IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ФУНКЦНОНАЛЪНЫЕ РЯДЫ мула Тейлора ~(х) = ~~), (х — хо)я+Вн(х), и = О, 1, 2, ... (2.23) " ~1')(") я=о где В (х) — остаточный член формулы Тейлора. Заметим, что остаточный член можно представить, например, в форме Лагранжа: у1н+1) (ье) В„(х) = (х-хо)"+', (Е (хо,х). (и+ 1)! Теорема 2.21. Пусть функция Дх) бесконечно днфференцируема в интервале (хо — г, хо+ т). Тогда ее ряд Тейлора 00 уео( ) ,*' (х — хе)" сходится в интервале (хе — г,ха +г)к функи=о ции у (х) в том и только в том случае, когда остаточный член В (х) формулы Тейлора (2.23) для любого х Е (ха — г, хо + г) стремится к нулю при и — ~ оо. ~ Очевидно, что формулу Тейлора (2.23) для бесконечно дифференцируемой в интервале (хс — г, хе+г) функции 1(х) при любом и 6 Я можно записать в виде Дх) = Я„(х)+В„,(х), х Е (хе — г, хо+с), (2.24) где Я„(х) — и-я частичная сумма ряда Тейлора функции У(х) в точке хс.
Тогда, если фУнкцию 1 (х) в интеРваие (хе — г, хе+ г) можно представить своим рядом Тейлора, то для всех точек из этого интервала 11ш В„(х) = у(х). Из (2.24) следует, что В (х) = н-+со = у(х) — 8„(х), поэтому 1пп В (х) = 1пп фх) — Ян(х)) = О, х Е (хо — г, хг + г). о-+со н-+оо Обратно, пусть для остаточного члена формулы Тейлора (2.23) при всех х Е (хе — г, хе+ г) справедливо соотношение 183 2.б.
Ряд Тейлора 1пп В„(х) = О. Поскольку опять же из (2.24) следует равенство Я„(х) = Дх) — В„(х), то 11ш Вн(х) = 1пп фх) — В (х)) = ~(х), х Е (хо — т, хо+ г), т.е. ряд Тейлора функции Дх) в интервале (хо — г, хо+ г) сходится, причем к самой функции у(х). Ь Следующая теорема формулирует достаточное условие того, что функцию Дх) можно представить своим рядом Тейлора.
Теорема 2.22. Пусть функция Дх) бесконечно дифференцируема в интервале (хо — т, хо+ г) и ее производные в этом интервале ограничены в совокупности, т.е. существует такое М>0, что ~~ "1(х)~ ~( М, х Е (хо — т, хо+ т), и = О, 1, 2, ... Тогда в интервале (хо — г, хо + г) функцию Дх) можно предста- вить своим рядом Тейлора в точке хо, т.е.
~1"1(хо) Дх) = ~ (х — хо)", х Е (хо — г, хо+ г) п1 п=о и Возьмем произвольную точку х Е (хо — г, хо + г) и оценим остаточный член В (х) формулы Тейлора (2.23), записав его в форме Лагранжа: * =~(п+1), *-* .- (.+,) - (.+1). Здесь ~ — некоторая точка, лежащая между хо и х. Так как ряд 2 г"+1((п+1)1 сходится при любом г > 0 (см. прин=о мер 2.18), то в силу необходимоео признака сходимостпи ряда имеем 1пп г"+1((п+ 1)! = О. Поэтому, переходя к пределу при о-+оо и -е оо в полученном выше неравенстве, получаем равенство 1пп ~Вн(х)( = О. Следовательно, 1пп В„(х) = О. Отсюда, соя-+оо н-Фоо гласно теореме 2.21, получаем утверждение теоремы. ~ 184 2.
ФУНКЦИОНАЛЪНЫЕ РЯДЫ 2.7. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора Сначала найдем разложения некоторых основных элементарных Функций в ряд Маклорена. 1. Разложение в ряд Маклорена функции у(х) = е*. Поскольку /!"1(х) = (е*)!"! = е*, н Е 1ч, х е ( — оо, +со), то /!"!(О) = 1 при всех и Е 1ч'. Поэтому ряд Маклорена функции е* имеет вид 2,' х"/и! Покажем, что этот ряд сходится к самой а=в функции е* на всей числовой прямой.
Рассмотрим для этого в формуле Маклорена для функции /(х) = е* остаточный член в форме Лагранжа Л„(х) = х"-~1 = ха+1. /!а Ы!(~) е~ (и + 1)! (н + 1)! Учитывая, что ( = дх, О < д < 1, и, следовательно, е~ < е!*!, получаем оценку е!*! !Л (хп < !!х!"+' Поскольку 1пп !х~"+1/(и+1)! = О для всех х е !а (это предел а-+со ОО общего члена сходящегося ряда 2 !х!а ы/(и+ 1)! — см. пример 2.18), то 1пп Вн(х) = О, х Е (-оо, +со), н->со и, следовательно, ряд ,') х" /н! сходится к функции е* на всей числовой прямой я!.
2.7. Разложение алеыеитариых фуикций в ряд Тейлора 185 Итак, для функции 1(х) = е* справедливо следующее разложение. г и е*= — =1+х+ — +...+ — +..., хб( — со,+со). и! 2! и! п=в 2. Разложение в ряд Маклорена функции у(х) = в1пх. Фуикпел Дх) = в1пх бесконечно дифферекцируема на всей числовой прямой, причем и-я прокэводнэл функции у (х) вычисляется по формуле [П] 1!п!(х) = в!п(х+ — ), и Е М, Поэтому при х = 0 имеем О, и=2/с; 1!п!(0) = ь, и Е 1Ч.
(( — 1)~ ~, и=2к — 1, Таким образом, ряд Маклорена функции Дх) = в!пх имеет вид ~ ( — 1)п вхгп ~/(2и — 1)! Поскольку функция Дх) = вшх бескоп=1 нечко дифференцируема и ]1!"!(х) [ < 1 при всех х Е ( — со, +со), т.е. все производные ограничены в совокупности, то в силу теоремы 2.22 данный ряд Маклорена сходится к функции ,) (х) = в!пх на всей числовой прямой К.
Итак, для функции У(х) = вшх имеет место следующее разложение. 186 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 3. Разложение в ряд Маклорена функции у (х) = сов х. Как и для функции у(х) = в1пх, можно получить разложение в ряд Маклорена и определить интервал его сходимости для функции ~(х) = совх. Однако можно поступить проще — почвенно проди4$ерепиировать ряд Маклорена (степеппой рлд с радиусом сходимости В = +со) для функции»йпх (см. теорему 2.19): ( 1)п-1 совх = (вшх) = ) (х ) (2п — 1)! в=1 а=в Причем, зто равенство верно во всем интервале сходимости исходного ряда, т.е. на всей числовой прямой.
Итак, для функции 1(х) = совх верно следующее разложение. 4. Разложение в ряд Маклорена функции у(х) = = (1+ х)'*, а Е К. Если а = О, то !'(х) = 1 и разложение в ряд Маклорена тривиально: Дх) »в н 1 = 1+ ); О. х", х Е К. а=1 Если о = и Е 1Ч, то разложение в ряд Маклорена можно получить, используя формулу бинома Ньютона: у(х)=(1+х) =~С„х =~ С,х +~ О х»+", хеК, где С» = и!/(И(п — я)!).
2.7. Реоловевве элемевтарвых фуввввй в рлл Тейлора 187 Наконец, если а ф М и а ф О, то легко заметить, что и-я производная степенной функции 1(х) для всех х Е ( — оо, +ос), х ~ — 1, имеет вид ,! " (х) = а(а — 1)... (а — (и — 1))(1+х) ", и ~1!(, (В точке х = — 1 и-я производная Дх) не существует, если и > а). Найдем значения производньпс функции у(х) при х = О: 1ОО(О) = а(а — 1)... (а — (и-1)), и Е 1ч. Следовательно, ряд Маклорена функции (1+ х)о при а ф И и а ф О имеет вид а(а — 1)...
(а — и + 1) 1+ Е х" и! в=! Заметим, что ряд Маклорена функции (1 + х)о для а = О и а Е 1Ч является частным случаем этого ряда, поскольку при а = О все коэффициенты этого ряда равны нулю, а при а Е М эти коэффициенты равны нулю, начиная с номера и = а+ 1. Итак, пусть а ф 1ч и а Ф О. Найдем радиус сходимости полученного ряда Маклорена функции Дх) = (1+ х), используя формулу (2.1б). Полагая а(а — 1)... (а — (и — 1)) Уо,а = иЕ 1Ч, и! получаем Л= 1. а(а — 1)...
(а-и+1)(и+1)! ! . ! и+1 ~ =В ~ "' ' ~ — Н вЂ”. ~.(. Ц (.и„н. (и„,)) 188 2. ФУНКЦИОНАЛЪНЫЕ РЯДЫ Таким образом, ряд Маклорена функции (1+ х)" при ~х~ < 1 абсолютно сходится, а при ~х~ ) 1 расходится. Покажем теперь, что в интервале ~х~ < 1 полученный ряд Маклорена функции (1+х)" сходится к самой функции (1+х) . Для этого запишем осттьатиочиый чяеи Я„(х) формулы Тейлора для этой функции е июиееральиой форме (см. Д.2.1): Для фиксированного х из интервала ( — 1, 1) рассмотрим функцию х-1 1-х х+1 оя(1) = — = — — = — 1+ —, Ф Е К~ (-1). 1+1 1+1 $+1' Графики функции д (1) (а это гиперболы) для отрицательных значений параметра х Е ( — 1, О) и для положительных значений параметра х Е (О, 1) изображены на рис.
2.5. Рис. 2.5 2.у. Рааложевве элемевтарвыл фувкввй в рлд Теялорв 189 ПРи любом х Е (-1, 1) фУнкциЯ 9х($) Убывает по пеРеменному ~ в интервале (-1, 1). В частности, убывает она и на отрезке [О, х] С ( — 1, 1) (или [х, О] при х < 0). Следовательно, если х б е [О, 1)„то для всех 1 Е [О, х] вернонеравенство 0= д (х) < д (1) < < О (0) = х, и, значит, [д (Ф)[ < [х[. Если же х Е (-1, О], то для всех ~ Е [х, 0] верно неравенство 0 = О (х) > 9 (х) ) д (0) = х, т.е.
0 < — Ох(й) < — х, и, значит, [Ох(й)[ < [х[. Таким образом, при всех значениях х Е ( — 1, 1) верно неравенство [д (Ф) [ < [х[, 1 Е [О, х]. Используя это неравенство, получаем $л (*~$= ",' ~дОЛ1.|-Е -'а л О х <!М' >" ' "> ~ ~" /О,~) -'л- О [а(а — 1) „, (а — и)[ „[(1+х)о 1 ! и! а а (а — 1)... (а — 1 — (и — 1)) „! — х" ~ ~[(1+ х)о — 1[ = =[~во ~х"][(1+х) — 1[, хЕ(-1,1).
Так как при [х[ < 1 сомножитель уо о 1х" представляет собой общий член сходящегося ряда Маклорена функции (1+ х)" ' то 1пп ~о,о ~х" =О, хе (-1,1). Переходя к пределу при п-+оо в йеравенстве 0 ~ (]Вв(Х)] ~ 4[~во 1(Х)[[(1+Х) — 1[, согласно теореме о „зажатой" последовательности [1-6.5], для любой фиксированной точки х Е (-1, 1) получаем 1пп ]Вв(х)[ = и — +во = О. Следовательно, 1пп В„(х) = 0 при любом х Е ( — 1, 1), и в о-+ со 190 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ интервале ( — 1, 1) ряд Маклорена степенной функции (1+ х) сходится к ней самой. Таким образом, для степенной функции (1+ х) с показателем ет ф (М 0 (0)) справедлнво следующее разложение. Ряд Г 'аклорена функции (1+ х) обычно называют бикомиаяаным рядом. В точках х = х1 биномиальный ряд при различных значениях показателя ет может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Можно доказать, что в точке х = — 1 биномиальный ряд сходится при «т > О, а в точке х = 1 — при а > — 1. Найдем разложение в ряд Маклорена функции у (х) =1/(1+х). Это разложение может быть получено как частный случай разложения степенной функции (1+ х)п с показателем тт = — 1. Как видим, полученный ряд является геометприческим рядом с параметром д = — х. Он сходится только в интервале ( — 1, 1), а при ~х~ > 1 — расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
