III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 16
Текст из файла (страница 16)
118 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 4.7. Найти уравнения сторон параллелограмма АВСР, если известны координаты его двух вершин А( — 1; — 2), В(3; -4) и точки М(0; 1) пересечения диагоналей. 4.8. Прямая, проходящая через точку М(1; 4) и не проходящая через начало системы координат, отсекает от первой четверти координатной плоскости треугольник минимальной плошади. Найти ее уравнение. 4.9. Найти уравнение прямой, которая касается окружности радиуса 2 с центром в начале системы координат и проходит через точку М(З; 1). 4.10.
Найти расстояние между прямыми: а) х = — 2+1, у = = 3+ 21 и 2х — у+ 8 = 0; б) х = 2 — 31, у = 1+ 1 и 2х + у+ 3 = О. 4.11. Найти координаты вершин квадрата по уравнению одной из его сторон Зх — 4у+ 20 = 0 и точке М(-3; 4) пересечения его диагоналей. 4.12. Найти угол между медианой и высотой треугольника АВС, выходящими из вершины А(1; — 5), если известны координаты точки М(2; 1) пересечения его медиан и вершины В(5; 0). 4.13. Найти уравнение множества точек на плоскости, которые удалены от прямой (х — 2)/3 = (у+ 1)4 в два раза дальше, чем от прямой х = 1 — 121, у = 5+ 51. 4.14. Доказать, что медианы (высоты, биссектрисы) треугольника пересекаются в одной точке.
4.15. Найти площадь треугольника, если известны координаты его двух вершин А(1;6), В(3; 8) и точки пересечения: а) медиан М(4; — 4); б) высот Н(5; 0). 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 5.1. Алгебраические поверхности первого порядка Уравнение первого порядка с тремя неизвестными имеет нид Ах+ Ву+ Сг+ Р = О, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля. Оно задает в пространстве в прямоугольной системе координат Охух алгебраическую поверхность первого порядка. Свойства алгебраической поверхности первого порядка во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости — геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя иеизвсстиььии.
Теорема 5.1. Любая плоскость в пространстве является поверхностью первого порядка и любая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость. м Как утверждение теоремы, так и ее доказательство аналогичны теореме 4.1. Действительно, пусть плоскость и задана своей точкой Мв и ненулевым вектором п, который ей перпендикулярен. Тогда множество всех точек в пространстве разбивается на три подмножества. Первое состоит из точек, принадлежащих плоскости, а два других — из точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.
Какому из этих множеств принадлежит произвольная точка М пространства, зависит от знака скалярного произведения пМо *за'. Если точка М принадлежит плоскости 1рис. 5.1, а), то угол мезкду векторами п и МоХ~ прямой, и поэтому, согласно теореме 2.1, 120 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ их скалярное произведение равно нулю: яяМола = О.
(5.1) Рис. 5.1 Если же точка М не принадлежит плоскости, то угол между векторами тс и Мой) острый или тупой, и поэтому иМола > О или твМоЛ1 ( О соответственно (см. доказательство теоремы 2.1), причем знак этого скалярного произведения один и тот же для всех точек, расположенных по одну сторону от плоскости (рис. 5.1, б). Обозначим координаты точек Мо, М и вектора яя через (хо; уо; яо), (х; у; х) и (А; В; С) соответственно. Так как Мой= = (х — хо, у — уо, х — «о), то, записывая скалярное произведение из (5.1) в координатной форме (2.9) как сумму попарных произведений одноименных координат векторов и, и МоМ, получаем условие принадлежности точки М рассматриваемой плоскости в виде А(х — хо) + В(у — уо)+С(х — хо) = О.
(5.2) Раскрытие скобок дает уравнение Ах+Ву+Сг+В=О, (5.3) где .0 = — Ахо — Вуо — Схо и хотя бы один из коэффициентов А, В, или С отличен от нуля, так как вектор ть = (А; В; С) 5.1. Алгебраические поверхности первого порвдка 121 ненулевой. Это означает, что плоскость является геометрическим образом уравнения (5.3), т.е. алгебраической поверхностью первого порядка.
Проведя изложенное доказательство первого утверждения теоремы в обратном порядке, мы докажем, что геометриче- ~ к им образом уравнения Ах+ Ву+ Сх+ Р = О, А + В + Сз ф О, является плоскость. Выберем три числа (х = хо~ у = уо, х = хо)> удовлетворяющих этому уравнению. Такие числа существук>т. Например, при А ф О можно положить уо —— О, хо = О и тогда хо = -Р/А. Выбранным числам соответствует точка Мо(хо, уо, хо), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ахо+ Вуо+Схо+ Р = О следует, что Р = -Ахо — Вуо — Схо. Подставляя это выражение в рассматриваемое уравнение, получаем Ах+ Ву+Сг — Ахо — Вуо — Схо = О что равносильно (5.2), Равенство (5.2) можно рассматривать как критерий ортогонольиости векторов и = (А; В; С) и МоЛт, где точка М имеет координаты (х; у; х). Этот критерий выполнен для точек плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору к = (А; В; С), и не выполнен для остальных точек пространства.
Значит, уравнение (5.2) есть уравнение указанной плоскости. ~ Уравнение Ах+ Ву+Сг+ Р = О называют общим уравкекием клоскостки. Коэффициенты А, В, С при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор и = (А; В; С) перпендикулярен плоскости. Его называют кормалькьтм вектором тмоскосттви. По известным координатам точки, принадлежащей некоторой плоскости, и ненулевого вектора, перпендикулярного ей, с помощью (5.2) уравнение плоскости записывается без каких— либо вычислений. 122 а пРямАя И плОскОсть В пРОстРАнстВе Пример 5.1.
Найдем общее уравнение плоскости, перпендикулярной радиус-векотору точки А(2;5; 7) и проходящей через точку Мв(3; — 4; 1). Поскольку ненулевой вектор 0.4 = (2; 5; 7) перпендикулярен искомой плоскости, то ее уравнение типа (5.2) имеет вид 2(х — 3)+ 5(у+4) + 7(г — 1) = О. Раскрывая скобки, получаем искомое общее уравнение плоско- сти 2х+5у+7г+7=0. 5.2. Специальные виды уравнения плоскости Векторное и параметрические уравнения плоскости. Пусть ге и г — радпус-вектпоры точек Мо и М соответственно. Тогда МвЛ$ = г — го, и условие (5.1) принадлежности точки М плоскости, проходящей через точку Мв перпендикулярно ненулевому вехтпору тт (рис.
5.2, а), можно записать с помощью скаллрного произведения в виде соотношения (5.4) п,(т — те) = О, которое называют веттттторнылт уравмемаелт тзлоскостнн. Рис. 5.2 Фиксированной плоскости в пространстве соответствует множество параллельных ей векторов, т.е. просотраистиво $'з. 5.2. Специальные виды уравнение плоскости 123 Выберем в этом пространстве базис еыег, т.е. пару неколлинеарных векторов, параллельных рассматриваемой плоскости, и точку Ма на плоскости. Если точка М принадлежит плоскости, то это эквивалентно тому, что ей параллелен вектор МоЛ$ (рис. 5.2, б), т.е. он принадлежит указанному пространству Ър. ',)то означает, что существует разложение вектора МаХ~ в базисе еыег, т.е.
существуют такие числа гг и сг, для которых Ма»»» = 21е1+»гег. Записав левую часть этого уравнения через радиус-векторы гд и г точек Ма и М соответственно, получаем векпгорное параметприческое уравнение плоскости г = го+»1ег +»гег, гг, гг б»»аь. (5.5) Чтобы перейти от равенства векторов в (5.5) к равенству их координат, обозначим через (ха, уо, га), (х; у; х) координаты точек Ме, М и через (е1, е1„, 'ег,'1, (ег , 'егг', ег,~ координаты векторов е„ег.
Приравнивая одноименные координаты векторов г и го+ гге~ + сгег, получаем парамепгринеские уравнени* плоскосупи Х = ХО + г1Е1»+ ггсг» у = уо+»геги+»гегв х = ха + 8г ег» + сгсг». (5.6) Плоскость, проходящая через три точки. Предположим, что три точки Мы Мг и Мз не лежат на одной прямой.
Тогда существует единственная плоскость х, которой эти точки принадлежат. Найдем уравнение этой плоскости, сформулировав критерий принадлежности произвольной точки М данной плоскости х. Затем запишем этот критерий через координаты точек. Указанным критерием является описание плоскости н как множества тех точек М, для которых векторы МгМ2, МгМз и Мгй~ номпланарны.
Критерием 124 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ х — х1 у — у1 г — 21 Х2 — Х1 У2 — У1 г2 — г1 хз — х1 Уз — У1 гз — г1 = О. (5.7) Вычислив определитель, получим линейное относительно х, у, г уравнение, являющееся оби2ин уравнением искомой плоскоспзи. Например, если разложить определитель по 1-й строке, то получим У2 У1 г2 21 Х2 Х1 22 21 (х — х1) — (У вЂ” У1) + Уз-У1 гз-г1 Хз — Х1 Хз — 21 1 + (г — 21) = О. хз — Х1 У2 — У1 ~ хз — Х1 Уз-У11 Это равенство после раскрытия скобок преобразуется к общему уравнению плоскости. Отметим, что коэффициенты при переменных в последнем уравнении совпадают с координатами векторного произведе— + нил М1МзхМ1Мз.
Это векторное произведение, будучи произведением двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости к, дает ненулевой вектор, перпендикулярный к, т.е. ее нормальный вектор. Так что появление координат векторного произведения в качестве коэффициентов общего уравнения плоскости вполне закономерно. Рассмотрим следующий частный случай плоскости, проходящей через три точки. Точки М1(а; 0; 0), Мз(0; в; 0), Мз(0; 0; с), компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (см.
2.4). Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты векторов в орп2онормированнои базисе. Поэтому, если (ХП у;; г;) — координаты точек М„2 = 1,2,3, а (х;у; 2) — координаты точки М, то + М1Х~ = (х — х1, у — У1, .Х вЂ” 21 ), М1 М2 = (х2 — х1; У2 — у1, г2 — 21 ), М1Мз = (хз — х1', уз — у1, гз — 21) и условие равенства нулю смешанного произведения этих векторов имеет вид 5.2. Специальные пиды уравненив плоскости 125 аЬс ~ О, не лежат на одной прямой и задают плоскость, которая отсекает на осях координат отрезки ненулевой длины (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
