IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Исследуем на равномерную сходимость на -в4в2 множестве Ж функциональный ряд 2 хе " * а=1 Попробуем подыскать для этого ряда мажорирующий числовой ряд на Ж. Найдем максимум на множестве Ж дифференцируемой на Ж функции )/„(х) [ = фе " * при фиксированном значении и е Я. Так как [/„(х)~ является четной функцией, то ограничимся изучением ее только при х > О. Если х > О, то Д(х) ~ = Ях) = хе " *, поэтому при всех х > О 4в2) 4 о4в2 ( 4 2) Отсюда следует, что Щх)[' > О в интервале [О, 1/2/(2п')) и ~/а(Х)~' < О В ИНтЕрВаЛЕ (2/2/(2П'), +ОО). ПОЭтОМу фуНКцИя ~/о(х)~ в интервале [О, 1/2/(2п')) возрастает, а в интервале (2/2/(2п"), +со) убывает. Таким образом, точка х = ~/2/(2пз) является точкой локального максимума функции ~/о(х)~ в интервале (О, +со) [П].
Поскольку [/в(0)[ = О, что меньше значения ~/„(х)~ в точке х = 2/2/(2п'), то в этой точке функция ~/„(х) ~ достигает наибольшего значения в промежутке [О, +оо), которое и является ее наибольшим значением на всей оси Ж вследствие четности функции [/„(х)~. Следовательно, для любого х Е Ж справедливо неравенство [Уо(х)[ ~ ~~/в( — з) ~ ~ (— ое < Итак, рлд Дприхле ~; 1/па является мажорирующим числовым о=1 Рядом для исходного функционального ряда на всей прямой Ж.
Поскольку он сходится, то в силу признака Вейерштпрасса (см. теорему 2.6) исходный функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой прямой Ж. 146 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Сформулируем критерий равномерной сходимости функционального ряда. Теорема 2.7 (критерий Кошм равномерной сходимости функционального ряда). Функциональный ряд ~ Д„(х) о=1 является равномерно сходящимся на множестве Х тогда и только тогда, когда для любого числа е > О найдется номер Ф(е) 6 11, зависящий только от е, такой, что для любых п > г7(е), р Н 11 и х Н Х выполняется неравенство фп+р(х) — ~„(Х)~ = ~А~+1(х)+" +Уп+р(х)~ < Е. (2.7) < Необходимость. Пусть функциональный ряд ~', ~'„(х) п=1 сходится равномерно на множестве Х.
Тогда В (х) ==ХО, где Х Вп(х) — сумма н-го остатка этого ряда. Это означает, что для любого е > О найдется такой номер г7(е) Н 1ч', что для всех и > М(е) и всех х е Х справедлива оценка: ~Вп(х)~ < е. Если Ь'(х) и Яп(х) — сумма и н-я частичная сумма рассматриваемого ряда соответственно, то В (х) = Я(х) — о„(х), и Е 11. Поэтому для любого н > Ф(е), любого р Е 1Ч и всех х Е Х имеем ~у'и+1(Х) +...
+ ~„+р(Х) ~ = ~ Бп+р(Х) — Я„(Х) ~ < < )Я„+р(х) — Я(х)(+ ~Я(х) — Яп(х)! = ~В„+р(х))+ ~Вп(х)~ < 2е, что соответствует (2.7). Достаточность. Пусть для ряда 2 1„(х) выполняется неравенство (2.7). Иэ этого неравенства в силу критерия Коши сходимостпи 4ункционаяьного ряда (см. теорему 2.1) следует, что ряд 2,' 7„(х) сходится на множестве Х к некоп=1 торой сумме Я(х), х е Х. Следовательно, 1пп оп(х) = о(х), и->оо х Е Х, и, в частности, для всякого и Е11 справедливо равенство 2.2.
Рввномернан еходнмоеть фуннннонапьных 1онлов 147 1пп Я +р(х) = Я(х), х Е Х. Позтому, переходя в неравенстве р-~ее (2,7), т.е. в неравенстве ~Я„+р(х) — Я„(х)~ < е, к пределу при р -+ оо,получаем Чп > М(е) Чх Е Х: )Я (х)~ = ф(х) — Я (х)) < е, т.е. В„(х) ==В О. А это означает равномерную сходимость Х функционального ряда ~ 7"„(х) на Х. в=1 Замечание 2.2. Как известно, из поточечной сходимости функционального ряда 2,' ~~„(х)~ на множестве Х следует нов=1 оо точечная сходимость на Х и функционального ряда 2,' У„(х). в=1 Аналогичное свойство верно и для равномерной сходимости: если функциональный ряд 2,' ~~„(х)~ сходится на Х равномерно, а=1 то и функциональный ряд Я Ях) также сходится на Х равное=1 мерно.
Действительно, выберем произвольное е > О. Тогда из критерия Коши равномерной сходимости для функционального ряда 2 ~ЯХ)~ следует, что найдется такой номер М(е) Е Я, в=1 что для всех п > Ф(е), р Е 1ч и х Е Х выполняется неравенство )~„+1(х))+ ~~„+2(х))+... + )~„+р(х)~ < е. Отсюда для произвольных и > М(е), р Е Я и х Е Х получаем !~в+1(х)+" +1в+р(х)~ (~ !~в+1(х)!+" +)1н+р(х)~ < Е, т.е.
выполняется утверждение критерия Коши равномерной сходимости и для функционального ряда ~ 1„(х). Следова- 00 в=1 тельно, функциональный ряд ~, 7„(х) равномерно сходится на в=1 множестве Х. 148 г. оункционлльнык ряды 2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов Теорема 2.8. Если оба функциональных ряда ~; 7'„(х) и 00 п=1 ~п дп(х) сходятся равномерно на множестве Х, то всякая их п=1 линейная комбинация ~~1 (о~п(х) + 1Зд„(х)), о, )З Е К (а, 1З Е С), (2.8) п=1 также является равномерно сходящимся на множестве Х рядом. При этом для сумм рядов верно равенство ~~1 (а1„(х)+)Зд„(х)) =а~~1 ~„(х)+~3 ~~ дп(х), хеХ. (2.9) п=1 п=1 < ПосколькУ фУнкциональныеРЯды 2 Ях) и 2 дп(х) сходлтп=1 п=1 ся (ноточечно) на множестве Х, то, согласно свойствам 1.5 и 1.6, при любых о,13 Е й (о,р Е С) функциональный ряд (2.8) сходится в каждой точке х Е Х, причем его сумма связана с суммами исходных рядов формулой (2.9).
Докажем, что ряд (2.8) сходится равномерно на множестве Х. Если а = 1З = О, то это утверждение очевидно. Пусть теперь 1а)+ ф ф О. Так как РЯды 2 7'„(х) и ~" дп(х) РавномеРно сходлтсЯ на Х, то в сип=1 п=1 лу критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда (см. теорему 2.7) длл любого е > О найдется такой номер Ф(е) Е 1ч, что для любых и > Ф(е), рй 1ч и х Е Х одновременно выполняются следующие неравенства: ~~п.ь1(х) +,1п+г(х) +... + 1„+р(х) ~ < ~а~+ ф' ~дп+1(Х) + дп+г (Х) +... + дп+р(Х) ~ < ~а~+ ф 149 2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов Отсюда для всех и > Ф(е), р Е г1 и х Е Х получим Р Р ~'~ (сто„+ь(х)+13дп+ь(х))~ < !ст! ~~ У„+а(х)~+ В=1 а=1 !ст! + Ф! !! Р! !! !Р! т.е.
для функционального ряда (2.8) выполняется условие критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда на множестве Х. Следовательно, зтот ряд сходится равномерно гъ множестве Х. > Рассмотрим некоторые свойства функциональных рядов, членами которых являются непрерывные действительные функции, определенные в промежутке (конечном или бесконечном) Х с К. Теорема 2.9 (тпеорема о предельном переходе для функциональных рядов). Пусть функции тп(х), и Е 1 1, определены в интервале (а, Ь) и имеют в некоторой точке хо Е (а, Ь) конечные пРеделы 1пп У„(х) = атм тт е 1 1. Тогда, если фУнкциоя-+во нальный ряд ~,,тп(х) сходится равномерно в интервале (а,Ь), п=1 то справедливы утверждения: а) числовой рлд ~ ап сходитпсл; п=1 б) 1пп ~ ~„(х) = ~; ап,или 1пп ~; /„(х) = ~ 1пп Ях).
* +*оп=1 п=1 * ~сап=1 п=1в '*а ч Из равномерной сходимости функционального ряда ~, Ях), п=в согласно критерию Коши, следует, что для любого е > 0 существует такой номер 1т'(е) Е11, что для всех тт > М(е), р Е М и х Е (а, Ь) выполняется неравенство и+р Ях)~ < —. а=в+1 150 г. фУНКЦИОНАЛЬНЫН РЯДЫ Переходя в данном неравенстве к пределу при х + хе [1-7.4], получаем и+я ! ай) « — г, п>М(г), рб1Ч, 2 й=в+1 00 в 00 Я а„ = А, ~~) ай = А„, ~) у„(х) = Я(х), ~~) Ях) = Я„(х).
айц ййц в=1 ййц Тогда для любого н Е 1Ч )Я(х) — А~ = ~Я(х) — Я„(х) + Я„(х) — А„ + А„ — А~< < <!Я(х) — Я„(х)!+ ~Я„(х) — А„/+ !А — А„~. (2.10) Из равномерной сходимости функционального ряда ~, Ях) и СО и=1 из сходимости числового ряда 2 а„ следует, что для любого айц г > 0 найдется такой номер М(г) Е М, что для всех п > Ф(г) и х Е (а, о) одновременно верны неравенства ~Я(х) — Я„(х) ~ <— и )А — А„! < —.
(2.11) Поскольку 1пп Я„(х) = А„для любого п Е М, можно указать й-+*о такое б = б(г,п) > О, что для всех х Е (а, о), удовлетворяющих условию 0 < )х — хе! < б, выполняется неравенство т.е. для ряда 2 а„выполнено условие критперая Коши сходиайц мостии числового ряда (см. теорему 1.3), и, следовательно, он сходится. Обозначим 2.3. Свойства рави«нерво схояящяхся «ядов 151 Выберем проювольное е > О. Подберем номер Ф(е), который необходим для выполнения неравенств (2.11) при и > Ж(е) и х е (а, Ь). Выберем проювольный номер и > М(е), укажем число о(е) = 6(е,п), которое требуется для выполнения неравенства (2.12) при всех х Е (а, Ь), таких, что 0 < )х — хе~ < о(е). Тогда для этих значений х будут выполняться неравенства (2.11) и (2.12).
Следовательно, используя (2.10), получаем /Я(х) — А$ < — + — + — = е, х Е (а, Ь), 0 < /х — хе! < о(е). 3 3 3 Это означает, что 1пп Я(х) = А, или в-+во 1нп ~~ ~„(х) = ~~> а„= ~ 1пп у„(х). * *'«=1 «=1 «=1 Замечание 2.3, Отметим, что теорема справедлива и в том случае, если интервал (а,Ь) заменить произвольным промежутком Х, а пределы — односторонними пределами слева или справа. Теорема 2.10 (тпеорема о непрерыеностпи суммы равномерно сходлнфееосл ряда). Если функциональный ряд 2. Ях) сходится равномерно в промежутке Х С К и все его «=1 члены 1«(х) являются непрерывными на Х функциями, то сумма Я(х) функционального ряда 2 ~„(х) также непрерывна «=1 на Х.
~ Пусть хе — произвольная фиксированная точка промежутка Х С К. Поскольку функции )'„(х) непрерывны в точке хе, то 1пп ~ (х) = ~„(хе) (если хо — граничная точка промежутка *-~вс Х, то предел следует понимать как односторонний). Тогда, согласно теореме 2.9 (см. замечание 2.3), имеем 11пт Я(х) = 1пп ~~) Ях) = ~~) 1пп У«(х) = ~~~,У«(хе) = Ь(хо), «=Ъ «=1 «=1 152 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ что и означает непрерывность функции о'(х) в точке хе.
Поскольку хо является произвольной точкой промежутка Х, функция о'(х) непрерывна в промежутке Х. )ь Замечание 2.4. Условие равномерной сходимости функционального ряда является достаточным для непрерывности суммы ряда из непрерывных функций, но не является необходимым, т.е. сходящийся к непрерывной функции функциональный ряд с непрерывными членами не обязательно должен быть равномерно сходящимся.
Пример 2.20. Функциональный ряд 1+~~ (х" — х" ), хб(0,1), а=1 с непрерывными членами имеет сумму Н(х) = О, непрерывную в интервале (О, 1), но не является в этом интервале равномерно сходящимся. Действительно, для каждого х Е (О, 1) последовательность (Я„(х)), Я„(х) = х", частичных сумм функционального ряда стремится к нулю при и -+ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
