III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для этого подставим координаты точки Ме(1; 2; — 1) Е б Ь1 в общие уравнения прямой Ья. Для первого нэ них получаем 1 = О. Следовательно, точка Ме не принадлежит прямой Ьз и рассматриваемые прямые параллельны. Расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Они могут быть параллельны. Наконец, прямая может лежать в плоскости. Выяснение конкретной ситуации для прямой и плоскости зависит от способа их описания. Предположим, что плоскость я задана общим уравнением х: Ах+ Ву+Сл+ В = О, а прямая Т, — каноническими уравне- ниями х — хе у — уо т и Уравнения прямой дают координаты точки Ме1хе, уе, хв) на прямой и координаты направляющего вектора л = (1; т; и) этой прямой, а уравнение плоскости — координаты ее нормального вектора п = 1А; В; С).
Если прямая 1, и плоскость х пересекаются, то направляющий вектор л прямой не параллелен плоскости х. Значит, нормальный вектор ть плоскости не ортогонален вектору л, т.е. их скалярное произведение не равно нулю. Через коэффициенты уравнений прямой и плоскости это условие записывается о.4. Взаимное расположение прямых и плоскостей 141 и виде неравенства А1+ Вт+Сп ф О. Если прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости, то выполняется условие и 1 и, которое в координатах сводится к равенству А1+ Вт + Сп = О. '1тобы разделить случаи „параллельны" и „прямая принадлежит плоскости", нужно проверить, принадлежит ли точка прямой данной плоскости. Таким образом, все три случал взаимного расположения прямой и плоскости разделяются путем проверки соответствующих условий: < Ахо+ Вуо+Сго+ Р = О А1+ Вт+ Сн = О; Е Ахо+ Вуо+ Сго+ Р ~ О, А1+ Вт+ Сп = О; А1+ Вт+ Си ф О.
Л принадлежит я Ь параллельна х Ь пересекается с и Если прямая Ь задана своими общими уравнениями: Аг х + Вгу+ Сг г+ Рг — — О, Ь: Агх+ Вгу+ Сгх+ Рг — О, то проанализировать взаимное расположение прямой и плоско- сти х можно следующим образом. Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составим систеаеу трех линей- ных ураеиений с тремя неизвестными Агх + Вгу+ Сгг + Рг = О, Агх + Вгу + Сгх + Рг = О, Ах+ Ву+ Сг+Р =О. (5.18) Если зта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости.
Если она имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке. Последнее 142 а пРямАя и плОскОсть В пРОстРАнстВе равносильно тому, что определитель системы (5.18) А В С А В С А В С отличен от нуля. Наконец, если система (5.18) имеет бесконечно много решений, то прямая принадлежит плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Угол ~р между прямой * — хо У вЂ” Уо л †Ь: т и и плоскостью ач Ах+Ву+Сг+О=О находится в пределах от 0' (в случае параллельности) до 90' (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). Синус зтого угла равен ~соеф, где 4> — угол между направляющим вектором Ф л прямой л и нормальным вектором и.
плоскости (рис. 5.10). Вычислив косинус угла между двумя векторами через их координаРис. 5.10 ты (см. (2.11)), получим ~А1+ Вт+ Сп! е1п р= ~соеф~— А ~-В +С~ 'Рт~+У Отсюда )А1+ Вт+ Сп( у = агсе1п чА +В +С' 'Рт~+ Условие перпендикулярности прямой и плоскости зквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны. Через координаты векторов зто условие записывается в виде двойного равенства А В С (5.20) 5.5. Расстояние до плоскости и Ло прямой 5.5. Расстояние до плоскости и до прямой Расстояние от точки до плоскости.
Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость к н произвольную точку Мо. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор ть с началом в некоторой точке М1 е к, и пусть р(Мо,к)— расстояние от точки Мо до плоскости к. Тогда (рис. 5.11) Р(Мо,к) = |пр М1Мо!=!тьМ1Мо(, (5.21) так как )и! = 1. Если плоскость к задана в прямоугольной системе координат своим оби1им уравнением Рис.
5.11 л". Ах+ Ву+ Се+ Р = О, то ее нормальным вектором является вектор с координатами (А; В; С) и в качестве единичного нормального вектора можно выбрать (А;В;С) 'А'1В +с Пусть (хо' уо, 'хо) н (х1, у1, х1) — координаты точек Мо и М1. Тогда выполнено равенство Ах1+ Ву1 + Сх1 + В = О, так как точка М1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты вектора М1 Ме: М Мо = (хо — * ' у — у1; хо — ).
144 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Записывая скалярное произведение пМ~Мо в координатной форме и преобразуя (5.21), получаем ~А(хо — х1) + В(уо — У1) +С(хо — х1) ~ р(М,к)— ~т'+в'ус' (Ахо+ Вуе+ Схо — (Ах~ + ВУ1 + Сг~) ~ А ~.В +С~ )Ах +Вуо+Схо+Р( А <.В +С~ поскольку Ах1+ ВУ1 + Сх~ = — В. Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М1(хыуых1) до прямой Ь, заданной каноническими уравненинх — хо У вЂ” Уо г — го та и может быть вычислено при помощи векторного произведения.
Действительно, канонические уравнения прямой дают нам точкУ Ме(хв,. Уо, хе) на пРЯмой и напуавллюи1ий вектоР в = (1; ти; п) этой прямой. Построим параллелограмм на векторах в и МеМ1. Тогда расстояние от точки М~ до прямой Ь будет М равно высоте 6 параллелограмма (рис. 5.12). Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле Рнс. 5.12 145 о.о.
Расстояние до плоскости и до прямой где числитель представляет собой площадь этого параллелограмма. Используя формулы вычисления длины вектора и векторного произведения векторов через их координаты, получаем (5.22) 1г+ г+пг Расстояние между прямыми. Если прямые пересекаются, то очевидно, что расстояние между ними равно нулю. Случай совпадающих прямых также малосодержателен. Поэтому о расстоянии между прямыми имеет смысл говорить, только если они параллельны или скрещиваются.
Два указанных случая с точки зрения вычислений заметно расходятся. Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, достаточно вычислить расстояние от произвольной точки, например, второй прямой до первой прямой, т.е.можно воспользоваться формулой 15.22). Таким образом, если две параллельные прямые заданы каноническими уравнениями х — хг у — уг х — х1 х — хг у — уг х — гг Ь1 ° — ~ с'г т1 пг 1г тг пг то расстояние между ними вычисляется по формуле р(5~ ьг) = Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смешанное произведение.
Пусть, как и выше, прямые Аг и Ьг заданы каноническими уравнениями. Так как 146 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ )з~згМ~Мг) (зг хзг( Рис. 5.13 Записывая смешанное и векторное произведения в координатах, окончательно получаем 1г 1г хг — хг пгг пг Уг Уг хг хг РФ~ Ег)— Расстояние между прямой и плоскостью. Если прямая Ь и плоскость х пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Если же они параллельны, то расстояние от прямой до плоскости есть расстояние от любой точки прямой до плоскости. Пусть плоскость задана общим уравнением х: Ах+ + Ву+ Сх+ В = О, а прямая — каноническими уравнениями хо у уо г — ло 1 т п они скрещиваются, их направляющие векторы зы зг и вектор М~Мг, соединяющий точки на прямых, некомпланарны.
Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 5.13). Тогда расстояние между прямыми равно высоте а этого параллелепипеда. В свою очередь, высоту параллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади его основания. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанных векторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторного произведения направляющих векторов прямых.
В результате получаем формулу для расстояния р(Ь!, Т г) между прямыми: 147 Д.Б.1. Лучке и связки Канонические уравнения прямой позволяют сразу найти координаты одной точки на этой прямой: Мо(хо', уо; хо). Поэтому расстояние р(Ь,х) между прямой 7, и параллельной ей плоскостью я равно р(й, я) = р(Мо< и) = (Ахо+ Вуо+ Схо+ В! А'+ Вз+ С' Дополнение 5.1. Пучки и связки Пучок плоскостей. Пучком плоскосупеб в пространстве называют семейство всех плоскостей, содержащих фиксированную прямую. Пучок однозначно определяется любой парой своих различных плоскостей. Любые две непараллельные плоскости однозначно определяют некоторый пучок плоско< тей.
Рассмотрим вопрос о том, как, зная уравнения двух различных плоскостей пучка, найти уравнения остальных плоскостей пучка. Теорема 5.2. Для того чтобы плоскость принадлежала пучку плоскостей, определяемому парой непараллельных плоскостей я<. А<х+ В<у+С<я+В< — — О, хз.. Азх+Взу+Сзх+Вз — — О, необходимо и достаточно, чтобы ее общее уравнение можно было записать в виде а(А<х+ В<у+ С<я+ В<) + +<3(Азх+ Взу+Сзх+ Рз) = О, а~+В ~ О. (5.23) ~ Достаточность. Покажем, что при любых значениях параметров о и Д, одновременно не равных нулю, уравнение (5.23) задает плоскость я, содержащую общую прямую плоскостей я< и «з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
