III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 24
Текст из файла (страница 24)
6.4. Привести примеры ненулевых квадратных матриц А и В третьего порядка, для которых АВ = О. 6.5. Доказать, что если две матрицы перестановочны, то они квадратные и одного порядка. 6.6. Доказать, что сумма и произведение двух верхних (нижних) треугольных матриц из М„(К) есть верхняя (нижняя) треугольная матрица из М„(К).
Чему равны диагональные элементы у произведения двух верхних (нижних) треугольных матриц из М„(К)? 6.Т, Являются ли симметрическими следующие матрицы: а) единичная; б) квадратная пулевая; в) нулевая? Какие из этих матриц являются кососимметрическими? 6.8. Доказать, что если матрица является одновременно и симметрической, и кососимметрической, то она квадратная нулевая. 181 Вопросы и задачи 6.9. Доказать, что для любой матрицы А Е М„(К) матрица т т А+А является симметрической, а А — А — кососнмметрической.
6 16 Вычислит Аюнв Агооо ~жкп а) А=, б) А=, в) А= 6.11. Найти А", и= 2,3,..., если а) А=, б)А=, абйь. 6.12. Построить пример ступенчатых матриц А и В, сумма которых не является ступенчатой матрицей. 6.13. Представить элементарные преобразования столбцов матриц как умножение преобразуемой матрицы справа на матрицы специального вида. 6.14. Вычислить значение квадратного трехчлена р(х) = = — 4яг+2х+3 для матриц 1 — 1 О а)А=; б)А= 3 2 — 1 — 1 О 2 6.15. Найти произведение двух матриц, перейдя к блочным матрицам согласно заданному разбиению на блоки н вычислив произведение блочных матриц (см.
пример 6.11). 182 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 6.16. При помощи элементарных преобразований привести к ступенчатому виду следующие матрицы: а)А= 2 1 1; б)А= 1 -2 -1 6.17. Определено ли произведение АВ, если А — матрица- столбец, а  — матрица-строка? 6.18. Можно ли произвольную квадратную матрицу представить в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц? Если такое представление существует, то единственно лн оно? 6.19. Для каких матриц А и В выполнено равенство: а) (А+ +в)'=А'+2Ав+в', б) А'-в'=(А+ВША-в)? 6.20.
Существуют ли матрицы А и В, удовлетворяющие равенству: а) АВ+В А =Е; б) А — В А =Е? 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 7.1. Определители и-го порядка Мы уже познакомились с определителями второго и третьего порядков, которые использовали в векторной алгебре и при решении систем двух и трех линейных уравнений. Теперь мы приступаем к изучению определителей произвольного порядка. В теории таких определителей используются понятия перестановки, подстановки и их четности.
Соответствующий материал подробно изложен в 11-4.5), а мы напомним только <.амые необходимые сведения. Всякое расположение чисел 1, 2, 3, ..., п в определенном порядке называют перестановкой из п чисел. Из и чи<сл можно образовать п! различных перестановок. В общем случае перестановку записывают в виде матрииы-строки о = (аы ою ..., а„). Перестановку (1, 2, 3, 4, ..., и) называют нормальной. Два числа о; и с<, в перестановке о = (аы ою ..., о„) образуют инверсию, если с< > о;, но при этом с<; стоит в перестановке правее <х (т.е. 1 > <).
Общее количество инверсий в перестановке <т обозначают ~о~, и если это число четное, то перестановку называют четной, а если оно нечетное— нечепзной. Пример 7.1. Определим, какова четность перестановки о = (4, 5, 1, 3, б, 2), т.е. выясним, является она четной или нечетной. Для этого подсчитаем в с< количество инверсий. Правее числа 4 стоят три числа, меньшие его: 1, 3 и 2. Следовательно, числу 4 соответствует три инверсии с числами, стоящими справа от него. Справа от числа 5 стоят также три числа, которые меньше 5.
Следовательно, числу 5 тоже 184 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ соответствует три инверсии с числами, стоящими справа от него. Аналогично находим, что число 1 не образует инверсий с числами, стоящими правее его, числа 3 и 6 образуют по одной такой инверсии. Общее количество инверсий в перестановке о равно )а) = 3+3+0+1+1= 8, т.е. четно. Следовательно, перестановка о является четной. 1Р Транспозицией нерестаноени называют такое ее преобразование, при котором в ней меняются местами какие-либо два элемента, а другие остаются на своих местах.
Теорема 7.1. Любая транспозиция меняет четность перестановки. < Пусть транспозиция состоит в том, что в перестановке а меняются местами ее 1-й и у'-й элементы, т.е. ( ..> он» .. о1> ° ) +(. > ог» о» .)> где многоточиями обозначены числа, сохраняющие свои места. Если числа ои и а являются соседними в перестановке, т.е. 3=1+1, о=( ° о> ог ".) и образуют инверсию, то при транспозицни эта инверсия исчезнет, а если ее не было, то она появится. Для любой другой пары элементов из перестановки их взаимное расположение при транспозиции не меняется. Поэтому общее количество инверсий в перестановке при транспозиции изменяется ровно на единицу.
Следовательно, перестановка меняет свою четность. Если числа он и о стоят в перестановке через т промежуточных чисел, те. у =1+т+1, а= (..., о>, сн+ы он+г > а;+, о1, ...), то их транспозицию можно реализовать с помощью последовательных транспозиций только соседних пар чисел.
Действительно, число аг можно поменять местами последовательно с 185 7.1. Определители и-го порядка о +и сп+г,, о;»., затем уже в перестановке ( 1 оФ+11 о1+2) ° ° ° ~ оп+и~ ееб оз~ ° ° ) поменять местами с а,, после чего число се1, уже стоящее слева т о„поменять местами последовательно с се;» ,, а,+з, о;+1. В результате нужная перестановка (.
° ° ~ От~ СП+Ы Ж+2~ . ° ° ) О1+еа~ Об ° ° ) будет получена за счет выполнения 2тп+ 1 транспозиций соседних чисел. Поскольку при этом четность перестановки каждый раз изменялась, а всего этих изменений было нечетное число, то в результате четность перестановки изменилась на противоположную. ~ Из двух перестановок (аы оз, ..., оа) и (А, А, "., А) одних и тех же чисел можно составить новый объект (7.1) который называют иодсгиоиовиоб и-й степени.
Подстановку называют чегииоб, если перестановки, из которых она состоит, имеют одинаковую четкость, и иечеизиоб и противоположном случае. Четность подстановки (7.1) совпадает с четностью числа ф(+ ~а~ — общего количества инверсий в строках подстановки, которое обозначают ~о ~.
Траиспозицией иодстиаиоеии называют любую перестановку ее столбцов. Поскольку транспозиция подстановки вызывает транспозицин и в образующих ее перестановках, то, согласно теореме 7.1, очевидно, что транспозиция подстановки не меняет ее четкость. Каждая подстановка вида (7.1) задает взаимно однозначное отображение множества чисел 1, 2, 3, ..., и на себя, при котором Д отображается в оы дз — в сея и т.д. В соответствии с 186 7.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ интерпретацией подстановок как отображений две подстановки считают ровными, если они отличаются только порядком записи своих столбцов. Например, подстановки 2 4 1 3 2 3 4 1 равны, так как вторая получается из первой перестановкой столбцов. Соглашение о равенстве подстановок позволяет записать любую подстановку так, чтобы первая строка являлась нормальной перестановкой.
Поэтому различных подстановок п-й степени имеется ровно и! Определение 7.1. Определителем порядка и, соответствующим квадратной матрице аы агг ... аг„ агг агг ... аг„ (7.2) а 1 а„г " а порядка п !определителем квадратной матрицы порядка п), называют сумму и! слагаемых йе1А = ~~) ( — 1)! !а1,аг„,...а„„„, (7.3) о которая берется по всевозможным подстановкам вида Определитель матрицы А часто называют просто определителем, или детермикактом, и обозначают ам а ге ... ого аг1 агг ...
аг„ аы анг ... а„„ или деФ А, называя А матрицей этого определителя. 187 7. !. Определители и-го порядка Определение 7.1 в частных случаях п = 2 и и = 3 дает то же, и! о и введенные ранее в 2.1 определения. Например, при и = 2 из элементов матрицы пп и!з можно составить только два указанных в определении произ- ведения аыазз и а!зпз!, которым соответствуют подстановки ет! —— и <тз = четная и нечетная соответственно, так как )ет!( = О,а )!тз! = 1. Поэтому, согласно формуле (7.3), е1е!А = ( — 1)ов!!аз!+ ( — 1) а!лаз! — — а!!азз — а!заз!. ! Каждое слагаемое в сумме (7.3) представляет собой произведение и элементов матрицы (7.2).
При этом все сомножители находятся в разных строках и в разных столбцах матрицы, по одному в каждой строке (каждом столбце). В произведении сомножители упорядочены по номерам строк (другими словами, по первому индексу), и этот порядок определяет знак слагаемого.
Однако на самом деле выбранный порядок не является существенным. Если мы изменим порядок сомножителей конкретного слагаемого, то подстановка, образованная номерами строк и столбцов сомножителей, будет иметь тот же знак, что и подстановка, использованная в сумме (7.3). В частности, сумма (7.3) совпадает с суммой де!А = ~~! ( — 1)~'~ад!!ад,з "пп. т которая берется по всем подстановкам т вида т д! Ф2 " 3 188 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
