III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Отметим, что эти преобразования не зависят от элементов матрицы С и при их выполнении определитель матрицы (7.10) не будет меняться, а сама матрица примет верхний треугольный вид 6 В' где Сс — некоторая матрица осипа пхт, получившаяся в результате преобразования матрицы С. Согласно свойству 7.8, определитель матрицы Р' треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов, которое в данном случае получается умножением произведения диагональных элементов матрицы А' треугольного вида, равного с1е$ А', на произведение диагональных элементов матрицы В' треугольного вида, равного с1есВ'.
Таким образом, с1 ес Р = с1ес Р' = с1ес А' с1ес В' = бес А бе1 В. ~ Свойство 7.11. Определитель произведения двух квадратных матриц А, В е М„1К) равен произведению их определителей, т.е. с1ес(АВ) = с1ес Ас1еФ В. 205 7.3. Свойстве определителей ~ Пусть С = АВ. Рассмотрим две блочные матрицы Мс= Е В и М2= Е где Š— единичнал леатрииа порядка и. Из доказательства свойства 7.10 следует, что десМс = —. десМ = десА дейВ = десАдесВ. Для вычисления определителя десМз сделаем в матрице Мз и перестановок строк с изменением знака одной из переставляемых строк так, чтобы определитель при этом не менялся: (и+1)-ю строку матрицы Мз умножим на — 1 и поменяем местамн с 1-й строкой; (и+ 2)-ю строку умножим на — 1 и поменяем местами со 2-й строкой и т.д. и закончим умножением на — 1 последней строки и перестановкой ее с и-й строкой. В результате матрица Мз примет вид А С аы ...ас„о ...
0 аы ... ас„сы ... сс„ а„, ... а„„с„с ... сеп а„с...а„„о ... 0 — 1 ... О Ьы ... Ь,„ — 1...00...0 О ... — 1 Ь„, ... Ь„„ 0 ...— 1 0 ... 0 отмечаем, что первые и столбцов у них совпадают. н опять, как и выше, получаем, что дес Мз = дес Е дес С = дес С. Следовательно, дес Мз — — дес Мз = дес С = дес (АВ). Осталось доказать, что матрицу Мс элементарными преобразованиями строк можно преобразовать в матрицу Мз, не изменив ее определителя. Записав матрицы Мс и Мз через их элементы 206 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ В матрице М1 к (а + 1)-му столбцу прибавим 1-й, умноженный на 6п., 2-й, умноженный на 6гп и т.д.
и закончим прибавлением и-го столбца, умноженного на 6„1. В результате в (в+ 1)-м столбце в строках и+1,...,2п образуются нули, а в остальных строках, например гтй строке, г = 1,...,п,— а1ь6ь = си. Е й=1 Повторим аналогичные преобразования со столбцами (и +2)-м, (и + 3)-м, ..., (2а)-м. В результате получим матрицу Мг, не изменив при преобразованиях определитель в силу свойства 7.6. Вывод: матрицы М1 и Мг имеют одинаковые определители и, следовательно, с)еЦАВ) = с1е1Аое1В.
~ 7.3. Методы вычисления определителей При вычислении ооределитпелей применяются различные методы, основанные на свойствах определителей. Часто используемый метод состоит в преобразовании определителя к более простому виду, что мы видели в рассмотренных примерах. Иногда удобно вычислять определители, комбинируя применение различных их свойств. Рассмотрим конкретные при- меры. Пример 7.7. Вычислим определитель (и+ 1)-го порядка сг сг я сг ..
с„ сг сг з ... с с1 сг сз ... х 207 7.3. Методы вычислении определителей х+2 с; с1 сг х+2 С» Сг Сз ... х (выпосим за зпак определителя общий множитель х+ 2; с; и »=1 вычитаем из каждой строки, начиная с последней, предыдущую строку) сг 0 = (х+~с;) 0 сг — х х — сг 0 0 0 = (х+~ с;) — С2 0 (используем свойство 7.8) = (х+Ес;) П(х — с;). Прибавим к 1-му столбцу все остальные: 1 с1 0 х — с1 (раскладываем по 1-му столбцу) Х вЂ” С1 сг — х х 0 0 7. ОИРЕДЕЛИТЕЛИ 208 Пример 7.8. Вычислим циркулянт шестого порядка 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 Выполняя последовательно преобразования (6) — ~ (6) — (5), (5) -+ — ~ (5) — (4), (4) + (4) — (3), (3) -+ (3) — (2), (2) -> (2) — (1), получаем 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — 5 1 1 — 5 1 1 — 5 1 1 (вычитаем из первых пяти строк шестую и раскладываем определитель по 1-му столбцу) 0 7 2 3 4 5 0 6 0 0 0 — 6 0 6 0 0 — 6 0 0 6 0 — 6 0 0 0 6 — 6 0 0 0 1 — 5 1 1 1 1 (выносим общий множитель 6 из четырех строк и прибавляем к 1-му столбцу остальные) 21 2 3 4 5 0 0 0 0-1 0 0 0 — 1 0 0 0-1 0 0 0 — 1 0 0 0 64 64 7 2 3 4 5 1 0 0 0 — 1 1 0 0-1 0 1 0 — 1 0 0 1 — 1 0 0 0 5 6 1 — 5 -5 1 1 1 1 1 1 1 7 2 3 6 0 0 6 0 0 6 0 — 6 6 — 6 0 4 5 0 — 6 — 6 0 0 0 0 0 209 7.3.
Методы вычисления определителей Основой одного из подходов является получение некоторого оотношения, связывающего значение определителя гэ„порядка и с определителями, например, той же структуры, но более низких порядков: Д„=ДЬ„г,Ь„г,...,Ье ь), й(и. (7.11) Пример 7.9. Вычислим определитель п-го порядка йг х "г х х х ...
х х х ... х х йэ ". х х х ... Й„г х х ... х Й„ х х х х Такого рода соотношения 17.11) называют рекуррентными ~1), как и соответствующий метод вычисления определителей. Этот метод заключается в том, что сначала непосредственно по общему виду определителя вычисляют столько определителей низших порядков, сколько их имеется в правой части рекуррентного соотношения. Далее, по общему виду определителя или с помощью рекуррентного соотношения вычисляют < ще некоторое количество определителей низших порядков и подбирают вид их записи. Это делается для того, чтобы можно было уловить закономерность и записать формулу 1в виде гипотезы), выражающую определитель Ь„непосредственно через его элелеенпгы.
Наконец, справедливость гипотезы при любом и доказывается с помощью метода математической индукции. Общую формулу, выражающую определитель гз„непосредственно через его элементы, можно получить и другим путем. Для этого в рекуррентное соотношение, выражающее определитель и-го порядка, подставляют выражение определителя (и — 1)-го порядка из того же рекуррентного соотношения с заменой п на (п — 1) и т.д. Т. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 210 Представим элемент в правом нижнем углу в виде Й„= = х+ (Ʉ— х), а остальные элементы последнего столбца — в виде х = х+О. Используя свойство 7.3 и учитывая указанные представления для элементов последнего столбца, разобъем определитель на сумму двух: Й1 х х х Йз х х х Йз Й1 х х ... х х х Йз х ...
х х х х Йз " х х х О х О х О х х х ... Й„ 1 О х х х ... х Ʉ— х х х х ... Й„1 х х х х ... х х В первом определителе вычитаем последний столбец из осталь- ных, а второй раскладываем по последнему столбцу Й1 — х О ... О х О Йз — х ... О х + (Й„ — х)с1„ ы О О ... Й„ 1 — х х О О ... О х откуда Ь„= х(Й1 — х)... (Й„1 — х) + (Ʉ— х)Ь„~. (7.12) Полученный результат представляет собой рекуррентное соотношение для вычисления Ь„через Ь„1. Чтобы найти формулу для вычисления сл„непосредственно через его элементы, начнем вычислять определители низших порядков и записывать их значения в такой форме, чтобы можно было уловить общую закономерность и высказать гипотезу о формуле для Ь„.
Поскольку Ь1 = ) Й1 ! = Й1 (здесь, очевидно, )Й1 ( есть обозначение определителя первого порядка, а не модуля), то выражение 211 7.3. Методы вычисления определителей для Ь1 можно представить в виде /1 1 Ь1 — — х+(Й1 — х) = х1йг — х) ~ — + 1,х Йг — хг Далее, используя полученное рекуррентное соотношение, вычисляем значение для Ьг н выполняем необходимые преобра:вшания: Ьг — х(1сг — х) +(/Сг — х) л1 = йг — х .(йг х) + х(йг — х) 1гг г — х) 1 + йг — х ,г1 1 1 = х(нг — х)(иг — х) ~ + + 1 х /с1 — х хг — х/ Лвализируя выражения для Ь1 и Ьг, можно заметить следующуюю закономерность, которой подчиняется последовательность определителей Ь„, п б гч: /1 ! 1 1 Ло=Х(Й1 — Х)...(Йп — Х) ~ — + + +...+ \Х Й1 — Х Йг — Х Йп — Хг = х Д(;хг — х) (-+'~ '.„).
(7.13) 1=1 1=1 Формула (7.13) пока еще является гипотезой и ее нужно доказывать. Воспользуемся методом математической индукции. 1. При о = 1 формула (7.13) совпадает с полученным ранее выражением для Ь1. 2. Предположим, что уже доказана справедливость формулы (7.13) для Ь„1, т.е. Ь„1 = Х(Й1 — Х)... (Йп 1 — Х) Х г'1 1 х ~ — + + — +...+ . (7.14) 11,х йг — х йг — х й 1 — х/ 212 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Подставляя выражение (7.14) для Л„1 в рекуррентное соотно- шение (7.12), находим Ь„= Х(Й1 — Х)...
(Йи 1 — Х) + (Йп — Х) гг,п 1 = ( 1 1 1 1 =(йп — Х)Х(й1 — Х)...(йп 1 — Х) + — + +...+ 1й„— Х Х Й1 — Х йп 1 — Хг /1 1 йп — х т.е. формула (7.13) верна для определителя Ь„. 1 1 ... 1 1 Х1 Х2 ... Хп-1 Хьа и — г,п — 2 и — 1 и -2 Х1 и-2 Х2 и — 1 ьа — 1 п — 1 Хг Все строки начиная с 1-й, но кроме последней, умножаем на хи и из каждой полученной строки вычитаем стоящую ниже строку. Чтобы эти умножения не изменили определитель, запишем перед ним компенсирующий коэффициент 1/х„"1 и получим Хьь Хп-1 О Хп — Х2 хп — х1 Х1(Хп Х1) Хг(хьа Хг) Хьь — 1(Хп Хьа 1) О *" 2(яп-Х ) *." 2( „- ) и — 1 и-1 Х1 2 ьа-1 Хп Х,",,(Хп — Хп 1) и-1 хп Хп — 1 ьа Последний столбец в последнем определителе умножим на стоящий перед определителем коэффициент, а затем разложим Пример 7.10.
Вычислим часто встречающийся в приложениях определитпель Вандерл2онда и-го порядка (А.Т. Вандермонд (1735-1796) — французский математик): 7.3. Методы вычисления определителей Хи — Х1 Х1(Хи — Х1) Хи Х2 .. Хи Хи-1 Х2(Х вЂ” Х2) ... Х 1(Х вЂ” Хи 1) Х" (Хи — Х1) Х." (Хи — Х2) ... Х„", (Хи-Хи 1) выносим из каждого столбца общий множитель: 1 1 ... 1 Х1 Х2 ... Хи 1 Ь„= (Хи — Х1)(Хи — Х2)... (Хи — Хи 1) и-2 и-2 и-2 1 2 ''' и-1 Таким образом, приходим к рекуррентному соотношению и-1 ". = П(хи-х')'и!=1 Используя его, последовательно находим и-1 ~и — П (Хи Х1) 2~и-1 еи 1=1 и-1 и-2 = П(яи-Х) П(яи- -*1)~-- 1=1 1=1 и и 1 и-1 и-2 — П (Хи Х1) П (Хи-1 Х1) '-1и-3 1=1 1=1 !!родолжая редукцию и учитывая, что Ь1 = 1, окончательно получаем ~- = П(* —.') 1(У где произведение распространяется на все пары индексов 1, 1 = .= 1, и, удовлетворяющие неравенству 1( у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
