IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж и Л. Эйлер, изучавшие некоторые проблемы математической физики, оказались вовлеченными в дискуссию по поводу возможности представления „произвольной" 2я-периодической функции в виде суммы тригонометприческоео ряда ае/2+ ~;(аьсоз/сх+Ььв!пах). В начале Х1Х в. работы франь=1 цуэского математика Ж.Б. Фурье открыли новую эпоху в развитии теории тригонометрических рядов. Фурье мог представить в виде суммы тригонометрического ряда (в настоящее время называемого рядом Фурье) любую функцию, которую ему в то время могли предложить. В его книге „Аналитическая теория тепла", вьппедшей в 1822 г., содержится много частных примеров таких представлений и их применения.
Попытки Фурье доказать, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, привели к углубленному исследованию понятия функции и проблемы представимости функций тригонометрическими рядами такими учеными, как Дирихле, Лобачевский, Риман и др. Дальнейшее изучение рядов Фурье способствовало развитию теории интегрирования, послужило одной иэ предпосылок для создания ряда современных математических дисциплин, таких, как дифференциальные уравнения с частными производными, теория функций действительного переменного, функциональный анализ.
3.1. Ортонормированные системы и ряды Фурье В этой главе много внимания уделено бесконечномерным евклидовым пространствам. Напомним, что евклидовым пространством называют линейное пространство Ь, в котором 3.1. Ортоворыировавиые системы и рядн Фурье 239 ь (у, д) = Дх)д(х)дх. о (3.1) Легко проверить, что данное отображение удовлетворяет первым трем аксиомам скалярного умножения. Однако последняя задано скалярное умножение, т,е. отображение ~: Ь х Ь -+ Ж, ставящее в соответствие упорядоченной паре элементов линейного пространства Ь число и удовлетворяющее аксиомам скалярного умножения: 1) (х,у)=(у,х),х,убей; 2) (х + у, г) = (х, г) + (у, г), х, у, е Е Ь; 3) (Лх, у) = Л (х, у), х, у Е Ь, Л Е И; 4) (х, х) > О, причем (х, х) = О лишь в случае, когда х = О. Линейное (евклидова) пространство бесконечномерное, если в нем можно выбрать любое количество линейно независимых элементов. Линейное пространство образует множество всех кусочно непрерывных на отрезке [а, 6] фуннциб, т.е.
функций, непрерывных всюду на отрезке [а, Ь] за исключением конечного числа точек, в которых эти функции имеют разрывы первого рода. При этом под сложением элементов линейного пространства и умножением элемента на число понимаются обычные операции сложения функций и умножения функции на число. Нулевым элементом в этом линейном пространстве является функция, тождественно равная нулю на отрезке [а, Ц, т.е.
равенство ~ = О в этом линейном пространстве означает, что Дх) ьв О на [а, 6]. Отметим, что произведение любых двух функций ~ и д из рассматриваемого линейного пространства является кусочно непрерывной и, следовательно, интегрируемой на отрезке [а, 6] функцией. Значит, в этом линейном пространстве определено отображение, которое любым двум функциям ~ и д ставит в соответствие действительное число (у, д): 240 3. РЯДЫ ФУРЬЕ аксиома (четвертая) не выполняется. Действительно, (~, ~) = ~~(х)сЕх = 0 а ~(х;+0) + ~(х; — 0) ~(х;) = 2 1 (3.2) а значения на концах отрезка [а, 6] одинаковы и равны полу- сумме односторонних пределов функции в этих точках: ~(.) ~(6) П +О)+ ПЬ-О) 2 Докажем, что для суженного линейного пространства кусочно непрерывных функций введенное отображение (у, д) удовлетворяет четвертой аксиоме скалярного умножения.
Ь Пусть (~, у) = ] ~~(х) пх = 0 и точка хе Е (а, 6) — произвольа ная точка непрерывности функции ), в которой Дхо) ф О. Тогда ~~(х) > 0 на [а, 6], ~~(х) непрерывна в точке хе и ~~(хе) > О. Согласно свойствам определенного интеграла [Ч1], заключаем, что для любой функции ~(х), равной нулю на [а, 6] всюду, кроме некоторого конечного числа точек. Такая функция кусочно непрерывна на [а, 6], но не является нулевым элементом линейного пространства, так как она не равна тождественно нулю на всем отрезке [а, Ь]. Чтобы обеспечить выполнение четвертой аксиомы скалярного умножения для введенного отображения (У, д), условимся рассматривать только те кусочно непрерывные на отрезке [а, Ь] функции у(х), значения которых в каждой внутренней точке их разрыва х; равны полусумме правого и левого пределов в этой точке: 3.1.
Ортовормировеивые системы и ряды Фурье 241 что противоречит предположениям. Следовательно, в любой точке х непрерывности функции 1 выполняется равенство 1(х) = О. Пусть теперь хО е (а, 6) — точка разрыва функции 1(х). Поскольку точек разрыва у функции конечное число, то для любой точки разрыва хО найдется такая ее проколотая окрестность, в которой функция Дх) будет непрерывна и, значит, равна нулю. Поэтому У(хо — 0) = Бш Дх) = О, ~(хе+0) = 1ш1 ~(х) = О, х-+ва-О *-+во+О поскольку Дх) = 0 в точках непрерывности. Отсюда, согласно условию (3.2), имеем равенство Дхо) = О. Аналогично для точек а и Ь найдутся интервалы (а, аО) и (6О, Ь), в которых функция ~ непрерывна.
Следовательно, ~(а+0) = 0 и ~(Ь-0) = О. В силу условия (3.3) получаем ~(а) = 1 (6) = О. Таким образом, Дх) = О, х Е [а, Ь]. Итак, линейное пространство всех кусочно непрерывньпе на отрезке [а, 6] функций, удовлетворяющих условиям (3.2), (3.3), является евклидовым пространством со скалярным произведением (3.1). Это евклидово пространство будем обозначать через Ее[а,Ь]. В каждом евклидовом пространстве Е можно ввести евклндову норму по формуле В случае евклидова пространства Ее[о,Ь] норма элемента ~ определяется следующим образом: ]]Д = ]Дх)]~ дх.
а (3.4) Два элементпо ~ и д евклидова пространства называют ортпоеональными, если (~, д) = О. Пусть в евклидовом пространстве Е задана некоторая бесконечная последовательность элементов р1, ерэ " > чЬо " Эту 242 3. РЯДЫ ФУРЬЕ последовательность называют ортонормирое анной сисгпе- мой, если для любых натуральных 1 и у, злу, т.е. элементы этой последовательности попарно ортогоназьны и все имеют единичную норму. Пример 3.1. Ортонормированной системой в евклидовом пространстве Ез( — х,х1 является триеонометричеснал система: соя пх в1ппх /я ' ~(я 1 соях в1пх /2 Л Л (3.5) 1 сов пх 1 — — ггх = вшпх = О; ~(2~г ~Я ~/2хп -в -в 1 гйппх 1 — — Их = — — соя пх = О. ~/2я ~/я ~тяп -и -в сових сов гих Попарно ортогональны и функции —,, и ф т, поскольку ~х сояпх созтх 1 à — г1х = — / (сов(п+т)х+ сов(п — т)х) Их = /я /й 2я „г' зш(п+т)х зш(п — т)х + = О.
2я(п+ т) 2х(п — т) Легко проверить, что все функции тригонометрической системы попарно ортогонвльны и норма каждой из этих функций равна единице. Действительно, первая функция тригонометрической системы ортогонвльна каждой из последующих, поскольку для любого п Е 1Ч имеем 3.1, Ортооорыирооавоые системы и роды Фурье 243 зевок Изгоя Далее, попарно ортогонзльны функции вида —, офт, так как | Их = — / (соз(п — т)х — соз(п+ т)х) Ых = О.
зшпх зштх 1 Г ~/к ~/лг 2л „/ соз ол з1п тл Ортогонзльны также и функции Вида, Г, п,т Е ~ч, поскольку сов ох гйптх ,г'к ~(л (это интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля интервалу). Вычислим нормы функций тригонометрической системы (3.5). Для первой функции имеем | ~ — ) гЬ = 1.
Для .~Г2 ) остальных функций получаем л л лсозпхь э 1 Г 1 Г зш2пх~ ~ ~ — ) Ых= — / (1+соз2пх)Их= — ~х+ ) =1, ~Я 22к,/ 2гг ~ 2п -л -л л л л гзшпхь э 1 Г 1 г з1п2ггх~ ) дх= — / (1 — соз2пх)дх= — ~х — ~ =1, ~/я 2гг,/ 2т~ 2п ! где п Е г1 — произвольное число. 4З Рассмотрим произвольное бесконечномерное евклидово пространство Е, в котором задана произвольная ортонормированная система (фьють~,, и произвольный элемент Г. Определение 3.1. Назовем р*дом Фурье элемента Г Е Е по ортонормированной системе (грь)г~ ряд (формально записанную бесконечную сумму) вида ЬФь (3.6) 244 3.
РЯДЫ ФУРЬЕ где 1й — яоэффициентпы Фурье, определяемые равенством Ь=(У Фй) Вел. (3.7) У - ~~.УА й=1 Для ряда Фурье (3.6) элемента 7" определим и-ю часшпчную сумму и Ее = ~~,ЬФй (3.8) й=1 Говорят, что рлд (3.6) сходипйсл ио норме к некоторому элементу д Е Е, если 8о'„- ду -1 0 при и -+ оо. Рассмотрим всевозможные линейные комбинации ~~> ейной й=1 (3.9) для ортонормированной системы 1111, 1уг, 4~„ с произвольными коэффициентами сй Е Ж, й =1, п.
Выясним, при каких коэффициентах сй эта линейная комбинация наиболее близка к данной функции, т.е. норма разности имеет наименьшее значение. Теорема 3.1. Пусть 1,1Рй)й 1 — ортонормированная система евклидова пространства Е и 7" Е Е. Тогда и в ппп (~~~1 сйУ1й — ~~! = йо'„— д = ~)~Дай — ф й=1 й=1 Чтобы подчеркнуть, что ряд ~;,1йф, является не просто й=1 произвольным р*дом по ортпонормироеанной сисюпеме (1Рй)й 1, а именно рядом Фурье элемента ~, будем использовать запись 3.1. Ортояормироееяяые системы и ряды Фурье 245 и где Яи = ~; 5фй — и-я частичная сумма ряда Фурье элемента й=1 7' по ортонормированной системе (фй)" м Учитывая ортонормированность системы, равенство (3.7) и свойства скалярного умножения, имеем и п и и сйфй — 1!! =~ ~ сйфй — я, е~сйфй — ~~ =~> сй(фй,фй)— й=1 й=1 й=1 й=1 и и и и — 2~ей(~, фй)+(~, ~) = (~~1 сгй — 2~~1 сй~й+~) Д)— й=1 й=1 й=1 й=1 п и и — Еуг+ !!Лг = Е(с„— аг — 'Е уг+ !!У!!2 й 2 Отсюда следует, что минимальным значением !!2 сйфй — ~!! являетсл значение которое достигается при сй = ~й, Й = 1, 11.
~ Следствие 3.1. Для любого элемента у Е Е и любой ортонормированной в Е системы 1фй)й верно неравенство и и г !!Д вЂ” ~~2 Дй ( ))~~ сйфй-~~! й=1 й=1 (3.10) при всех п Е 1Ч и с1, сг,... > си Е К. Итак, из всех линейных комбинаций вида (3.9) п-я частичная сумма ряда Фурье осуществляет наилучшее приближение элемента ~ в смысле нормы, порождаемой скалярным умножением евклидова пространства Е. 246 3. РЯДЫ ФУРЬЕ Следствие 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
