III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется по обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна — из векторов. При вычислении определителя, умножение векторов на числа и сложение векторов выполняются по обычным правилам, введенным для этих линейных операций в гл. 1. Итак, формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе ь, .з, Й можно записать в виде ь ч Й ам уа За зЬ уь зь (2.14) ахЬ ае Пример 2.8. Найдем все векторы, ортогональные векторам еВ1 = (3; 1; — '2) и ььз — — (1; — 1; 1).
Отметим, что векторы пВ и еаз неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны, например: 3 1 1 — 1 Ь аналитическая мометраа Совместим начала этих векторов в некоторой точке. Тогда существует единственная плоскость, содержащая эти векто- 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ры. Искомое множество векторов, ортогональных данным, со- впадает с множеством векторов, перпендикулярных указанной плоскости, а это множество совпадает с множеством векторов, коллинеарных векторному произведению й у й 3 1 — 2 1 — 1 1 = — в' — 5т' — 4Ь. п1 хп1 = Ответ: Л( — й — 5у — 4/с), где Л Е ль. 2.4.
Смешанное произведение Смешанное произведение отличается от скалярного и векторного произведений в первую очередь тем, что имеет три сомножителя, а не два. Обозначают смешанное произведение трех векторов а, Ь, с так: аЬс. Смешанное произведение имеет простой геометрический смысл.
Теорема 2,2. Смешанное произведение трех неномнланорных векторов аЬс равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, выходящих из одной вершины, взятого со знаком плюс, если тройка векторов а, Ь, с — правая, и со знаком минус, если эта тройка — левая. м Вектор ахЬ перпендикулярен грани указанного параллелепипеда, построенной на векторах а и Ь, и в силу свойства 2 векторного произведения (см. с. 57) имеет длину, равную площади 5 этой грани (рис. 2.10). Обозначив через е единичный вектор, ортогональный векторам а и Ь и однонаправленный Определение 2.4. Смеиханным произведением трех векторов а, Ь, с называют число, равное (ахЬ)с — скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора. 67 2А. Смешанное произведение векторным произведением ахЬ, получим ахЬ= Яе.
Смешанное произведение аЬс равно скалярному произ<идению вектора Яе на векгор с и равно 51с1сов<р, где Рнс. 2~ЬВ угол между векторами ахЬ и с. Отметим, что число 1с1сов<р равно проекции вектора < иа направление вектора е, а его модуль, т.е. ~ 1с)совф, равен иыготе Ь параллелепипеда. Знак проекции определяется углом между с и е. Если <р ( 90', то векторы с и е находятся по < диу сторону от плоскости векторов а, Ь.
Значит, тройки векг«ров а, Ь, е и а, Ь, с имеют одну и ту же ориентацию— правую. В этом случае смешанное произведение положительи и равно объему параллелепипеда со знаком плюс. Если же , г 90', то ориентация указанных троек различная, т.е. тройка а, Ь, с является левой, и смешанное произведение будет равно < бъому параллелепипеда со знаком минус.
В Замечание 2.3. Если векторы а, Ь, с комплоиарнм, то ииргллелепнпед, построенный на них, вырождается 1лежит в игпи кости). Поэтому ему следует приписать нулевой объем. 11< посредственно из определения заключаем, что для комплаиариых векторов а, Ь, с векторы ахЬ и с ортогональны, т.е. 1ахЬ)с = О. Значит, теорема верна и в случае, когда векторы <о<мпланарны. 4 1~ак видно из определения, смешанное умножение векто1иш является вторичной операцией и определяется при помощи < иилярного и векторного умножений. Однако смешанное умно- ю и не играет важную роль в геометрических приложениях, что и и«дтверждает теорема 2.2. Исходя из этой теоремы, а также и,< иойств скалярного и векторного произведений, можно полу- <ить несколько важных свойств для смешанного произведения.
б8 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1'. Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки: (ахЬ)с = (Ьхс)а = (сха)Ь = — (Ьха)с = — (схЬ)а = — (ахс)Ь. ~ Действительно, все шесть указанных произведений по абсолютной величине дают объем одного и того же параллелепипеда, а знак произведений определяется ориентацией тройки сомножителей. При циклической перестановке векторов в тройке ориентация не меняется, при перестановке местами двух векторов в тройке ориентация меняется на противоположную.
~ Замечание 2.4. Из доказанного свойства получаем, что аЬс = (ахЬ)с = а(Ьхс), т.е. порядок двух операций, дающих смешанное произведение, не является существенным. Это объясняет, почему в обозначении смешанного произведения знаки образующих операций опускаются. 2'. Три вектора а, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. 1 Это вытекает из теоремы 2.2 и замечания 2.3. 1ь 3'. Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительно умножения векторов на число: (Ла)Ьс= Л(аЬс). < Обозначив Ьхс = е н используя свойство 2' ассоциативности скалярного произведения относительно умножения на число, получим (Ла)Ьс = (Ла)(Ьхс) = (Ла)е = Л(ае) = Л(а(Ьхс)) = Л(аЬс). 4'. Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности (а1+ аз)Ьс = а1Ьс+ арЬе.
69 2.4. Смешанное произведение и Обозначив Ьхс = е и используя свойство 3' дистрибутивно- ~ ти скалярного произведения, получим (а~+аз)Ьс= (аг+аг)(Ьхс) = (аг+аг)е =аге+аге = = аг(Ьхс) + аз(Ьхс) = агЬс+ агЬс. Замечание 2.5. Свойства 3' и 4' смешанного произведение сформулированы для первого сомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичньн утверждения и для второго и для третьего сомножителей, т..
верны равенства а(ЛЬ)с= Л(аЬс), аЬ(Лс) = Л(аЬс), а(Ьг+Ьг)с=аЬ|с+аЬгс, аЬ(с1+сг) =аЬс1+аЬсг и и итоге имеем свойство лннейносеан смешанноео иронз- ппденнл по каждому сомножителю. Замечание 2.6. Отметим, что при доказательстве свойств мг шанного произведения мы не использовали свойства вектор- и со произведения. Наоборот, обоснование свойств векторного произведения можно строить на основе свойств смешанного произведения.
Покажем зто на примере свойства дистрибутив- и сти векторного произведения, доказательство которого мы Гн.щели привести. Сначала обратим внимание на следующее. Если векторы жг и лг таковы, что для любого вектора у выполняется равенство (2.15) агу = хгу, ьо ж1 — — жг. Действительно, равенство (2.15) означает, что Ьс~ — жг)у = О. Так как вектор у любой, мы можем положить у = жг — нг.
Тогда получим (аг — аг)г = О, но зто возможно г лько при жг — нг = О, т.е. при аг = нг. Согласно доказанному, равенство (аг + аг) х Ь = аг х Ь+ азх Ь 70 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ будет выполняться, если для любого вектора с ((аь + аз) хЬ) с = (аь хЬ)с+ (азхЬ)с, или (а1+аз)Ьс = а1Ьс+азЬс. Но последнее равенство верно, так как выражает доказан- ное свойство 4 дистрибутивности для смешанного произве- дения.
ф аЬс = а(Ьхс) = уь гь ° хь гь + хь уь ха уа га хь У6 г6 хс ус ге Ус гс хе г, хс Ус Согласно полученной формуле, свойство 2 смешанного произведения можно сформулировать так: необходимым н достаточным условием компланарности трех векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, является равенство нулю определителя третьего порядки, строками которого являются координаты этих векторов.
Пример 2.9. Найдем объем треугольной пирамиды, построенной на векторах а = ( — 2; 1; — 2), Ь = (1; 0; — Ц и с,= = (1; 1; 1) как на смежных ребрах. Трем векторам с общим началом можно сопоставить как треугольную пирамиду, так и параллелепипед, причем объем Пусть векторы а, Ь, с заданы своими координатами в провом ортонормировонном базисе: а=(х~; у,; ги), Ь= (хь, 'уь, 'гь), с = (х,; у,; гД.
Чтобы найти их смешанное произведение, воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений: 71 3.5. Приложения произведений векторов ннрамиды будет в б раз меньше объема параллелепипеда, рав- и го модулю смешанного произведения оЬс данных векторов. Итак, объем пирамиды равен Ъ' = ~оЬс~/6 = 1, поскольку — 2 1 — 2 1 0 -1 1 1 1 аЬс = 2.5. Приложения произведений векторов Рассмотрим различные приложения произведений векепоров нв, следующих примерах.
Пример 2.10. Работа А постоянной силы Е при прямолии йпом перемещении материальной точки нз положения М1 в и ложение Мз равна А = 1Г)ИМ1Мз( сов~в (рнс. 2.11, а). Поэтому . помощью скаллрноео произведения эта работа вычисляется и формуле А = Гв, и = М1 Мз. м, Рис. 2.11 Если к материальной точке приложено и постоянных сил Д„1= 1,п, то при том же ее перемещении сумма А их работ А, ровна работе равнодействующей силы 72 2.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ поскольку А = ~~) А; = ~~) Дв = (~~ Д) в = Рв. з=! г=! зж! Из этого равенства следует, что система сил не совершает работу, если их равнодействующая ортоеональна вектору перемещения в. Ясно, что равенство А = Рв = 0 справедливо и в случае, когда равнодействующая равна нулю или отсутствует перемещение, или верно и то и другое. Пример 2.11. Круговой диск вращается с постоянной угловой скоростью а! вокруг перпендикулярной ему оси вращения Ь, проходящей через его центр О (рис. 2.11, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
