линейном пространстве Ь1[а,6] корму, полагая ]]Д = Щх)[~Ь, 7' Е Тала,6]. а В силу теоремы 7.2 функция [Дх)[ суммируема, поэтому определение нормы функции 7" корректно. Нетрудно показать, что 544 7. РЯДЫ НО ОРтОГОнАльным системАм В ьт(а,ь] все аксиомы нормы выполнены. В частности, выполнение первой аксиомы (а именно]]П =0 с=» у =0) обеспечено тем, что в Ьт[а,Ь] отождествлены все функции, равные почти всюду на [а, Ь].
Следовательно, линейное пространство Ьт[а,Ь] является нормированным пространством. Сходимость последовательности функций (Я в нормированном пространстве А|[а, Ь] к некоторой функции 7, т.е. сходимостпь последовательности элементов нормированного пространства от[а, Ь] по норме, введенной в от [а, Ь], означает, что Такую сходимость называют сходимостпью в среднем. Име- ет место следующая теорема. Теорема 7.5*.
Нормированное пространство Ьт[а,Ь] суммируемых на отрезке [а, Ь] функций является сепарабельным банаховым простпранстпвом. Отметим, что всюду плотпным подмногтсеством в нормированном пространстве Ьт [а, Ь] является, например, множество непрерывных на отрезке [а, Ь] функций, а счетным всюду плотным подмножеством в Ьт[а, Ь] — множество многочленов с рациональными коэффициентами. 7.5. Гильбертово пространство Аз[а,Ь] Для многих приложений функционального анализа более существенную роль по сравнению с пространством суммируемых функций играет другое функциональное пространство, являющееся евклидовым (а не только нормированным) пространством. 'Доказательство смл Колмогоров А.Н., Фомин С.В.
545 7.5. Гильбертово проотрввство йг(о,6) Определение Т.5. Измеримую на отрезке [а, 6] функцию ~: [а, Ь] -+ К называют функцией, суммируемой с квадратном на отрезке [а, 6], если на [а, Ь] суммируема функция У (х) Множество всех функций (с отождествлением любых двух функций, равных почти всюду), суммируемых с квадратом на отрезке [а, 6], образует линейное пространство, которое называют пространстпвом функиий, суммируемых с квадратпом, и обозначают Ьг[а,Ь].
Таким образом, Дх) е юг[а,Ь] е=» г'~(х) е 51[а,6]. Докажем, что 5г[а,Ь] действительно является линейным пространством. Из свойств интеграла Лебега и очевидного неравенства [у(х)д(х)[ (, х Е [а, Ь], ~г(х)+дг(х) следует, что произведение Дх)д(х) двух суммируемых с квадратом функций 1(х) и д(х) являетсв суммируемой функцией. Отсюда, положив д(х)»вЂ” н 1, заключаем, что всякая суммируемая с квадратом функция ~(х) является суммируемой, т.е. Ьг[а, 6] С 51[а,Ь]. Из равенства у(х) + д(х)]г уг(х) + 2у(х)д(х) + дг(х) и свойства линейности интеграла Лебега следует, что сумма двух суммируемых с квадратом функций также является функцией, суммируемой с квадратом. Очевидно, что если Дх) суммируема с квадратом, то и функция Йу(х), Й Е К также суммируема с квадратом.
Это доказывает, что множество .Ьг[а, 6] замкнуто относительно операций сложения функций и умножения функции на число. Нетрудно проверить, что эти операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства и что Ьг[а,Ь] является линейным пространством. Отметим,что 546 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ег(а,Ь) линейное пространство Ьг[а,6] бесконечномерное, поскольку в нем имеются бесконечные линейно независимые системы элементов. Например, система одночленов 1, х, хг, х", принадлежащих г 2[а,6], линейно независима. Зададим в линейном пространстве Ьг[а,6] скаллрное умножение, положив (У, д) = ((х)д(х)ах, (,д ег 2[а,Ь]. а Выполнение аксиом скалярного умножения проверить несложно.
Отметим, что выполнение аксиомы (у, у) = О е=ь г = О обеспечивается тем, что в 2.2[а, 6] отождествлены все функции, равные почти всюду на [а, 6]. В частности, в качестве нулевого элемента („нуля") линейного пространства Хг[а,Ь] можно использовать не только функцию у(х) ь— в О, но и любую функцию, равную нулю почти всюду на [а, Ь]. Таким образом, линейное пространство Ьг[а,6] является бесконечномерным евклидовым пространством.
В Ьг[а, 6], как и во всяком евклидовом пространстве, выполняется неравенство Коши — Буняковского, которое для 2.2[а, Ь] принимает вид Ь 2 Ь Дх)д(х)дх < ~ (х)<Ь д (х)дх. Норма, индуцированнаа этим скалярным умножением в юг[а,Ь], определяется формулой у Е г,г[а,Ь]. Сходимость функциональной последовательности (Я~~ 1 к функции г'(х) в Тг[а,Ь], т.е. сходимость последовательности 547 7.5.
Гильбертово орострввство Вг(а, о) злементпов ( Я нормированного пространства Аз[а, Ь] к злемен- ту т' по норме в Аз[а, Ь], означает, что | [~я(х) — Дх)) дх -+ О, Ь -+ оо. а Такую сходнмость называют сходимостпью в среднем нва- дратпичном. Теорема 7.В'. Евклидова пространство Аз[а, Ь] полно, т.е. является гильбертовым. Гильбертово пространство Аз[а,Ь], как и банахово простпранстпво 11[а, Ь], является сепарабельным, т.е. обладает счетным всюду плотпным подмножеством. Таким подмножеством для Аз[а,Ь] является множество многочленов с рациональными козффициентами.
Напомним, что числовую фуннтфито Дх), заданную на отрезке [а, Ь], называют кусочно постпояннот1 (также ступенчатпоб), если отрезок [а, Ь] можно разбить на конечное число таких отрезков [а,а1], [ам аз], ..., [а„ма„], [а„,Ь], внутри которых (т.е. в интервалах (а;, а;+1), 1 = 1, и) функция Дх) постоянна. Теорема 7.7*'. Каждое нз перечисленных ниже множеств функций, заданных на отрезке [а, Ь], является всюду плотным множеством в гильбертовом пространстве Аз[а, Ь]: 1) множество измеримых ограниченных функций; 2) множество непрерывных функций; 3) множество многочленов; 4) множество кусочно постоянных функций; 5) множество функций, принимающих на [а, Ь] конечное число значений.
"Доказательство смл Колмогоров А.Н., Фомин С.В. "Доказательство сил Натлансон Н.Н. 548 7. РЯДЫ НО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ь~[а,Ь) Кроме того, класс гпригонометричесних полиномов, заданных на отрезке [-1г,я], является всюду плотным подмножеством в гильбертовом пространстве Ьэ[ — я, я]. Поскольку для различных отрезков [а, Ь] гильбертовы пространства Аз[а,Ь] сепарабельны, то, согласно теореме 6.17, все они иэоморфны гильбертову пространству еэ, и, следовательно, изоморфны между собой.
Для любого отрезка [а, Ь] в сепарабельном гильбертовом пространстве Ьэ[а,Ь], согласно теореме 6.16, существует счетныг1 ортонормированный базис. Если (гр„)~ — некоторый счетный ортонормированный базис в Ьэ[а, Ь], то в соответствии с общими результатами (см. 6) каждую функцию г Е Ьэ[а,Ь] можно единственным образом раэлоэгеить в ряд по этому базису. Этим рядом является ряд Фурье функции 7' по системе 1Р )."=: Для функции 1 Е Йэ[а,Ь] и ее коэффиииентов Фурье с„по системе (грп)'~ 1 выполняется равенство Ларсеваля: 7.6. Тригонометрическая система Рассмотрим гильбертово просгпрансгпво Ьэ[-я,1г] функций, суммируемых с квадратом на отрезке [ — я, 1г]. Триеонометричесная сисгпема 1 сов х впгх СОВПХ В1ППХ фг ~/т 1/Я 1/Я 549 7.б.
Тригонометрическая система является ортонормированной системой в сепарабеяьном гильбертовом пространстве Ь|[-я,я]. Действительно, ортонормированность этой системы была установлена, когда она рассматривалась в евклидовом пространстве Ев[ — я,я], скалярное произведение в котором то же, что и в Аз[а, 6] (различие в типах интеграла не в счет: интегралы Римана и Лебега от кусочно непрерывных функций совпадают). Теорема 7.8.
Тригонометрическая система (7.7) является счегпным оргпонормированным базисом в гильбертовом пространстве Ьз[-гг,я]. < В силу теоремы 6.12 для доказательства утверждения теоремы достаточно доказать эамкнугпость тригонометрической системы (7.7). Иными словами, достаточно доказать, что линейная оболочка системы (7.7), т.е. мноэгсество Т всех тригонометрических пояиномов вида Р(х) =аз+~~> (аьсовйх+6ьвшйх), является всюду плотным в Ьэ[ — я,я]. Доказательство этого утверждения проведем в два этапа: произвольную функцию 7 (х) из Ьз[ — я, гг] аппроксимируем непрерывной функцией д(х), затем функцию д(х) аппраксимируем непрерывной функцией гг(х) с равными значениями на концах отрезка [ — я, я].
Применив к функции 6(х) теорему Вейеригтрасса, придем к утверждению теоремы. Итак, пусть у (х) — произвольная функция из Ьз[ — я,я]. Так как множество всех непрерывных на отрезке [ — я, гг] функций всюду плотно в Ьз[ — я, я] (см. теорему 7.7), то для любого числа с ) 0 найдется непрерывнвл на отрезке [ — я, гг] функция д(х), такая, что 550 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ В Ьг(а,Ц Непрерывная на отрезке [ — я, я] функция д(х) ограничена на нем, т.е. для некоторого числа М > > 0 верно неравенство [д(х)[ < М, х Е [ — я, я]. Выберем положительное число г 6 = — тпш~ —, 2я~ 2 36Мг' и рассмотрим непрерывную на от- резке [ — я, я] функцию (рис. 7.1) Рис.
7.1 д(х), -я<х<я — б; Ь(х) = д( , ) д(я б) (х — я) + д( — гг), гг — Б < х < я. График функции бг(х) на промежутке [я — 6, я], представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки В(я;д( — гг)) и А(я — б;д(я — б)). Из построения следует, что функция 6(х) ограничена, причем той же константой, т.е. [а(х)[ < М, х Е Е [ — я,гг]. Оценим расстояние в гильбертовом пространстве Ьг[ — гг, я] между функциями д(х) и Цх): д — Ь[[ = [д(х) — /г(х)[ г~х = [д(х) — Ь(х)[гггх < — в в-б л < ~0а( г'+гг( ~3!а(*н~-г( ~3')~< 1г-б г < (М +2М +М )б<4М Значит, [[д — Ц[ < е/3.
Т.б. Хригоиометрическак система Поскольку функция Ь(х) непрерывна и Ь( — 7г) = Ь(я), то, согласно теореме Вейерштрасса, существует тригонометрический полипом Р(х), такой, что [Ь(х) — Р(х)] < —, х Е [ — 7г, 7г]. З~Г2я Оценим расстояние между функцией Ь(х) и этим полиномом Р(х) в 77[-я,7г]: [[Ь вЂ” Р]]2 = ]Ь(х) — Р(х)]здх < 1 — дх = —. 77 187Г 9 Следовательно, []Ь вЂ” Р[[ < с/3. Теперь, наконец, получаем []У-Р[[=][(У-д)+(д-Ь)+(Ь-Р)]] < 3 3 3 < [[у — д[[+ ]]д — Ь[] + []Ь вЂ” Р[[ < — + — + — = с, т.е.
во всякой с-окрестности функции Г(х) Е Ьз[-7г, 7г] есть хотя бы один тригонометрический полипом Р(х). Это означает, что множество Т всех тригонометрических полиномов всюду плотно в Ьг[ — 7г,7г]. а' Поскольку тригонометрическая система (7.7) является базисОм В Х~з[ — 7Г,7Г], тО любую функцию 1 е Ьз[ — 7Г,7Г] мОжнО разложить в рлд Фурье по этому базису: где нулевой Гсоэфд7в77иент Фурье со функции Г' по базису (7.7) в соответствии с общей теорией вычисляется по формуле 552 7. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЪНЫМ СИСТЕМАМ В й2(а,Ь) Обозначая Л' к получаем разложение функции Г е Г|[ — к,к] в гпригонометрический рлд Фурье: ,Г(х) = — +~а„совпх+Ь„вшпх, ь1 ав 2 к=1 где коэффициенты а„и Ь„определяются формулами: 1 Г а„= — /,Г(х)совпхдх, и = О, 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
