IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Однако яир (Я„(х))=1, иЕ)ч, и 11щ япр (Я„(х))=1фО. аЕ(0,1) ~ ~ья(0,1) Таким образом, согласно теореме 2.2, имеем Я„(х) — сх О, и, зна- (0,1) чит, исходный ряд сходится к тождественно нулевой функции неравномерно в (О, 1). )(Р В силу взаимно однозначного соответствия между функциональными рядами и последовательностями (см. 2.1) теорему 2.10 можно переформулировать следующим образом. Теорема 2.11. Пусть функциональная последовательность (о'„(х)) сходится равномерно в промежутке Х С К к функции 2.3. Свойства раввомерво сходзпцихся рядов 153 ях),и пусть функции Я„(х), и Е И, непрерывны на Х. Тогда предельная функция Я(х) также непрерывна на Х: 1пп Я(х) = Я(хс), хе Е Х, х-~хо 1пп 1пп Яи(х) = 1пп 1пп Я„(х), хс Е Х.
х-~хо и-+со и-+сох->ха Теорема 2.12 (тпеорема о почленном интпеерированни рядо). Пусть ряд ~, Ди(х), составленный из непрерывных и=1 на отрезке [а, Ь] функций 1'„(х), сходится равномерно на [а, Ь] и имеет сумму Я(х). Тогда функция Я(х) интегрируема на [а, Ь], и для произвольных с, х е [а, Ь] верно равенство х оо со ~ЯО1а=~(1 1.1О)в=1 11.1са. 12и) и=1 и=1 ч Согласно теореме 2.10 о непрерывности суммы равномерно сходящегося на отрезке [а, Ь] функционального ряда, составленного из непрерывных на [а,6] членов, Я(х) является непрерывной функцией на [а, 6], следовательно, интегрируемой на любом отрезке [с, х] с [а, Ь] (в том числе и на любом отрезке [х, с] с [а, 6], где х ( с) [ЧЦ.
Рассмотрим функциональный ряд ~ ] у„(с) сМ и функцию г'(х) = ] Я(с) сМ, определенные на отреза=1 с с и х ке [а, Ь]. Обозначим Р„(х) = ,'~; ] Я1) ос. Использовав свойства я=1 с определенного интеграла [ЧЦ, получим х х и х е„о1 =~'жуаса=/ ~'а1св=/Я.(са, 1с с 154 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ где о„(х) = ,'[ Я1), $ Е [а, Ь].
Поскольку функциональный ряд '> , '~„(1) сходится к функции о(х) равномерно на отрезке [а, 6], и=1 то о'„(1) ==и о'($), или 1пп впр ]о(8) — о„(1)[ = 0 (см. теорему [а,Ь] и-+савв[а Ь] 2.2). Используя свойства определенного интеграла [У1], для всех н Е 1'[ получаем 0< зпр [Р(х)-Р„(х)]= впр ! Б(Ь)дЬ вЂ” Яи(1)д1 = аз[а,Ь] хе[а,Ь] х с с зпр / (Ь($) — Ь' (Ь)) сй < <вор 1 [.х'(ь) — ои(Ь)]с]ь хг[а,Ь) l аз[а,Ь] l с с < зпр (]х — с] зпр ]о(Ь) — о„(Ь)!) < (Ь вЂ” а) впр ]6(Ь) — Ь'„(1)].
аз[а,Ь] СЕ[а,Ь] 1Е[а,Ь] Отсюда в силу того, что 1пп зпр [о(Ь) — ои(Ь)] =О, справедсс ее[а,в] лино равенство [[ш впр [г (х) — г„(х)] = О. А это означает, + си аз [, Ь] что г'„(х) ==а г'(х), и, следовательно, функциональный ряд [а,Ь] 2 ' ],[и(с) дЬ РавномеРно на отРезке [а, Ь] сходитсЯ к фУнкции и=1 с г(х) =] о($)Ж. > с В случае использования равенства (2.13) говорят о ночленнон интпегрироеании [рунниионального р*да ~', ~„(х). и=1 Замечание 2.5.
В ходе доказательства теоремы 2.12 было установлено, что если функциональный ряд ~; 1„(х) из непреи=1 рывных функций сходится равномерно на [а, Ь] к функции о'(х), сс х то прилюбомсЕ [а, 6] функционвльныйряд ~, ) 1„(Ь)<йсходитх и=1 с ся равномерно на [а, 6] к функции ] о(1) сЫ. с 2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов 155 Теорема 2.13 (тпеореяеа о ночленном дифференци роеании ряда). Пусть Ях), н Е М, — непрерывно дифференцируемые на отрезке [а, Ь] функции; функциональный ряд Я Д(х), составленный из производных этих функций, сходитп=1 ОО ся равномерно на [а, Ь]; функциональный ряд ~,,(„(х) сходится п=1 при некотором хе е [а, Ь]. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ряд ',> у„(х) сходится равномерно на [а, Ь]," п=1 со 2) сумма Я(х) = 2; ~„(х) этого ряда — непрерывно диффеп=1 ренцируемая на [а, Ь] функция; 3) верно равенство со / со Я'(х) = ~~ Ях)) =~ ©х), хЕ [а,Ь].
(2.14) п=1 п=1 < Функциональный ряд ',> Д(х) из непрерывных функций п=1 Д(х), и е 1Ч, равномерно сходится на отрезке [а, Ь], следовательно, согласно теореме 2.10, его сумма в(х) = 2 ~„'(х) является п=1 непрерывной на отрезке [а, Ь] функцией. В силу теоремы 2.12 для точки хе (см. условие теоремы) и любого х б [а, Ь] имеем в оо ОЭ ) хи =К/1.'(е =Е(я ~-а( й, п=1 п=1 пРичем последний ряд сходится равномерно на всем отрезке [а, Ь].
Но по условию теоремы также сходится и числовой ряд Е Л,(хе). Заметим, что этот числовой ряд можно рассмап=1 тривать как функциональный ряд, члены которого являются постоянными на [а, Ь] функциями, вследствие чего он является 156 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ равномерно сходящимся на отрезке [а, Ь]. Тогда сумма функци- ональных рядов также является равномерно сходящимся на отрезке [а, Ь] функциональным рядом (см. теорему 2.8). При этом его сумма о(х) оо 00 равна Я(х) = ~', у„(х) = ~', <Ях) — Яхо)) + Я(хо). Следова.
п=1 п=1 тельно, равенство (2.15) можно переписать так: | оп оо Л(О)ОО =Язеп(Х) — ,'1 У (ХО) = О(Х) — Я(ХЕ), ХЕ [а, Ь]. по п=1 п=1 Поскольку функция 1 л(1) д1 является дифференцируемой на отпо резке [а, Ь) (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции [УЦ), то и функция 8(х) дифференцируема на [а, Ь), причем по Отсюда следует, что, во-первых, сумма Ь'(х) является непре. рывно дифференцируемой на [а, Ь) функцией, поскольку л(х) непрерывна на [а, Ь], и, во-вторых, верно равенство < 00 з / 00 ~1 1п(х) ~ = о'(х) = з(х) = ~~>,1п(х), х Е [а, Ь]. 1п п=1 п=1 При использовании равенства (2.14) говорят о ночяенноло диЯЯерениироеании фуннционояьноео ряда 2 уп(х). п=1 2.4.
Комплексные степенные ряды 157 2.4. Комплексные степенные ряды Определение 2.10. Комплексным степенным рядом (или рядом но стпепеням « — хо) называют функциональный ряд с„(« — «о)", «Е С, с=о членами которого являются комплексные многочлены ~„(«) = = с„(« — «с)" от комплексного переменного « = х + ту Е С. При этом комплексные числа с„= а + тЬ„, н = О, 1, 2,..., называют ноэФФициентами этого отененного ряда, а точку «е = = хе + туа Е С вЂ” центром степенного ряда. Всякий степенной ряд определен на всей комплексной плоскости С и сходитися, по крайней мере, в своем центре, т.е.
в точке « = «о Е С. Таким образом, область сходимосити всякого степенного ряда является непустым множеством — она всегда содержит центр ряда. Заметим, что если в степенном ряде ~ с„(« — «с)" с цене=а тром в точке «с сделать замену переменного ю = « — «а, то получим степенной ряд ), с„тип, тс е С, с центром в нуле. Поп=О этому в дальнейшем, не ограничивая общности рассуждений, можно рассматривать только ряды с центром в нуле — ряды вида,) с„«", «Е С.
При этом все факты, доказанные для степ=о пенных рядов с центром в нуле без всяких затруднений можно перенести на степенные ряды с центром в произвольной точке «о е С. Теорема 2.14 (теорема Абеля). Пусть степенной ряд ~ с„«" сходится в некоторой точке «=«або, «в~О. Тогда он а=в сходится абсолютно в каждой точке открытого круга ~4 < )«о! 158 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ комплексной плоскости и сходится равномерно в любом замкнутом круге !х! < г, где т < !хо!.
Если степенной ряд 2 с„х" расходится в некоторой точке о=о х1 Е С, то он расходится во всех точках х е С, для которых !г! > !х1!. < Пусть степенной ряд ~; с„г" сходится в точке хв ф О. В в=о силу необходимого признака сходимости числового ряда (см. теорему 1.2) !с„хо ! -+ О при п — ~ оо. Значит, последовательность 1!с„хо!) является ограниченной !1-6.4], т.е.
найдется такое число М > О, что для любых п Е г1 выполняется неравенство !с„хв ! < М. Пусть произвольное число х Е С таково, что !х! < < !хо!. '1огда ! „"!=! „О!! — „!<М( — '! ~Я. О При всех !х! < !хо! ряд ~, М!х/хв!" является геометрическим в=в рядом с параметром о = !х/хо! < 1 и потому сходится. Согласно признаку сравнения (см. теорему 1.4), ряд 2, !с„х"! также схов=в дится. Таким образом, в открытом круге !х! < !хв! комплексной плоскости С ряд ,'>" с„х" сходится абсолютно.
о=о Рассмотрим произвольный замкнутый круг !х! < г, где О < < г < !гв!. Для всех точек этого замкнутого круга верны неравенства ! „"!<М~ — '~ <М( — ') Следовательно, ряд 2 с„х" имеет сходящуюся числовую мажов=о ранту — геометрический ряд ЕМ( — '), О.,= — '<1, ! О! ' !го! 159 2.4. Комплексные степенные ряды и в силу признака Вейерштрасса равномерной сходимости функиионального ряда [см. теорему 2.6) сходится равномерно [и абсолютно) в замкнутом круге [х[ < г. Наконец, пусть степенной ряд ~, с„х" расходится в некотоо=в рой точке х1 Е С.
Тогда этот ряд расходится во всех точках х б С, для которых [х[ > [х1[. Предположим, что это не так, т.е. существует некоторая точка хз Е С, удовлетворяющая условию [хг[ > [х1[ и такая, что в этой точке ряд 2 с„х" сходится. Но о=в тогда, согласно доказанному выше, ряд будет сходиться и в точке х1, что противоречит условию теоремы. Следовательно, предположение неверно, и степенной ряд ~; с„х" расходится во о=е всех точках х Е С, удовлетворяющих условию [х[ > [х1[. ~в Итак, всякий степенной ряд 2 с„х" сходится как минимум о=о в одной точке комплексной плоскости — в центре ряда хв = О.
Кроме того, характер сходимости степенного ряда в различных точках комплексной плоскости С определяется доказанной выше теоремой 2.14. Однако, основываясь на теореме 2.14, можно доказать и более общую теорему об области сходимости степенного ряда. Теорема 2.15. Для всякого степенного ряда ~ с„х" сук=о ществует действительное число' В, О < В < +со, такое, что справедливы следующие утверждения: 1) при всех х Е С, для которых [х[ < В, степенной ряд сходится, причем абсолютно; 2) в любом замкнутом круге [х[ < г, где т < В, степенной Ряд сходится абсолютно и равномерно; 3) при всех х Е С, для которых [х[ > В, ряд расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
