III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 17
Текст из файла (страница 17)
5.3). Здесь под „длинами отрезков" понимают значение ненулевых координат радиус-векторов точек М„ 1=. 1,2,3. Поскольку М1 Мз = ( — а; Ь; 0), М~Мз = (-а; 0; с), М1 ЛФ = = (х — а; у; г), то уравнение (5.7) принимает вид х — а у — а Ь 0 — а 0 с Вычислив определитель, найдем Ьс(х — а) + асу+ аЬг = О, разделим полученное уравнение на аЬс и перенесем свободный член в правую часть, Рис. 5.3 х у л — + — + — =1. а Ь с Это уравнение называют уравкеккем клоскостаи е окьреэ- ках. х у л — + — + — =1. а а а Этому уравнению должны удовлетворять координаты (1; 1; 2) известной точки на плоскости, т.е. выполняется равенство 4/а = 1.
Поэтому а = 4 и искомым уравнением является х+ +у+я †4. Пример 5.2. Найдем общее уравнение плоскости, которая проходит через точку с координатами (1; 1;2) и отсекает от осей координат отрезки одинаковой длины. Уравнение плоскости в отрезках при условии, что она отсекает от осей координат отрезки равной длины, скажем а ф О, имеет вид 126 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАКСТВЕ Нормальное уравнение плоскости.
Рассмотрим некоторую плоскость к в пространстве. Фиксируем для нее единичный нормальный вектор и, направленный из начала координат „в сторону плоскости", и обозначим через р расстояние от начала О системы координат до плоскости х 1рис. 5.4). Если плоскость °:„';,ъ-'.,'Ъ„.' 'л-.-, " проходит через начало системы ,ф координат, то р = О, а в качестве направления для нормального вектора и можно выбрать любое из двух возможных. Если точка М принадлежит плоскости я, тоэто эквивалентно тому, что ортогональная проекРис.
5.4 иил век|пора ОА1 на направление вектора и равна р, т.е. выполнено условие иОЛ$ = пр„ОХ~ = р, так как длина вектора и равна единице. Обозначим координаты точки М через (х; у; г) и пусть и = = 1сово; совД сов7) (напомним, что для единичного вектора и его направллюи1ие косинусы сова, сов11, совт одновременно являются и его координатами). Записывая скалярное произведение в равенстве иОМ = р в координатной форме, получаем нормальное уравнение плоскости х сов о + у сов~3 + х сов у — р = О.
Аналогично случаю прямой на плоскости, общее уравнение плоскости в пространстве можно преобразовать в ее нормальное уравнение делением на нормирующий множитель. Для уравнения плоскости Ах+ Ву+ Сх+ Р = О нормирую- ° +,'л'+в'~с',- рого выбирается противоположным знаку В. По абсолютной 127 5.3.
Уравнения прямой в пространстве 5.3. Ъ'равнения прямой в пространстве Общие уравнения прямой в пространстве. Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Если плоскости х1. 'А1х+ В1у+ Сгх+ Р1 = О, хз: Азх+ Взу+Схх+ Рз = О непараллельны, то пересекаются по прямой. Точка М(х; у; г) принадлежит этой прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению каждой из плоскостей, т.е. являются решениями системы уравнений < А1х+ В1у+ С1х+ Р1 — — О, Азх+ Взу+ Сзх+ Рз — О, (5.8) которую называют общими уравнениями прямой. Векторное уравнение прямой. Описание прямой в пространстве при помощи общих уравнений — не единственный способ.
Прямую Ь в пространстве можно также однозначно задать любой ее точкой Мо и параллельным ей ненулевым вектором и. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором прямой. Если точка М принадлежит прямой Х,, то это эквивалентно тому, что вектор МоМ коллинеарен вектору в 1рис. 5.5). Так как и ~ О, то вектор и является базисом в пространстве $'~ величине нормирующий множитель представляет собой длину нормального вектора (А; В; С) плоскости, а знак соответствует нужному направлению единичного нормального вектора плоскости.
Если плоскость проходит через начало системы координат, т.е. Р = О, то знак нормирующего множителя можно выбрать любым. 128 а пРямАя и плОскОсть В пРОстРАнстВе коллинеарных ему векторов. ПоэтоМ Ь му для некоторого числа 1 выполням ется равенство МоХ~ = 1в. Так как я МоМ =ОМ вЂ” ОМо = г — по, где г и Рис. в.н го — радиус-векторы точек М и Мо соответственно, то условие М Е Ь можно записать в виде урав- нения (5.9) г = го+1в, которое называют векенорнььм уравнением прямой в про- странстве.
х =хо+И, у =уо+тФ, г = го + п1, (5.10) и (5.10) называют параметприческими уравнениями прямой в пространстве. Шесть коэффициентов в системе уравнений (5.10) имеют наглядный геометрический смысл: они представляют собой координаты одной точки на прямой, соответствующей 1 = О, н координаты направляющего вектора прямой, который соединяет точки, соответствующие значениям параметра 1 = 0 и 1 = 1. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Предположим, что известны координаты (1;т;и) направляющего вектора в прямой 1, и точки Мо(хо, уо, го) Е Ь в прямоугольной системе координат.
Обозначим через (х; у; г) координаты произвольной точки М. Критерием принадлежности точки М прямой Ь является условие коллинеарности векторов Мола = (х — хо, 'у — уо, 'х — го) н л (см. рис. 5.5), что равносильно пропорциональности их координат (см. теорему 1.8). Обозначив через 1 коэффициент пропорциональности, получим равенства х — хо=11, у-уо = 1т, г — го —— 1п. Но тогда 129 5.3.
Уравнения примой в пространстве Итак, если задана система трех уравнений вида (5.10), в которой хотя бы один из коэффициентов 1, т, п отличен от нуля, то эта система определяет в пространстве прямую, причем тройка коэффициентов хо, уо, ло задает на прямой точку, а тройка коэффициентов 1, т, п представляет собой координаты направляющего вектора прямой. Канонические уравнения прямой в пространстве. Как и в случае прямой на плоскости, из параметрических уравнений (5.10) можно исключить параметр 1 и записать результат в виде л — зп у — уп (5.11) Уравнения (5.11) называют камоничесиами уравнениями прямой в пространстве. Канонические уравнения представляют собой, по существу, другую форму записи условия коллинеарности векторов МоХ1 и в, состоящую в пропорциональности их координат (см.
следствие 1.1) . В знаменателе канонических уравнений допускается нулевое значение. Чтобы понять смысл нулевых значений параметров 1, т, и, обратим внимание на параметрические уравнения прямой (5.10), в которых нет проблемы нулевых знаменателей. Например, при 1 = 0 из (5.10) следует, что х = хе. Мы видим, что если в канонических уравнениях один из знаменателей (или два, но не все три) равен нулю, то соответствующий числитель тоже равен нулю. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Каждая прямая в пространстве однозначно задается любыми двумя своими различными точками.
Если известны координаты этих точек М,(х1, у1; л~) и Мз(хз, уз,. гз), то в качестве направляющего вектора прямой подходит ненулевой вектор + М1Мз = (зг — л1', уз — уб лз — г1). Зная его координаты и координаты точки М, на прямой, можно записать канонические Аиеяитичееиея геометрия 130 а пРЯмАЯ и плОскОсть В пРОстРАнстВе уравнения прямой (5.11). В результате получим х — х1 у — у1 х — х1 хг — хг уг — уг хг — х1 уравнени* прямой, проходящей через две пгонни. Пример 5.3. Точки Мг(1; 2; 3) и Мг(3; 2; 1) определяют проходящую через них прямую х — 1 у — 2 г — 3 3 — 1 2 — 2 1 — 3 Нуль в знаменателе второй дроби означает, что для координат всех точек прямой выполнено равенство у = 2. Поэтому прямая расположена в плоскости у -2 = О, параллельной координатной плоскости хОг и пересекающей ось ординат в точке с ординатой 2. Изменение формы уравнений прямой.
Переход от канонических уравнений прямой к параметрическим и обратно достаточно очевиден и сводится к введению или исключению параметра 1. Одна форма уравнений непосредственно записывается по другой, так как в них используются одни и те же параметры, задающие координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора. Пример 5.4. Найдем координаты точки В, симметричной точке А(2; 3; — 1) относительно прямой х — 1 у+2 х — 1 Ь: 1 -1 2 В вычислениях будем опираться на следующее геометрическое построение точки В: а) через точку А проводим плоскость гг, перпендикулярную прямой 1,; б) находим точку М пересечения прямой Т, и плоскости я; в) отрезок АМ удлиняем до отрезка АВ так, чтобы точка М оказалась в середине отрезка АВ (рис. 5.6).
131 а.з. Уравнения прямой в пространстве Так как плоскость к перпендикулярна прямой Ь, то в качестве норм льноео вектора та плоскости можно выбрать направляющий вектор прямой Ь: а = (1; — 1;2). По известным координатам нормального вектора плоскости я и принадлежащей ей точки А записыва- Рнс. в.п гм уравнение плоскости к в ви- де (5.2): 1(х — 2)+(-1)(у-3)+2(я+1) =О. Чтобы найти координаты точки М пересечения прямой и плоскости по их уравнениям, запишем параметрические уравнения прямой Ь: х= 1+1, у= — 2 — 1, в=1+21.
Подставив зти выражения для координат точки на прямой в уравнение плоскости, получим уравнение для параметра 1 (1 + 1 — 2) — ( — 2 — 1 — 3) + 2(1 + 21+ 1) = О, решение которого дает значение параметра для точки М. Найдя зто значение 1 = -4/3 и подставив его в параметрические уравнения прямой, получим координаты точки пересечения х = 1 — 4/3 = -1/3, у = -2 +4/3 = -2/3, л = 1 — 8/3= -5/3.
Поскольку зта точка должна делить отрезок АВ пополам, ее координаты, согласно (3.14), равны полусумме соответствующих координат точек А и В. Следовательно, обозначив через (х', у', в') координаты точки В, получим равенства 2+х' 3+у' -1+в' — = -1/3, = -2/3, = — 5/3. 2 ' 2 ' 2 Отсюда х' = — 8/3, у' = — 11/3, л' = — 7/3. ф 132 л. пРЯмАЯ и плОскОсть В пРОстРАнстВе х — хо у уо — — — =О, т (5.12) х — хо х — хо =О, и которые представляют собой частный вид общих уравнений прямой в пространстве. Самым сложным является переход от общих уравнений к каноническим или параметрическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
