IX Власова Е.А. Ряды (1081388), страница 25
Текст из файла (страница 25)
и!( и+1 (и+Цг '")' Суммируя справа геометрический ряд с параметром о = 1/(и+1) (см. пример 1.4), получаем )В 1(1)! = В 1(1) < †, 1 1 и+1 2.В. Применение рядов в ириалиженных ввгхиелениях 201 Таким образом, погрешность 6 приближенного вычисления числа е по укаэанной формуле равна сумме Вв 1!1) остатка ряда Маклорена функции е* в точке х = 1 и удовлетворяет неравенствам и+1 0 < д < —. и!и Для выполнения неравенства Б < 10 4 достаточно найти натуральное число и, для которого — < 10 . Минимальным в4.1 — 4 и!в из таких чисел является п = 8, поскольку п+1 8 8 1 4 = — > 10 п!и „ 2 7 7! 7 5040 4410 и+1~ 9 9 -4 « ' 10- п!и ~ =в 8'8'5040 8'40320 32000 и числовая последовательность 4 — ~ = ~(1 + †/ — ~ убывает, 1 и!в 1 1~ и/и! 1 как произведение убывающих последовательностей.
Итак, для вычисления числа е с заданной погрешностью достаточно взять сумму первых восьми слагаемых разложения е= 2 1/и!, т.е. е - 2+ — + — + — + — + — + — = 2,7183, 0 < 6 < 10 -4 2! 3! 4! 5! 6! 7! Пример 2.33.
Вычислим в!п9' с точностью до 10 4. Перейдем от градусной меры к радианной: 9' = х/20. Используя разложение функции ьйпх в ряд Маклорена, при х = я/20 имеем равенство 1 — 1)в х 2в+1 з!п9' = з!и — = ~~1, ( — ) 20 !2п+ 1) ! 20 Этот ряд удовлетворяет признаку Лейбница, поэтому абсолютное значение суммы его остатка можно оценить модулем 202 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ первого из отбрасываемых членов (см. следствие 1.4).
Следова- тельно, полагая вш9' = вш — - о„1 = 7 ~~ — ) 20 ~- (2й+ 1)) ~20 получаем погрешность ! 20 ~ (2Й+0! (20) ) ~ (2Й<-1Я (20) для которой верна оценка 1 к глН (2п+ 1)! (20) 1 / л игл+11 Так как последовательность (, ~ — ) ) убывает с ро(га+ 1)! 20 стом п и †, ( †) > 0,0006 > 10 4, †, ( †) ( 0,0000008 ( 10 4, то можно ограничиться первыми двумя слагаемыми: вш9' = вш — - — — — ~ — ) 0,1564, Б < 10 20 20 3! 20) Пример 2.34. Вычислим 12 10 с точностью до 0,001.
Преобраэовав исходное число к виду 1/10 = 1/2~+2 =2~1+ — = 2~1+-) в ~2 г 111/з 2з — ~ 4) 2.В. Примеиевие рядов в ириляижеииых вычиелеииях 203 воспользуемся разложением степенной функции (1+ х) ~ в точке х = 1/4 Е ( — 1, 1) в бвномвадькыб ряд: 2(1+ — ) =2~1+ — ° — +, ( — ) + 1 Ю / 1/3 1 1/З(1/3 — 1) 1 г 1/3(1/3 — 1)(1/3 — 2) (1~з 3! ~4/ 1/3(1/3 — 1) (1/3 — 2) (1/3 — 3) ( 1 ~ 4 4! ~4/ 1/3(1/3 — 1)... (1/3 — и+ 1) /1 ~ в и! 14/ 1 1 2 25 258 +3 4 2!.Зг,4г 3~,3з.4з 4~,34.4ч о2.5'8'" '(Зп 4) и!3 4 = 2 + 0,1666... — 0,0138...
+ 0,0019... — 0,0003... +... Этот бнномиальный ряд удовлетворяет признаку Лейбница. Поэтому абсолютная величина суммы остатка этого ряда, равная погрешности б оценки суммы ряда его частичной суммой, не превьппает модуль первого из отбрасываемых членов (см. следствие 1.4). Как видно, первым членом этого ряда, по модулю не превышающим О, 001, является пятый член.
Следовательно, для достижения заданной точности можно ограничиться суммой первых четырех членов ряда. Таким образом, ЛО = 2+ 0,1666... — 0,0138... + +0,0019... -2,155, Б < 0,001. В случае приближенного вычисления с помощью рядов следует иметь в виду, что всякое число можно представить рядом не единственным способом. Поэтому из всех возможных представлений следует выбирать ряд, имеющий наибольшую ско- 204 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ рость сходимости, т.е. ряд требующий суммирования меньшего числа своих членов для достижения заданной точности оценки суммы. Например, для вычисления значения 1п2 можно использовать ряд Маклорена функции 1п(1+ х) в точке х = 1: 1п2 = 1 — — + — —... + ( — 1)"+' — +...
(2 25) 1 1 и+1 1 2 3 и Для вычисления 1п 2 с точностью до 10 з придется суммировать не менее 10 членов ряда, что никак нельзя признать удачным способом вычисления, особенно при ручном расчете. Число 1п2 можно представить также в виде суммы другого, быстро сходящегося ряда. Сделать зто можно, например, следующим образом. Рассмотрим сначала ряд Маклорена для функции 1п — при х Е ( — 1, 1): 1+я 1+х 1п — = 1п(1+х) -1п(1-х) = 1 — х ( 1)в+1 .и ~о ( 1)за+1 и со 2и-1 и и 2и — 1 и=1 я=1 а=1 1 2и-1 1п(1+$) = 2~ — ( — ) в=1 =2( — ~- — ( — ) <-...~- — ( — ) ~-...), (22е причем зто разложение верно при всех -1 < 1/(2+ $) < 1, т.е.
2(8+ 1) >О 6+1>0 г ( 2+$ >О, 2+1 — >-1, 2+1 — <1, 2+$ Пусть 1+$ = (1+х)/(1 — х), т.е. х = $/(2+8). Тогда предыдущее разложение можно переписать следующим образом: 2.8. Применение рядов в врибяиженвых вычисееинях 205 Подставляя в (2.26) значение Ф = 1, получаем новое представление числа 1п2 в виде суммы ряда: ~2=2(-<- — Я <-...~- Я <-...). о2Ц Этот ряд является уже быстро сходящимся.
Действительно, сумму В„остатка этого ряда можно оценить следующим образом: 1— 3 1 4(2п+ 1) 32"-1 т.е. сумма остатка быстро убывает с увеличением номера и. Если ߄— частичная сумма ряда (2.27), то погрешность б приближения 1п2 = Я„, равная сумме В„остатка этого ряда, удовлетворяет соотношению 0 < д = В„<1„, а = О, 1,2, ... Поскольку 1 1 Вз < тз, тз = = — > 0,0018 > 0,001; 4, 5.
Зз 540 1 1 Вз < тз тз = = — < 0,00015 < 0,001, 4 7 Зз 6804 для вычисления 1п2 с точностью до 0,001 достаточно взять сумму первых трех ненулевых членов ряда (2.27): 1п2 ен 2 ~-+ — + — ) = 0,6667+ 0,0247+ 0,0016 0,693. т1 1 1 ~3 3.3з 5.3з 206 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ о — Х2 Первообразная подынтегрзльной функции е * не выражается явно через элементарные функции, поэтому для оценки этого интеграла поступим следующим образом. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена в интервале ( — со, +со) (см. 2.7) и почленно проинтегрируем этот степенной ряд (см. теорему 2.18): 1 о 1 х4 хгп =/(~ — ~»- — —...«-(-лг — ~-...)а = 2! и! о 1 1 ( — 1)" =1 — — + — —...+ +." 3 5 2! (2п+1)п! Напомним, что при вычислении значения 1п2 с помощью ряда (2.25) для обеспечения той же точности требовалось суммировать тысячу членов ряда.
Аналогично нетрудно показать, что ряд (2.26) является быстро сходящимся не только при $ = 1, но и при любом 4 Е (О, 1]. Это позволяет использовать ряд (2.26) для эффективного вычисления (т.е. обеспечения заданной точности при суммировании небольшого числа первых членов ряда), например, значения 1п(п+ 1), если уже известно значение 1пп. Действительно, 1п(в+1) = 1п(п(1+ — )) =1пп+1п(1+ — ), и б !Ч, где 0 < 1/п < 1, и поэтому значение 1п(1+ 1/п) можно эффективно вычислить с помощью ряда (2.26).
Степенные ряды часто используются также для приближенного вычисления определенных интегралов. Пример 2.35. Вычислим с точностью до 10 4 определенный интеграл 2.В. Применение рядов и нриляооиеииыи вычислениях 207 Пусть Яи и  — и-я частичная сумма и сумма и-го остатка этого ряда соответственно. Тогда погрешность приближения 2 1 е * Их = Я„равна б = '!В ~.
Полученный для интеграла а рлд является энакочередуюп4имсл и удовлетворяет признаку Лейбница. Следовательно, для суммы В остатка этого ряда справедливо соотношение (см. следствие 1.4) о=!Ви!< 1 1 (2(п + 1) + 1) (и+ 1) ! (2н+ 3) (и+ 1) ! Проведя вычисления, получаем 1 (ВО~ < —, — > 10 4; !ВО! < — <10 4. 9360' 9360 75600 1 Таким образом, заданная точность оценки ) е * 4!х = Я„ О будет обеспечена, если вычислить сумму первых семи членов полученного ряда (и = 6): | 1 '~ (2п+1)п! 3 5.2! 7 3! О и=а + — — + =0,7468, 6<10 . ф -4 9 4! 11.5! 13.6! Рассмотрим еще одну задачу, в которой применение рядов Тейлора позволяет быстро получить решение.
Это задача вычисления производной у(и!(ха) некоторой функции 7(х) в точке ха Е К при условии, что ряд Тейлора функции 7(х) в окрестности точки ха известен. Действительно, если у(х) = а„(х — ха)" — вычисленный каким-то образом ряд Тейло=О ра функции у(х) в окрестности точки х = ха, то у!и!(ха) а„= и! 1 208 г. ФункциОИАльные Ряды следовательно, 1!"!(хо) = и!а„, где а — коэффициент при члене (х — хе)" ряда Тейлора функции У(х).
Пример 2.36. Найдем значение у!г5!(0) для функции 3 У(х) = хг 3 ' О, х=О. Покажем, что в точке хе = 0 существуют производные любого порядка. Действительно, используя разложение синуса (см. 2.7) и замену н =хз/3, при х ФО получаем хг 1 оо ( — Цн 1хз(гн 1! Оо ( — Цн 1хен з ,1(х) = — е!и хг 3 хг ~- (2п — Ц!Зг" 1 ~ (2п — Ц!Зг" 1 п=1 и=1 А так как 1 (О) = О, то это разложение верно при всех х Е К. Согласно теореме 2.20, функция 1 (х) бесконечно дифференцируема в точке хо = О, и полученный степенной ряд является ее рядом Тейлора. Поскольку коэффициент ае„5 при члене х~" 5 в ряде Тейлора функции ~(х) определяется формулой ( цн-1 ае -5=, „,, пе51, (2п 1) н- имеем ( цз-1 ге=аве-в — (2 5 ц!Згь-1 О!,3г Следовательно, 25! ,1! !(0) =25!агэ = 9! .
3г ' Заметим, что из полученного вьппе разложения функции ,1(х) в ряд Тейлора следует, что все ее производные порядка, отличного от бп — 5, и Е М, в точке х = 0 равны нулю. 29. интегрирование диффереициавьнмн уравнений 209 2.9. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов В том случае, если обыкновенное дифференциальное уравнение проинтегрировать в квадратурах (т.е. выразить решение уравнения через элементарные функции или интегралы от них) не удается или принципиально невозможно, можно представить решение этого уравнения в виде севепенного ряда.
В этом параграфе разобраны основные приемы представления решения с помощью степенного ряда на примере обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной (Ч111] уи = Р(х,у,у ), а также уравнение более общего вида (2.28) р(х)уи = Р1(х,у,у'). (2.29) *Си.: Карташев А.П., Ронсдественсииа Б.Л. Уравнение (2.29) принципиально отличается от (2.28) тем, что оно может иметь особые точки, абсцисса хе которых удовлетворяет уравнению р(хо) = О. В окрестности таких точек уравнение (2.29) нельзя разрешить относительно старшей производной уи и свести к виду (2.28). В окрестности остальных (неособых) точек уравнение (2.29) можно привести к виду (2.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
