IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Таким образом, если последовательность (и„(хЦ'„~ т сходится на множестве М, то на М определена некоторая функция и(х) = 1пп и„(х), хй М, и-Ко которую называют предельной функцией последовательности (и„(хЦ~1 на множестве М. В этом случае говорят, что функциональнал последовательностпь (и„(хЦ'„"' является сходлщейсл потпочечно к функции и(х) на множестве М или что имеет место потпочечнал сходимостпь функциона.яьной последоватпельностпи (и„(хЦ'„~ на множестве М к функции и(х), и при этом используют следующие обозначения: и„(х) -+ и(х), х Е М.

В соответствии с определением предела числовой последовательности [1-6.3] можно сформулировать эквивалентное опре- 2.т. Слоднмость фуннннональных последовательностей н рядов 117 деление поточечной сходимости функциональной последова- тельности (и„(х))осе ~ к фУнкции и(х) на множестве М: ЧхЕМ 'й>0 ЭИ(х,е)ЕК Ып>И(х,е): ]и„(х) — и(х)]<с.

(2 1) Заметим, что номер Ф(х,е) зависит и от злемента х Е Х, и от числа с > О. В дальнейшем, если из контекста ясно, о какой области определения Х идет речь, функциональные последовательности (ин(х))„ы х Е Х, будем обозначать (и„(х)). Пример 2.1. Рассмотрим функциональную последовательность (и„(х)), определенную на множестве Х = [О, 1] следующим образом". и„(х)= —, пЕМ, хЕ[0,1].

Покажем, что зта последовательность сходится во всей области определения Х = [О, Ц, и ее предельной функцией является функция и(х) = О. Действительно, х . 1 1ппи„(х)= 1пп — =х 1пп — =х 0=0, хЕХ=[0,1] и-Фсо н-+со и о-+со и (множитель х, не зависящий от и, вынесен за знак предела). Пример 2.2. Рассмотрим последовательность функций и„(х) = х", и Е 1Ч, определенных на множестве Х = К. Для всех х Е (-1, 1] получаем 1пп и„(х) = 1пп х" = ~ (О, хЕ(-1,1); и — ьоо о-ьоо 11, х=1, а при х < -1 и х > 1 последовательность (х") не имеет предела. Таким образом, областью сходимости функци нальной последовательности (х") является множество Хе = ( — 1, 1], на котором эта последовательность сходится поточечно к функции и(х), равной нулю во всех точках х Е ( — 1, 1) и равной единице в точке х = 1. 118 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Определение 2.2.

Пусть на множестве Х С К (Х С С) определена последовательность действительных или комплексных функций !!(х), 1з(х), ..., Ях), Выражение вида ~~),!в(х) = !!(х) + Ь(х) +... + !„(х) +..., (2.2) в=! в котором члены последовательности (!„(х)) соединены знаками плюс, называют функциональным рядом, определенным на множестве Х, а функции !!(х), 5(х), ..., !„(х), — членами этого функционального ряда. При фиксированном хв Е Х всякому функциональному ряду ~', у'„(х) соответствует числовой (дейстпвигпельный или коми=! 00 ияексный) ряд ~„~„(хв), членами которого являются значения в=! ,!в(хв) функций !„(х) в точке хв.

Определение 2.3. Функциональный ряд (2.2) называют сходящимся е точке хв Е Х, если сходно!ся числовой рлд ~„ Л~(хв) в=! из значений его членов в этой точке. В противном случае функциональный ряд (2.2) называют расходящимсл в точке хв Е Х. Если функциональный ряд (2.2) сходится в каждой точке некоторого множества М с Х, то говорят, что функциональный ряд (2.2) является сходящимся (поточечно) на множестве М или что имеет место поточечная сходимость функционального ряда (2.2) на множестве М. Множество Хв С Х всех точек х из Х, в которых ряд (2.2), определенный на множестве Х, сходится, называют областью сходимости функционального ряда (2.2).

2.1. Сходвмость фуняпноваяьвых последовательностей в рядов 119 По аналогии с числовыми рядами для всякого функционального ряда ~, Ях), х Е Х, можно построить последовательв=1 НОСТЬ (Яв(Х))„1 фУНКЦИй ВИДа Яп(х) =~ 6ь(х), хЕХ, п=1,2, я=1 Функцию Я„(х), х Е Х, называют и-й частпичной суммой Яункциональноео ряда ~; уп(х), х Е Х. Таким образом, в=1 каждому функциональному ряду соответствует функциональная последовательность его частичных сумм. Верно и обратное утверждение: каждой функциональной последовательности (е„(х))воо 1, х Е Х, можно поставить в соответствие функциональный ряд 2 1„(х), х е Х, последовательностью частичных в=1 сумм которого является функциональная последовательность (Ев(Х))~1.

ДЕйСтВИтЕЛЬНО, ПОЛаГаЯ 11(Х) = Е1(Х) И 1в(Х) = = е„(х) — е„1(х), т1 = 2, 3, ..., получаем Яв(х) = е„(х), т1 Е 1'1. Указанное соответствие между функциональными рядами и последовательностями позволяет любое утверждение, справедливое для функциональных последовательностей, сформулировать в терминах теории функциональных рядов, и наоборот. В частности, определение 2.3 можно сформулировать следующим образом: функциональный ряд (2.2) сходится в точке хо Е Х тогда и только тогда, когда в точке хе сходится функциональная последовательность (Яв(х)) его частичных сумм, и ряд (2.2) расходится в точке хе в том и только том случае, если в этой точке расходится функциональная последовательность (Яв (х) ) его частичных сумм.

Определение 2.4. Если функциональный ряд (2.2) сходится на множестве Х, т.е. Чх Е Х В 1пп Я, (х) = Я(х)> 120 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ то определенную таким образом предельную функцию о(х) называют суммой йоуккциокалького рлдн (2.2) на множестве Х и пишут Уа(х) = Я(х)> х е Х. Определение 2.5. Для всякого п Е 1ч функциональный ряд Ях), х й Х, называют к-м остпетпком функциональй=а+1 оо кого ряда ~, 'Ях), х й Х. ь=1 Поскольку сходимость функционального ряда 2 Ях) на /с=1 множестве Х означает сходимость в каждой точке хо Е Х числового ряда 2 Яхо), то в силу свойств 1.1 и 1.2 функциоь=1 нзльный ряд 2, ~ь(х) сходится на множестве Х тогда и только ь=1 тогда, когда в каждой точке х е Х сходится (к некоторому числу В„(х)) всякий п-й остаток 2 Ях) этого ряда.

При этом ь=а+1 имеет место равенство Я(х) =Я„(х)+В (х), пай, хЕХ, (2.3) где Я(х) = 2 Ях) — сумма функционального ряда; Я„(х) = а ь=1 Ях) — к-я частичная сумма этого ряда. Кроме того, я=1 00 если функциональный ряд 2 ~ь(х) сходится на множестве Х, ь=1 то 1пп В„(х) = О, х Е Х. (2.4) Как известно, для числовых рядов (см. теорему 1.3) имеет место критерий Коши сходимосхпи числового ряда.

Для сходимости функциональных рядов используют следующий критерий. 2.1. Сходимость функнионвяьных носяедоввтеяьностей и рядов 121 Теорема 2.1 (нритерий яьоши сходимости фунниионального ряда). Функциональный ряд ~ Ях) сходится на я=1 множестве Х тогда и только тогда, когда для любых х Е Х и е > 0 найдется натуральное число М(х,е), зависящее от х и я, такое, что для всех н > 1т'(х, е) и р е 1ч выполняется неравенство и+р (~о+р(х) К~(х)! ~ ~~~ тк(х) ~ ( с Я=и+1 Определение 2.6. Фуннииональный рлд ~ ~„(х) назын=1 вают абсолютно сходлифимсл на множестве Х, если на множестве Х сходится функциональный ряд ~ ~Ях)~ из модулей его членов. Согласно теореме 1.10, абсолютно сходящийся на множестве Х функциональный ряд сходится на этом множестве.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Фуннииональныт1 р*д, сходящийся условно в каждой точке множества У, называют условно сходли4имсл на множестве У Функциональный ряд обычно начинают изучать с исследования его на сходимость, которое сводится к определению области сходимости этого ряда. При этом можно испольэовать известные свойства числовых рядов и признаки их сходимости (см. 1). В результате такого исследования, как правило, оказывается, что в одних точках области сходимости функциональный ряд сходится абсолютно, а в других — условно.

Поэтому для функциональных рядов в области сходимости выделяют области абсолютной и условной сходимости. Другой и, как правило, более сложной задачей теории функциональных рядов является нахождение суммы функционального ряда. Приведем некоторые примеры функциональных рядов. 122 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Пример 2.3. Рассмотрим ряд Дирихле 1 — х6 И, о=1 как функциональный ряд.

Областью сходимости ряда Дирихле является полуось 1 < х < со (заметим, что это область абсолютной сходимости). При х < 1 ряд Дирихле расходится. В самом деле, для х Е (О, 1) это было показано в примере 1.18. Если же х < О, то не выполнен необходимый признак сходимостпи ряда (см. теорему 1.2), и, следовательно, ряд Дирихле при х < 0 расходится. Пример 2.4. Исследуем на сходимость функциональный Ряд Так как ряд Дирихле ~', 1/и* сходится при х > 1, то в этой а=1 оо области функциональный ряд ~; ( — 1)"/иЯ сходится абсолюта=1 оо но.

В фиксированной точке х Е (О, 1] числовой ряд 2 ( — 1)" /и* о=1 сходится условно по признаку Лейбнииа (см. теорему 1.13). Наконец, при х < 0 общий член /„(х) = ( — 1)" и * ряда не стремится к нулю при п -+ со (не выполнен необходимый признак сходи- мости ряда),и, следовательно, ряд расходится. Итак, исследуемый функциональный ряд сходится при х > О, причем при х > 1 сходится абсолютно, а при 0 < х < 1 условно. Пример 2.5.

Исследуем на сходимость функциональный ряд 1п" х, х>0. о=1 2.ь Сходямоеть фувкяяоявльяых яоеледоввтелъвоетей я рядов 123 При фиксированном х > О он представляет собой геометрический рлд с параметром а = 1пх (см. пример 1.4). Следовательно, он сходится, причем абсолютно, при (д~ < 1, т.е. при )1пх~ < 1, и расходится при ~ 1пх~ > 1. Таким образом, областью сходимости (причем, абсолютной)исследуемого функционального ряда является интервал (1/е, е), в котором имеем 1 ~-1.п- х= 1 — 1пх В остальных точках области определения рассматриваемый функциональный ряд расходится. Пример 2.6.

Исследуем на сходимость функциональный ряд сов пх х Е Ж. о=ь Так как для всякого х е ее верно неравенство а ряд Дирихле 2 и з~т сходится (см. примеры 1.18 и 2.3), то, в=1 согласно признаку сравнения (см. теорему 1.4), исходный ряд сходится абсолютно в любой точке х Е Й. При исследовании функциональных рядов на сходимость наиболее часто используют предельные признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости числовых рядов. Действительно, если для функционального ряда (2.2) в его области определения Х существует один из пределов Йп = ~р(х) или Уо+~(х) о-+ ~„(х) 124 г.

функционлльныя ряды то область абсолютной сходимости функционального ряда (2.2) содержит все точки, в которых выполняется неравенство р(х) < < 1 или неравенство фх) < 1 соответственно. В тех точках я Е Х, в которых выполняется неравенство у(х) > 1 или неравенство Ф(я) > 1, функциональный ряд (2.2) расходится (см. замечание 1.7). Чтобы установить сходимость или расходимость функционального ряда в точках, удовлетворяющих условию у(х) = 1 или 11 (х) = 1, необходимо провести дополнительное исследование (в таких точках ряд может как сходиться абсолютно или условно, так и расходиться).

Характеристики

Список файлов книги