III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Отметим, что после приведения в (5.23) подобных 148 В. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ слагаемых получим уравнение (аАг + ДАг)я+ (оВ1 + ДВг) у+ (оС1+ ~9Сг)г+ (оРг + /3Пг) = О, являющееся уравнением первоео порядка, так как в нем хотя бы один коэффициент при переменных отличен от нуля. В самом деле, поскольку плоскости кг и яг непараллельны, их нормальные векторы п1 — — (А1, Вг',С~~ и пг = 1Аг, 'Вг, Сг) неколлинеарны, а значит, векторное произведение п1 хпг не является нулевым вектором.

Поэтому хотя бы один из определителей второго порядка Аг Вг ~Аг С1 ~ Вг С1 Аг Вг ' 1Аг Сг~' Вг Сг ' представляющих собой координаты этого векторного произведения в прямоугольной системе координат, отличен от нуля. Пусть, например, первый из них не равен нулю. Тогда система А1 о+ Аг)9 = О, Вг о+ Вг,9 = О Аг*о+ В1уо+Сгяо+ Р1 = О, Агто+ Вгуо+ Сгго+.Ог = О. (5.24) Следовательно, для координат точки Мо выполняется и соотношение (5.23), т.е. точка Мо лежит в плоскости к.

Тем самым имеет единственное решение и им является а= В=О. Это значит, что если о и Д одновременно не обращаются в нуль, то либо коэффициент А1о+ Аг11 при переменной х, либо коэффициент Вго+ ВгД при переменной у в уравнении (5.23) отличен от нуля. Итак, (5.23) является уравнением плоскости. Остается убедиться, что эта плоскость проходит через прямую пересечения плоскостей я1 и кг. Но если точка Мо(яо, уо,' го) принадлежит одновременно плоскостям к1 и кг, то одновременно выполняются соотношения 149 ДЛЬ1. Лунки и связки мы показали, что точки пересечения плоскостей х1 и яг лежат на плоскости х. Необходимость.

Пусть плоскость хз. Азх+ Взу+ + Сзх+ Рз — — О соДеРжит обЩУю пРЯмУю плоскостей х1 и хг. ,![окажем, что ее уравнение можно записать в виде (5.23) при некоторых значениях параметров о и Д. Заметим, что нормальные векторы п1, пг, пз трех плоскостей х„хг, хз, имеющих общую прямую, лежат в одной плоскости я„, перпендикулярной этой общей прямой (рис. 5.14). Векторы п1 и пг неколлинеарны, так как соответствующие им плоскости непараллельны.

Поэтому эти два вектора образуют базис в пространстве Г~ векторов, параллельных х„. Это значит, что вектор пз является линейной комбинацией векторов п1 и пг, т.е. при некоторых значениях о и 13 ПЗ = ОП1 + Рпг. 3 2 ! Рис. 5.14 На прямой, общей для трех плоскостей, зафиксируем точку Мо(хо, уо, го) и рассмотрим произвольную точку М(х; у; х) н вектор МоМ = ОМ вЂ” ОМо. Координаты точки Мо удовлетворяют равенствам (5.24).

С помощью этих равенств можно выразить свободные члены Р1 н Рг в уравнениях плоскостей через координаты точки Мо и записать векторные уравнения этих плоскостей: ,(Оп — Оп,)=0,:,(Оп — ОМ)=0. ~5.25) 150 о. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Но тогда векторное уравнение пз(ОХ~ — ОЯе~) = 0 плоскости хз преобразуется к соотношению или Преобразуя векторные уравнения плоскостей х1 и хз к их общим уравнениям, получаем уравнение вида (5.23), т.е. плоскость хз пучка описывается этим уравнением. Ь Пучок прямых па плоскости. Аналогично пучку плоскостей в пространстве рассматривают пучок прямых на плоскости. Пучком прямых на плоскости называют семейство всех прямых, проходящих через фиксированную точку плоскости.

Пучок однозначно определяется любой парой своих прямых. Для пучка прямых на плоскости справедлив следующий аналог теоремы 5.2. Теорема 5.3. Для того чтобы прямая входила в пучок прямых, определяемый парой непараллельных прямых Ь1. а1х+ Ь1у+ с1 = О> Ьз. азх+ Ьзу+ сз = О, необходимо и достаточно, чтобы ее общее уравнение можно было записать в виде а(а1х+Ь1у+с1)+Яазх+Ь|у+сз) =О, а~+/3~~0. (5.26) Связка плоскостей. Связкой плосмосеаей называют семейство всех плоскостей в пространстве с одной общей точкой. Связка плоскостей однозначно определяется любой тройкой своих плоскостей, не принадлежащих одному пучку плоскостей. Действительно, две различные плоскости связки пересекаются по прямой и определяют тем самым пучок плоскостей. 151 Длк1.

Йучкк я свяэки Если третья плоскость связки не принадлежит зтому пучку, то у таких трех плоскостей имеется единственная общая точка, определяющая связку плоскостей. Три различные плоскости могут не иметь общих точек (рис. 5.15, а), иметь их бесконечно много (рис. 5.15, 6) или иметь единственную общую точку. В первых двух случаях нормальные векторы плоскостей компланарны. Если же нормальные векторы трех плоскостей некомпланарны, то о таких плоскостях говорят, что они находятся в общем ээоложемиа. Три плоскости, находящиеся в общем положении, пересекаются в единственной точке и однозначно определяют связку плоскостей. Это следует из того, что условие некомпланарности нормальных векторов плоскостей х;: Агл+ В;у+ Сея+ О; = О, 1= 1,2,3, в координатной записи означает, что определптиель А1 В1 С1 Ая Вз Сз Аз Вз Сз Рис.

5.15 152 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ отличен от нуля и это приводит к существованию единственного решения у систены трех линейных уравнений с тремя неизвестными А1х+ В1у+ Сгх+ Р1 — — О, Агх + Вгу+ Сгх+ Рг = О Азх+ Взу+Сзх+Рз = О Теорема 5.4. Для того чтобы плоскость входила в связку плоскостей, определяемую тройкой плоскостей и;: А;х+ В;у+ + Сел+ Р; = О, г = 1,2,3, общего положения, необходимо и достаточно, чтобы ее общее уравнение можно было записать в виде о(А1х+ В1 у+ С1х+ Р1) + ~9(Агх+ Вгу+ Сгх+ Рг) + + 7(Азх+ Взу+ Сзх+ Рз) = О, (5.27) где ог + ф+ уг ~ О, Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2. Различие состоит лишь в том, что в случае пучка плоскостей нормальные векторы двух непараллельных плоскостей образуют базис в Уг, а нормальные векторы трех плоскостей общего положения образуют базис в Уз. ~ Если дана точка Мо(хо,уо,хо), то связку плоскостей, проходящих через эту точку, легко определить, рассмотрев три плоскости, параллельные координатным, т.е.

х = хо, у = уо, х = хо. По теореме 5.4 получим уравнение связки: о(х — хо) + 11(у — уо) +'у(х — хо) = О. Коэффициенты о, В и 7, являясь координата.ии нормального вектора плоскости в базисе нз трех нормальных векторов выбранных плоскостей, в данном случае есть его координаты в прямоугольной системе координат. Вопросы и задачи 153 Вопросы и задачи 5.1.

Найти общее уравнение плоскости: а) проходящей чер< з начало системы координат; б) параллельной координатной плоскости хОу (уОг); в) параллельной оси ординат (аппликат); г) проходящей через ось ординат (аппликат). 5.2. Найти канонические уравнения прямой: а) проходящей через начало системы координат; б) параллельной оси абсцисс (ордннат, апплнкат); в) совпадающей с осью абсцисс (ординат, аппликат); г) параллельной координатной плоскости хОу (уОг). 5.3. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через начало системы координат и перпендикулярной плоскостям 2х — Зу — а+5 = О, 4х — За+1 = О.

5.4. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1 ( — 1; 3; 2), Мг(4; 1; 0) и параллельной прямой х+2 у-1 я+5 3 — 4 1 5.5. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку М~(1; — 2; 1) и прямую х — 1 у+1 х — 1 2 3 2 5.6. Исследовать взаимное расположение пар плоскостей: а) Зх — у+2а' — 4=0, — бх+2у — 4х — 4=0; б) х+ 2у — 2х — 4 = О, 2х+ 4у — 4х — 8 = О.

5.7. Найти все значения параметра ~, при которых плоскости йх — у — х — 4=0, х+2у — Зх — 5=0, (2 — 1)х+у — 24х+1= 0 находятся в общем положении. 5.8. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1(0; 1; — 2), Мз(1; 2;1) и перпендикулярной плоскости х — у+ Зх — 12 = О. 5.9. Найти канонические уравнения прямой, параллельной плоскостям х — у — х — 5 = О, х + 2у+ 2х = 0 и проходящей через точку М1(1; 0; — 2). 154 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 5.10.

Найти параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М1(1; 1; — 2) на прямую х+2 у — 1 я+5 3 2 2 5.11. На плоскости х+ у — г = 0 найти точку с наименьшим расстоянием до начала системы координат. 5.12. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от плоскостей: а) х — 2у+ 4х — 3 = О, Зх — бу+ 12х+ 7 = 0; б) х — 2д+4х+5= 0, 4х+у+2г — 11=0. 5.13. Выяснить, в какой из двух углов между плоскостями х+ Зу — 2х+ 1 = О, Зх — у+ 2г+ 2 = 0 попадает точка М(1; 1; — 1), в острый или тупой. 5.14. На каком минимальном расстоянии от начала системы координат пройдет точка при прямолинейном ее движении из точки М(5; 0; 1) в направлении точки М1( — 5; 1; 3).

5.15. Найти канонические уравнения прямой, симметричной прямой х — 1 = 1 — у = х относительно плоскости х + Зу— — 2х+1=0. 5.16. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки М(3; — 1; 2) на плоскость 2х — 2у+ х — 1 = О. 5.17. Для треугольника с вершинами А(2; 3; -2), В(4; — 1; 4), С(2; — 3; 2) найти канонические уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проходящих через вершину А. 5.18, Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А(1; 4; — 3), В(3; О; — 5).

Характеристики

Список файлов книги