IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 20
Текст из файла (страница 20)
'Строго говоря, число В является точной (возможно, бесконечной точкой) расширенной полупрямой [О, +со] [1-1.3). 160 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ~ ВсЯкий РЯД 2 сплп схоДитсЯ либо только в оДной точке п=е комплексной плоскости — в центре ряда хе = О, либо на всей комплексной плоскости С,либо более чем в одной точке,но не на всей комплексной плоскости. Рассмотрим каждый из трех вариантов. а. Пусть ряд ,'>, 'с„лп сходится только в одной точке комппя плексной плоскости — в центре ряда зе = О. Тогда условиям теоремы удовлетворяет чисяо В = О: первое и второе утверждения тривиальны, а третье утверждение верно по предположению. б.
Пусть ряд 2 с„г" сходится на всей комплексной плосп=е кости С. Положим В = +со и докажем, что заданное таким образом значение В удовлетворяет условиям теоремы. Можно считать, что третье утверждение теоремы, выполняется, так как точек я, удовлетворяющих условию ф > В просто нет. Докажем первое утверждение. Пусть з Е С вЂ” произвольная точка. Выберем такую точку ге, что (ле! > (л(. Поскольку ряд в точке яе сходится (он сходится на всей комплексной плоскости), то в соответствии с теоремой 2.14 этот ряд сходится абсолютно и в точке з, т.е. степенной ряд 2, с„яп абсолютно сходится в любой п=е точке комплексной плоскости. Наконец, в силу той же теоремы 2.14 ряд сходится равномерно в любом замкнутом круге ~л~ < г (г — любое положительное число). Итак, второе утверждение теоремы также выполняется.
в. Пусть ряд ~; с„лп сходится более чем в одной точке комп=О плексной плоскости, но не на всей плоскости. Тогда существует хотя бы одна точка я1 Е С, в которой ряд сходится, причем л1 Ф О, и существует хотя бы одна точка лг Е С, в которой ряд расходится. Рассмотрим множество М значений х = ф для тех точек х е С, в которых ряд ~, с„лп сходится. Поскольку п=е всякий степенной ряд сходится в своем центре, в данном слу- л.4. Комплексные степенные рлды 161 чае в точке гО = О, то число х = 0 принадлежит множеству М и, следовательно, множество М не пусто.
Так как ряд расходится в некоторой точке нз, то, согласно теореме 2.14, он расходится при всех н Е С, таких, что (н( > )лз[. Следовательно, множество М является подмножеством отрезка [О, )гз)] и потому ограничено. Для ограниченного непустого множества М существует его точная верхняя грань вирМ < +со [1-2.7]. Положим В = впрМ н докажем, что число В обладает нужными свойствами. Вопервых, В > О, так как ~г1 ~ Е М и в соответствии с определением точной верхней грани В > ~н1~ > О. Далее, докажем, что если ~л~ < В, то ряд 2 с нп сходится, причем абсолютно.
Итак, п=О пусть н — произвольное комплексное число, для которого ф = х < В. Согласно определению точной верхней грани и ее свойствам [1-2.71, имеем И > 0 Эхе Е М: В > яО > ОирМ вЂ” О =  — а. В частности, если с =  — ~н[ =  — х > О, то найдется такая точка хО Е М, что выполняется неравенство х < хО < В. Так как хО Е М, то хО = (нО), где точка нО Е С такова, что ~, с„гО п=О сходится.
Согласно теореме 2.14, в точке г ряд ~; с„лп также п=О сходится, причем абсолютно, поскольку )н( = х < яО = )гО(. Покажем, что в любом замкнутом круге ~я~ < т, где г < В, степенной ряд ~; с„гп сходится равномерно, т.е. докажем атон=о рое утверждение теоремы. Пусть 0 < г < В. Поскольку ряд ~ с„ап сходится в открытом круге ~л~ < В, то он сходится и =О в кольце г < ~н~ < В. Пусть точка лО принадлежит указанному кольцу. Тогда г < )нО! и степенной ряд сходится в точке нО. В силу теоремы 2.14 степенной ряд 2 с„нп сходится равномерно и — О (и абсолютно) в замкнутом круге )н! < г. 162 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Наконец, докажем третье утверждение теоремы.
Если ~х~ > > В = ОирМ, то действительное число х = ф не принадлежит множеству М. А в силу определения множества М это означа- СЮ ет, что в точке г ряд ~, с„г" расходится. вше Из приведенного доказательства вытекает следующее. Если степенной ряд 2 с г" сходится только в одной точке ОО = О, в=О то В = О. Если ряд сходится более чем в одной точке из С, но не на всей комплексной плоскости, то О < В < +оо, Наконец, если ряд сходится на всей комплексной плоскости С> то В = +оо. Для каждого степенного ряда число В в теореме 2.15 определяется однозначно.
Это число называют радиусом сходимостпн степенного ряда 2 с„х", а открытый в=О круг ~х~ < В в комплексной плоскости с центром в нуле и радиусом  — крузом сходнмостаи этого ряда. Если радиус сходимости равен нулю (В = 0), то круг сходи- мости пуст (однако область сходимости при этом не является пустой — степенной ряд сходится в своем центре хО = 0), а если В = +со, то кругом сходимости является вся комплексная плос- 00 кость С. Если же радиус сходимости степенного ряда 2 с„я" а=О является конечным положительным числом (О < В < +со), то этот ряд сходится, причем абсолютно, в открытом круге ~г ~ < В и расходится при ~г~ > В.
Отметим, что в теореме 2.15 ничего не говорится о поведении степенного ряда на границе круга сходимости, т.е. в таких точках я Е С, что ~я~ = В. В этих точках ряд может как сходиться, так и расходиться, поэтому необходимо дополнительное исследование. Таким образом, область сходимости любого степенного ряда 2 с„х" с центром в нуле представляет собой =О объединение его круга сходимости (открытого круга ~х~ < В с центром в точке хО = О и радиусом В, равным радиусу сходи- 2.4. Компяеасные степенные ряды 163 мости ряда) и некоторого ножестВа (ВозможнО, пустого) точек комплекснои сходимости и равномерной сходимости плоскости, принадлежащих гг границе круга сходимости ф = В. Точками расходи- яЯ~ ' '/л Ю' мости ряда 2 сиза янля- ~л' н=е ются все остальные точки ~~~ О комплексной плоскости С (рис.
2.3). Кроме того, нетрудно 4ф~, Область увидеть, что если степен- расходимости ной ряд сходится абсолют- Отдельные точки сходимости на границе но в какой-либо точке гг, круга сходимости лежащей на границе кру- Рис. 2.3 га сходимости ф1 ~ = В), то ряд сходится абсолютно на всей границе ~з( = гг этого круга. Действительно, для всякой точки г, лежащей на границе круга сходимости, имеем равенство )г( = В = (зг ). Следовательно, ряд ,"> (с„)(з(н, составленный из модулей степенного ряда ~„с„го, а=о а=в будет одинаковым для всех точек границы круга сходимости н будет совпадать со сходящимся рядом ~; )сн()з1!а. а=в Обратимся теперь к вопросу о том, как определить радиус сходимости конкретного степенного ряда.
Поскольку внутри своего круга сходимости всякий степенной ряд 2 с„эа схо- а=в дится абсолютно, то в этом круге ряд из модулей ~„ ~сад"~ о=в сходится, и к нему применимы признаки сходимости энакоаолоэсительных чисяовых рядов. Предположим, что существует конечный или бесконечный предел 1пп (са+г/с„( = А. Рассмотрим произвольное фиксиро- а-+со 164 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ванное з Ф О и применим к ряду 2 (с„г") предельный признан а=0 Даламбера. Вычислим следующий предел: Из предельного признака Даламбера следует, что ряд 2' ,~с„я" ~ в=о сходится при Л)я( < 1 и расходится при Л(л! > 1.
Следовательно, если О < Л < +со, то ряд ",) , 'с„л" сходится абсолютно при всех п=е я Е С, удовлетворяющих неравенству 1 1 . ~с„ (л)< — = = 1пп~ — ~, Л 1 ~с+1~ н-+о ~с и расходится при всех г Е С, удовлетворяющих неравенству )г( > — = 1пп ! — !. 1 .
с„ Это означает, что радиус сходимости степенного ряда В = = 1/Л = 11ш )с„/с„~.1). Если Л = О, то ряд сходится абсолютно при всех хе С, и, значит, х1=+оо= 11ш ~с„/с„~.1~. Если же а-ьоо Л = +со, то ряд расходится всюду, кроме одной точки я = О, и, следовательно, лс = О = 1пп ~с /сь+1~. Итак, радиус сходимости степенного ряда ~, с„лн можно ь=о определить, используя формулу л= 11 ) ~' ~, (2.16) если предел справа существует.
Предположим, что существует конечный или бесконечный предел 1пп ",/Я = Л. Рассмотрим произвольное фиксированное г е С и применим к ряду ~, ~с„г"~ предельный признан =о 165 2.4. Комплексные степенные ряды Коши. Для этого вычислим следующий предел: 1пп ~/'!спяп! = !л! 1пп ~/!сп! = Л!г!. п=О и расходится при Это означает, что радиус сходимости степенного ряда В = = 1/Л = 1/( 1пп ~/!сп!). Если Л = О, то ряд сходится абсолютно на всей комплексной плоскости, и, значит, В = +со = = 1/( 1пп ",/!сп!). При Л = +оо ряд всюду, кроме нуля, расходится, и, следовательно, В = О = 1/ ( 1пп ",/!с„!) . Таким образом, радиус сходимости степенного ряда 2 с„ап п=О можно вычислить, используя формулу В= 1 1пп ~/!сп! (2.17) если предел справа существует. Если пРеДелы 1пп !сп/с +~! и 1пп ~/!сп! длЯ степенного РЯ- се и — >се п -Юэ да ~ с„гп не существуют (как, например, для рядов только п=о с четными или нечетными степенями «), то фоРмУлы (2 16) Согласно предельному признаку Коши, ряд ~; !с„лп! сходится п=О при Л!л! < 1 и расходится при Л!л! > 1.
Таким образом, если О < Л < +со, то ряд 2, сплп сходится абсолютно при 166 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ и (2.17) применять нельзя. Однако непосредственное использование предельных признаков Даламбера и Коши для рядов ~; ~сиги~ часто позволяет определить радиус круга сходимоп=е сти. Рассмотрим несколько примеров исследования степенных рядов на сходимость. Пример 2.21.
Найдем область сходимости степенного ряда ~~1 2п (~Й вЂ” 1 — 1) гп п=1 Используя формулу (2.16) для нахождения радиуса сходимости, получаем 2п(/ '1 ) В= 1пп ~ — ~ = 1пп и-~пои Си+1 ~ оо~ 2п+1(1/й — 1) ~ ~ /о:1 — 4 . %:т+Т 1 = 1пп = 1пп п-~оо 2~1/й — 1~ п-+оо 2~/и+ 1 2 На границе круга сходимости, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
