IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 24
Текст из файла (страница 24)
5. Разложение в ряд Маклорена функции у (х) = = 1п(1+х). Разложение функции 1п(1+х) можно получить, иптпегрируя почлепно ряд Маклорена функции у(х) = 1/(1+ х) 2.7. Раэлолеенне элементарныл фуннннй в рля Тейлора 191 (см, теорему 2.18): х х Г й Г/ / 1+1 I ~ О I ~„, "( 1) 1+11* Цп1п Ц1 п=о п=о .+ О О оо ( 1)пхп+1 х Е ( — 1,1). и+1 В точке х = -1 данная формула неверна (в этой точке и сама функция 1п(1+ х) не определена, и ряд расходится, поскольку является гармоническим). В точке же х = 1 полученная формула справедлива.
Действительно, функция У(х) = 1п(1+ х) в этой точке определена и равна 1п2, а ряд Маклорена при х = 1 представляет собой сходящийся в силу признака Лейбница ряд с той же суммой (см. пример 1.30): = 1п2. +1 Таким образом, для функции 1п(1+ х) верно следующее разложение. Полученные пять разложений основных элементарных функций в ряд Маклорена часто называют снаандартпными разлозкениями.
Обратимся теперь к вопросу о способах разложения произ- вольных элементарных функций в степенные ряды. Для Разложения элементарной функции в ряд Тейлора применяют два 192 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ метода. Первый основан на непосредственном разложении функции в ряд Тейлора. Вычисляя производные всех порядков функции У(х) в точке хо, формально составляют ряд Тейлора, затем находят его область сходимосщи и выясняют, в каких точках из области сходимости ряд сходится к данной функции.
Примеры использования этого метода — пять стандартных разложений, полученных вьппе. Отметим, что непосредственное разложение часто приводит к трудновыполнимым громоздким вычислениям. Основная трудность — получение формулы общего члена ряда. Как правило, это вообще невозможно. В таких случаях ограничиваются вычислением нескольких начальных членов ряда. Второй метод базируется на использовании стандартных разложений. Рассмотрим некоторые варианты этого метода. А. Замена переменного. Если 1(х) = д(ахо), а Е К, )1 Е 1Ч, а д(и) — функция с известным разложением д(и) = ~; дьи, я=о и ЕЙСК, то ~(х) = д(ахо) = д(и) ~ = '~ дьи4~ = '~у дьа"хд" й=о я=о Полученное разложение функции ~(х) справедливо для всех х Е К,таких, что ахд Е У.
гд ~Л Например, для нахождения разложения функции е (* Ц по степеням (х — 1), т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х = 1, воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции е~, сделав в нем замену переменного $ = †(х — 1)~. Тогда для всех х Е ( — со, +со) получим 1 Ц2 ~ ( - Р) ( — 1)л(х — 1)зо Поскольку разложение в степенной ряд единственно и совпадает с рядом Тейлора (см. теорему 2.20), данное разложение 2.7. Разложение злежентарных фуннннй в ряд Тейлора 193 является разложением функции е 1* П в ряд Тейлора в точке х = 1.
Б. Арифметрические операции над рядами. Этот способ основан на том, что если имеются два степенных ряда 2 а„х" и ), Ь„х" с радиусами сходимости В1 н Вз, то а=О а=О в интервале ( — В, В) с радиусом В = ш1п(В~,В2) эти два ряда можно складывать, вычитать и умножать на числа. Ряд (аа„+,36„)х" с произвольными о, 13 Е Ж будет сходиться в=в в интервале ( — В,В), В = шш(В1, В2), причем для всех х из этого интервала будет вьшолняться равенство о~~ (х) + Яз(х) = ~', (аа„+ )ЗЬ„)х", где 71(х) = ~ а„х", а 72(х) = ~', 6„х".
Пон=е а=О а=е кажем, что если В1 Ф В2, то ряд ~„(аа„+136„)х" при ~х~ > В а=е расходится. Действительно, при В < ~х~ < шах(В1,В2) один из РЯдов ~; аах" или ,'1" Ь„х" бУдет сходитьсЯ, а дРУгой — Расхон=е п=е диться. Следовательно, на этом множестве будет расходиться и ряд ,'1 , '(аа„+ 136„)х" (о ф О, 13 у4 0).
Согласно теореме 2.15, а=е ряд ~; (аа„+ 136„)х" будет расходиться при васс х, таких, что а=0 (х) > В. Таким образом, если Я а„х" — ряд Маклорена функции а=О Л(х) в интервале ( — В1, В1) и 2 Ь„х" — ряд Маклорена функа=е ции 72(х) в интервале ( — Вз, Вз), то при всех о,~3 Е К ряд ~; (оа„+ ~36„) х" — это ряд Маклорена функции пах) + 135(х) а=О в интервале ( — В, В), В = шш(В1, Вз). Проиллюстрируем этот способ следующим примером. Найдем разложение в ряд Маклорена функции вш(х+ 2). Для этого представим ее в виде е1п(х+2) =в1пхсоз2+соахвш2. Зная раз- 194 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ( цп 2п+1 в)п(х+ 2) = сое2~,, + (2п+ 1)! ( 1)п .2п +Ош2~ п=О = ~> а„х", хЕК, п=О где ( 1) п/2 Ош2, п=2й; о! ( 1)(п-1)/2 сое2, в = 2Й+1, и! и = О, 1, 2, ап = В.
Интегрирование и дифференцирование рядов. Способы с использованием интегрирования и диффернцирования рядов основаны на теоремах 2.18 и 2.19 и уже были продемонстрированы при разложении в ряд Маклорена функций 1п(1+ х) и солх. Приведем еще один пример. Разложим в ряд Маклорена функцию агсс$8 х. Для этого сначала разложим в ряд Маклорена производную этой функции: (агсс28х)'= — = — ~п( — 1)пх "=~ ( — 1)"+ х ", х Е(-1,1).
1+х2 п=е п=О Здесь использовано стандартное разложение +" =О ( — 1)пу", у Е ( — 1, 1), в ряд Маклорена степенной функции (1+ у) 1, в котором сделана замена переменного у = х2. Проинтегрировав теперь почленно полученный степенной ряд 2,'( — 1)п+1хзп на отрезке п=с ложения функций Ошх и совх в ряд Маклорена на всей прямой Ж, получаем искомое разложение функции О!п(х+ 2): 196 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РНДЫ Подставив полученные значения производных в формулу /(х) = /( — ) + / ( — ) (х — — ) + получим представление 3ях = 1+2(х — — ) +2(х — -) + — (х — — ) +... Используя методы теории функций комплексного переменного [Х], можно показать, что зто представление имеет место для всех точек интервала (О, и/2). Пример 2.29. Разложим в ряд по степеням х — 2 функцию 1 ~к4 — Зх и определим интервал, в котором верно зто разложение. Преобразуем функцию к виду, удобному для использования стандартного разложения в ряд Маклорена степенной функции (1+ у) 1 3/4 Зх 1 1 ф:2-31* — С ~(, з ) / З '1 -1/3 — 1+ — (х — 2)~ = — — (1+ „Г1/3, 3/2~ 2 ) 3/2 где у = -(х — 2).
Используя стандартное разложение в биноми- 3 2 альный ряд степенной функции (1+ у)" с показателем а = — 1/3, 2.7. Рлллоиение элеменгнрнъп~ функций в рлд Тейлора 197 получаем 1 /(х) е (1 + ~) ~„=(е„ 2 1 / ~ ( — 1/3)(-1/3 — 1)...(-1/3 — о+1) /1„ С п~ "/1 3 и=-1л-2) 2 1 1 ~ ( — 1)" 147 ... (Зп-2)3" е/2 е/2~ 3 п~ 2 1 1 „147.... (Зп — 2) — — — — (-1)" (х — 2)" 2ип! Использованное вьппе разложение функции (1+9) ~72 в биномиальный ряд справедливо для — 1 < у < 1, а следовательно, и для х, удовлетворяющих неравенствам 3 2 2 4 8 — 1 < -(х — 2) < 1 е=; — — < х — 2 < — е=ь — < х < —.
2 3 3 3 3 Найденный интервал и является интервалом сходимости полученного ряда Тейлора для функции /(х). Пример 2.30. Разложим в ряд Маклорена функцию /(х) = (х+ 1)(х — 2) и определим интервал сходимости этого ряда к функции /(х). Разложим /(х) на сумму простейших дробей [Ч1]: х 2 1 У( ')— (х+ 1)(х-2) З(х- 2) 3(х+ 1) — + Поскольку 1/(1 — д) = 2, ди при ~д~ < 1 (см. пример 1.4), пои=0 лученные дроби необходимо представить в виде, удобном для 198 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ применения этой формулы: 1 1 1 1 3 (1 — х/2) 3 1 — ( — х) Используя формулу (2.16), получаем, что радиус сходимости 00 ъи я ряда ~; х"/2" равен 2, а радиус сходимости ряда ,'>, '( — 1) х а=о о=о равен 1. Тогда радиус сходимости ряда Маклорена для функции у(х), являющегося линейной комбинацией этих рядов, равен В = ш1п(1,2) = 1, т.е. полученное разложение имеет место при х Е ( — 1, 1).
Пример 2.31. Разложим в ряд Маклорена функцию ~(х) = ЕгГ(х) = е ~ о1, х Е К, о отличающуюся от так называемого интеграла вероятности (или интеграла ошибок) его(х) = — 1 е й только нормирог * Р ~~О ночным коэффициентом. Воспользуемся разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена и почленно проинтегрируем этот ряд (см. теорему 2.18): =~ /'- ( 1)о~он ~0 ( Цо 2и+1 ~!1 = У и! с (2п+ 1)п! о=о О я=о Поскольку используемое в данном случае разложение функции е ' справедливо при всех Ф Е ( — со, +оо), то и полученное разложение имеет место при всех х Е ( — оо, +ос) (см.
теорему 2.18). 2.8. Примевевие рядов в врибяижевиьп~ вычислениях 199 2.8. Применение рядов в приближенных вычислениях Если функция ~(х) является анаяишической в точке хе, т.е. в некоторой окрестности точки хо представима степенным рядом ~(х) = ~~> а„(х — хо)", в=о то в качестве приближенного значения функции 1(х) в точке х из окрестности точки хо можно взять часшичную сумму этого ряда: в У(х) = Я (х) = ~~~ а~(х-хо)". ь=о Естественно, что при этом, чем меньше п, тем проще аппроксимирующая функция Я„(х), но больше, вообще говоря, погрешность такого приближения.
Поскольку 1(х) = Я„(х) + В„(х), при каждом фиксированном и точность приближения ~(х)- = Я„(х) оценивается суммой осшашка ряда ~Дх) — Я„(х)! = ~В„(х)! = ~ ~) аь(х — хо)" /. Й= в+ 1 Поэтому при заданной погрешности 6 ) 0 число слагаемых в частичной сумме Я„(х) необходимо выбирать так, чтобы оно было наименьшим среди таких н, для которых выполняется оценка ~В„(х)) < 6. Оценивать сумму остатка ряда можно различными способами. Можно использовать представления остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши [П] или в интегральной (см. Д.2.1). Можно, кроме того, строить для ряда числовую махсорангау, сумму которой несложно вычислить.
В отдельных случаях можно применять признак Лейбннаа, если г. ФункциОнАльные Ряды ряд в интересующих нас точках является знакочередующимся. Если степенной ряд в некоторой точке х удовлетворяет признаку Лейбница, то справедлива оценка (см. следствие 1.4) /В (х)~ < ~а„+1(х — хо)"+'! = !а„+1! /х — хо! "+ . Пример 2.32. Выясним, сколько членов разложения функции е в степенной ряд е* = 2 , 'х"/и! необходимо взять, чтобы в=с погрешность б вычисления числа е (т.е. значения функции е* в точке х = 1) в соответствии с формулой е - о„1(1) = 2+ —, +... + 1 1 не превышала 10 4.
Аппроксимирующим выражением для числа е здесь является значение частичной суммы Я„1(1) ряда Маклорена функции е* в точке х = 1. Поэтому для оценки погрешности данного приближения необходимо оценить сумму В„1(1) остатка с номером и — 1 ряда Маклорена функции е* при х = 1 (см. 2.7): )е-(2+ —,+...+,)~=!В 1(1)/=) —,+,+...)= 1 1 1( 1 1 = — + +... = — (1+ + +...1 < и! (и+1)! и!( и+1 (и+1)(и+2) 1( 1 1 < — 1+ + +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
