III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Простейшие задачи аиапитичесиой геометрии 87 жительное число. Пусть, на+ пример, ММз = ЛМ1М. Число Л равно отношению длин отрезков ММз и М1М, т.е. Л = у)р. Поэтому м Рис. З.з М,Мз=М,Й+ММ,=М,Й+-'М,М=Р 'М,3$, Р ' Р откуда М,йй' = †' М~М,. Р+ч (3.12) Пусть концы М1 и Мз отрезка М1Мз заданы своими координатами в произвольной прямоугольной системе координат ОтЗ7е в пространстве: М~(х1, уН х1), Мз(хз, уз, .гз). Найдем координаты точки М в этой же системе координат. Для этого запишем равенство (3.12) через радиус-векторы входящих в него точек ОХ~ — ОМ, = (ОМ, — ОМ,) Р+ч н найдем, что Р + Ч ь Р ., ч ОМз+ ОМ1 = — (хз, 'уз, 'яз)+ (х1, 'у1, 'х1) = Р+Ч 1'+У 1+У Р+У рхз+дх1 руз+ду1 Рхя+дг1 Р+У Р+Ч Р+У Итак, если обозначить координаты точки М через (х; у; х), то Рхз+ух1 Руз+уу1 Ряз+ух1 Х се у= (3.13) Р + Ч Р + У Р + У 88 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Если точка М вЂ” середина отрезка МгМг, то р= д = 1, н поэтому из (3.13) следует, что координаты М равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка, т.е.
х= хг + хг Уг + Уг гг + гг У= — (3.14) 2 ' 2 ' 2 В случае плоскости нет аппликат и из (3.12) следует, что координаты точки М(х; у), делящей отрезок МгМг в отношении (Мг М): )ММг) = р: д, определяются через координаты точек Мг(хг, уг) и Мг(хг; уг) концов этого отрезка с помощью равенств рхг+ дхг руг+ дуг Р+Ч Р+Ч которые для середины отрезка переходят в соотношения хг+хг уг+ уз х= 2 ' 2 У= Пример 3.1. В вершинах А(4;4;4), В( — 2; 6; 4), С( — 4; 4;2) треугольника АВС расположены материальные точки равной массы.
Найдем координаты центра масс этой системы точек. Центр масс указанной системы точек совпадает с точкой М пересечения медиан треугольника АВС. Пусть точка Ф— середина стороны ВС. Тогда ее координаты (х;у;л) рави)я полусумме соответствующих координат точек В и С, следовательно, х = — 3, у = 5, г = 3. Медиану Агг' точка М делит,в отношении (АМ): )М1У! = 2: 1, поэтому координаты (хе, уо, ге) центра масс рассматриваемого треугольника в соответствии с (3.13) равны 2 ( — 3)+1 4 2 2 5+1 4 14 2.3+1.4 10 хо= 2+1 3' 2+1 3 ' 2+1 3 — — Уо= — ге= Длина отрезка.
Задача вычисления длины отрезка (или расстояния между двумя точками) по координатам его концов в прямоугольной системе координат известна из школьного 89 3.4. Вычисление площадей н объемов курса геометрии. Мы выведем эту формулу при помощи векторной алгебры. Длина отрезка — зто длина вектора, соединяющего его концы, а длину вектора можно определить, вычислив его скалярный квадрат. Пусть концы отрезка М1 и Мг заданы своимн координатами в прямоугольной системе координат Огук: М1(Х1', У1', 21), Мг(хг, 'уг', гг).
Тогда М1М2 (х2 х11У2 У1~ 22 21) — Ф Скалярный квадрат вектора М1М2, заданного своими ко- рдинатами в ортонормированном базисе г, у, к, находится с помощью формулы (2.9) для вычисления скалярного произведения: М1М22 = (хг — х1)2+ (уг — У1) + (гг — 21)~. Итак, длина отрезка М1М2 вычисляется по формуле ~М1Мг~ = (хг — х1) + (Уг У1) + (гг г1)2. 3.4. Вычисление площадей и объемов Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.
Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах. Пример 3.2. Пусть три вершины треугольника заданы иоими координатами: А(4;4;4), В(1;2;3), С(3; — 1;2). 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 90 Для определения площади ЬАВС с помощью (3.10) найдем координаты векторов АВ и Ад: АВ = (1 — 4;2 — 4; 3 — 4) = (-3; -2; -1), АС = (3- 4; -1 — 4; 2- 4) = (-1; -5; -2). Затем по (2.14) вычислим их векторное произведение." у' й — 2 — 1 — 5 -2 АВхАС= = — 4 — 5,у+ 13Й.
Модуль этого векторного произведения равен ~АВхАС~) = = ~Л95, и, следовательно, (АВхАЙ! ~/Г95 оЬАВС = 2 2 = (АВАСА3)/6. Пример 3.3. Найдем объем 1~ пирамиды 5АВС, заданной координатами своих вершин: А(2;-1;1), В(5;5;4), С(3;2;-1), Я(4; 1; 3). Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторои, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов.
Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды ЯАВС (см. пример 2.8), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах АВ, АС,и АВ. Таким образом, объем этой пирамиды равен Уялвс ~ З.о. Кривые и поверхности Используя (3.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: Ай1 = (5 — 2; 5 — ( — 1); 4 — Ц = (3; 6; 3), А~ = (3 — 2; 2 — ( — 1); -1 — Ц = (1; 3; — 2), А5' = (4 — 2; 1 — ( — 1); 3 — Ц = (2; 2; 2), и определяем объем с помощью смешанного произведения най- денных векторов: 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = -18, Ъ'=-(АЗАИАТА! = 3. 6 А1) АСАз = 3.5. Кривые и поверхности Определение 3.1. Если уравнению г (з, у, г) = 0 удовлетворяют те и только те тройки чисел х, у, г, для которых точка М(х; у; г) принадлежит множеству Я в пространстве, то уравнение г'(х,у,г) = 0 называют уравнением множеспзва Я, а само множество Я вЂ” ееолеетрмческтьм образом этого уравнения. Вышесказанное также относится и к описанию множеств па плоскости, ио с единственным отличием — уравнению соответствует функция г'(х,у) двух переменных з и у, а не трех.
Множество точек на плоскости или в пространстве можно описать системой уравнений и (или) неравенств, связывающих координаты точек нз этого множества. И одна из важнейших задач аналитической геометрии — построение уравнения или снстемы уравнений и неравенств, описывающих заданное множество. 92 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Определение 3.2. Если уравнению Р(х,у) = О удовлетворяют те и только те пары чисел х и у, для которых точка М(х; у) принадлежит множеству Г на плоскости, то уравнение Р(х,у) = О называют уравнением множества Г, а само множество à — ееометринесним образом этого уравнения.
Рассмотрим простейший вариант, когда множество точек в пространстве описывается одним уравнением вида Р(х, у,х) = О, где Р(х,у,х) — функция трех переменных, а переменные х, у, х представляют собой координаты точки в пространстве относительно фиксированной прямоугольной системы координат. Если не налагать на функцию Р(х,у,х) никаких ограничений, то от подобного описания мало проку, так как тогда при помощи уравнения можно описать любое множество точек в пространстве. Действительно, вспомним общее толкование функции как закона, который любому набору, в данном случае из трех, аргументов ставит в соответствие единственное число. Такой закон можно задать различными способами.
Например, выберем произвольное множество Я в пространстве. Положим Р(х,у, х) = О, если точка с координатами (х; у; х) принадлежит множеству 5, и Р(х,у,х) = 1 в противном случае. Тогда уравнение Р(х, у,х) = О будет задавать в точности множество Я. В рамках аналитической геометрии рассматривают уравнения Р(х,у,х) = О (Р(х,у) = О на плоскости), для которых функция Р является многочленом.
Определение З.З. Мноеоиленом от и переменных хм ..., х„называют функцию вида Р(хы...,х„) = ~> а;,, х" ...х'„", й+...+1„=0 где зы ..., е'„— целые неотрицательные числа; а;, действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов а;,;„, для которых е1+...+~„= т, не равен нулю. Число т называют степенью мноеочлена от п переменных. З.Б.
Кривые и поверхности 93 Определение допускает нулевое значение степени многочлепа. Независимо от числа переменных многочлены нулевой стеш ни имеют вид г' = ае,„,е и являются постоянными функциями. Вид многочленов первой степени зависит от количества переменных. Например, г' = 2х — 4у + 5х — 1 — многочлен первой сгспени от трех переменных, а Е = х — у+3 — многочлен первой степени от двух переменных. При и < и любой многочлен с тепени тв от п переменных можно рассматривать как много- член той же степени от Й переменных, т.е. от большего числа переменных.
Уравнение Р(хы...,х„) = О, в левой части которого стоит мпогочлен от и переменных, называют алгебраическим. Определение 3.4. Алгебраической новерхностнью называют геометрический образ в пространстве, соответствуялций уравнению Р'(х,у,х) = О, где г' — многочлен от трех переменных х, у, ю Степень многочлена г' в уравнении г = О называют норлдком уравнения, или его спъепенью. Определение 3.5. Алгебраическоб кривой (или линисб) на нлоскостни называют геометрический образ на плоскости, соответствующий уравнению г'(х,у) = О, где г — многочлен от двух переменных х, у.
При преобразовании системы координат уравнение поверхности (кривой) изменяется. Пусть х, у, х — старые координаты, х', у', х' — новые координаты, связанные со старыми уравнениями (З.З), а поверхность в старой системе координат описывается уравнением Г(х,у,х) = О. Тогда, чтобы получить уравнение поверхности в новой системе координат, необходимо я исходное уравнение подставить вместо переменных х, у, х их выражения через новые переменные х', у', х'. В случае алгебраической поверхности (алгебраической кривой) преобразование координат в уравнении приводит к многочлену той же степени, что и степень первоначального урав- 94 з. систямы координлт пения. Действительно, при преобразовании координат степень многочлена не может возрасти, но тогда она не может и уменьшиться, так как при обратном преобразовании она должна была бы возрасти.
Следовательно, степень многочлена в уравнении отражает характер самой поверхности (кривой) и не связана с выбором системы координат. Степень многочлена в уравнении, описывающем данную алгебраическую поверхность (кривую на плоскости), определяется неоднозначно. Например, поверхность, которая задается уравнением Г(х, д, х) = О, где Р— многочлен, может быть так- 2 же описана и уравнением (Р(х,у,х)) = О, порядок которого вдвое больше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
