III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2. Элементы т'-й строки не входят в минор Ф. Тогда минор !$' является минором матрицы А и равен нулю, так как 1 > г. 3. Элементы !тй строки входят в рассматриваемый минор, а элементы Й-й строки не входят. Не нарушал общности доказательства, можем считать, что ! = !!. Тогда, согласно свойствам 7.3, 7.4 определителей, Ж = Х!$$$то! = М?'"' '+ ~$М~$2'"р! = О $$2" н $$2"'$! ь$2.. $! $ поскольку МД~';4! равен нулю как минор матрицы А порядка 1 > г, а МДт'",'$! равен нулю как определитель, который, возможно, отличается от минора матрицы А порядка 1 > г следованием строк.
Итак, элементарные преобразования строк матрицы А не увеличивают ее ранг. Но тогда ранг сохраняется. Действительно, если предположить, что при некотором элементарном преобразовании строк матрицы ранг уменьшился, то выполнение соответствующего обратного элементарного преобразования строк привело бы к исходной матрице. Следовательно, ранг должен возрасти, чего быть не может. Наконец, при последовательном выполнении элементарных преобразований строк матрицы А ее ранг не меняется, поскольку он сохраняется на каждом шаге при выполнении конкретного элементарного преобразования.
~ 230 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ 8.5. Теорема о базисном миноре Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля. Определение 8.4. Минор М матрицы А называют базисным, если выполнены два условия: а) он не равен нулю; б) его порядок равен рангу матрицы А. Матрица А может иметь несколько базисных миноров. Сп1роки и столбцы матрицы А, в которых расположен выбранный базисный минор, называют 6аэисными. Следующую теорему, занимающую одно из центральных мест в теории матриц и ее приложениях, называют пзеоремоб о базисном миноре.
Теорема 8.7. Базисные строки 1столбцы) матрицы А, соответствующие любому ее базисному минору М, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы А, не входящие в М, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов) . ~ Доказательство проведем для строк. Пусть ранг матрицы А = (а;;) типа тхп равен г. Фиксируем какой — либо йе базисный минор М и соответствующие ему базисные строки матрицы А. Докажем, что базисные строки линейно независимы.
Предположим, что они линейно зависимы. Тогда по теореме 6А одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. Согласно свойству 7.5 определителей, минор М равен нулю. Это противоречит тому, что минор М базисный. Теперь докажем, что любая строка матрицы А, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. Предположим, не ограничивая общности доказательства, что базисный минор М расположен в верхнем левом углу 231 8.5.
Теорема о беэисиом миноре матрицы. Пусть 1 — номер строки, не являющейся базисной, тл.. г+ 1 < Ь < т. Покажем, что определитель порядка г+ 1 аы агг " аге аг. аю агг ... аге аг1 ау 1 ау г ° аее аей ап аьг ... а;„аб полученный добавлением к минору М элементов 1-й строки и произвольного З-го столбца матрицы А, г = 1, и, равен нулю. Прн г < г определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. Если же г ) г, то Ь = О, так как в этом случае Ь является минором матрицы А, порядок которого равен г+ 1 и больше ранга матрицы. Итак, О = О. Раскладывая определитель Ь по последнему столбцу, получаем равенство А1„+га11+ Аг „+1аг +...+А„„+1а +А„+1„+гаой = О, и котором через Аг,+,, Аг,+,, ..., А„,„+и А„+ц„+1 обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера г, т.е.
не зависят от того, элементы какого из столбцов матрицы А взяты в качестве последнего столбца определителя Ь. Кроме того, А„+ц„+~ — — М ~ О. Поэтому из последнего равенства следует, что для всех у = 1,п а; = Ь1агб+Ьгаг,.+...+Ьеа... где коэффициенты Ьь = — Аь„+1/А„+ц„+и й = 1, г, не зависят от г, а это означает, что 1-я строка (г+ 1 < г < т) матрицы Л является линейной комбинацией первых г ее строк, т.е.
линейной комбинацией ее базисных строк. ~ Следствие 8.2, Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы. 232 я. ОБРАтнАЯ мАтРиЦА и РАНГ мАтРиЦы ~ Необходимость. Если квадратная матрица А невырождена, то ее ранг равен ее порядку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются баэисными и по теореме 8.7 о базисном миноре они линейно независимы.
Достаточность. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы А являются линейно независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейными комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы А, согласно теореме 6.2, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы А являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным минором и, следовательно, согласно определению 8.4, отличен от нуля, т.е.
квадратная матрица А невырождена. ~ Теорема 8.8. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами). < Докажем теорему для строк. Зафиксируем произвольный набор из т линейно независимых строк матрицы, где т — это ранг матрицы. Нам достаточно показать, что хотя бы один из базисных миноров расположен в фиксированных строках. Отбросим остальные строки матрицы и докажем, что ранг новой матрицы, содержащей г строк, равен г.
Так как новая матрица не имеет миноров порядка больше чем г, то ее ранг не может превосходить г. Если бы он был меньше г, то только часть этих г фиксированных строк были бы базисными в новой матрице, а остальные, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, являлись бы их линейными комбинациями. Согласно теореме б.2, последнее означало бы линейную зависимость фиксированных г строк, что противоречит условию теоремы. Итак, ранг новой матрицы равен г.
Ее базисный минор имеет порядок г и является ненулевым минором порядка г исходной 2ЗЗ 6.а Вычисление ранга матрицы матрицы, расположенным в рассмотренных фиксированных г строках. ° Теорема 8.9. Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столб- И и). ~ Доказательство теоремы проведем для строк. Согласно тесреме 8.7 о базисном миноре, базисные строки линейно независимы. Следовательно, максимальное количество й линейно независимых строк матрицы не может быть меньше ранга г матрицы.
Итак, /с > г. Остается доказать, что й ( г. Отбросим те строки матрицы, которые не входят в число рассматриваемых и. Тогда ранг полученной матрицы из й строк равен й. Действительно, если бы он был меньше й, то только часть из зтих Й строк были бы базисными в новой матрице, а остальные, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, являлись бы их линейными комбинациями. Согласно теореме 6.2, это означало бы линейную зависимость рассматриваемых и строк, что не так. Итак, ранг новой матрицы равен й. Ее базисный минор имеет порядок й и является не равным нулю минором порядка й исходной матрицы. Следовательно, й ( г.
В Следствие 8.3. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов. 8.6. Вычисление ранга матрицы Для вычисления ранга матрицы применяют два метода: метод окаймляющих миноров и метод злементарных преобразований. Метод окаймляющих миноров.
Минор М' матрицы А называют окаймляюм4им для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового 234 8. ОБРАТНАЯ МА ТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ столбца матрицы А. Ясно, что порядок окаймляющего минора М' на единицу больше, чем порядок минора М. Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных .напоров матрицы и состоит в следующем. Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элеменпг матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка н столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится иэ-за ограниченных размеров матрицы. Теорема 8.10. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.
~ Утверждение теоремы следует из доказательства теоремы 8.7 о базисном миноре. Тем не менее приведем доказательство теоремы 8.10 полностью. Не ограничивая общности доказательства, предположим, что минор М порядка г матрицы А = (а; ) отличен от нуля, расположен в верхнем левом углу матрицы А и все его окаймг ляющие миноры равны нулю. Рассмотрим минор аы агг ... ам аг. агг агг " аг. агг а„г а„г ... а„„а„. ац аг .. а;„а;. полученный добавлением к минору М элементов 1-й строки и г'-го столбца матрицы А. Он равен нулю при любых значениях 1= г+1,т и г = 1,п. Если у < г, то Ь = О, поскольку этот определитель содержит два одинаковых столбца. Если же у > г, то гз = О, так как в этом случае Ь является окаймляющим для минора М.
Итак, Ь = О. 235 8.6. Вычисление ранга матрицы Фиксируем для Ь любое иэ значений г+ 1, ..., т. Раскладывая определитель сл по последнему столбцу, получаем равенство А1 „.ь1а11+ Аз „.ь1аяй + ... + А;,„ь1а,; + А„.ь1 „.ь1аб — — О, и котором через А1„+ы Аз „.ьм ..., А„„+м А„+, +, обозначены плеебраические дополнения соответствуюших элементов опрея лителя. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера 1, т.е.
не зависят от того, элементы какого из столбцов матрицы А взяты в качестве последнего столбца определителя Ь. Кроме того, А„ь~„.с1 = М ф О. Поэтому из последнего равенства следует, что для всех 1 = 1,н аб = Ь1а11+Ьзаяу+... +Ьсаг1, где коэффициенты Ьь = -Аь „.ь1/А„ьц„.ьы й = 1,г, не зависят от 1', а это означает, что г-я строка матрицы А является линейной комбинацией первых г ее строк. Вычитая из 1-й троки матрицы А линейную комбинацию первых г ее строк г коэффициентами Ьм Ьз, ..., 6„, получаем нулевую строку, не меняя при этом ранга матрицы А. Проделав это для всех г = т+1,т, получим матрицу с теми ьхе первыми г строками, но нулевыми остальными строками.
Ранг полученной матрицы равен рангу исходной матрицы А и, очевидно, равен г, так как в ней есть неравный нулю минор М порядка г, а любой минор с+ 1 или большего порядка будет иметь хотя бы одну нулевую строку и, следовательно, будет равен нулю. Это означает, что минор М является базисным в исходной матрице А. ~ Пример 8.7. Найдем ранг матрицы 2 — 4 3 1 О 1 — 2 1 -4 2 О 1 — 1 3 1 4 — 7 4 — 4 5 236 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ На первом шаге выбираем любой ненулевой элемент матрицы, например левый верхний элемент, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
