III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(1.13) В начале главы мы говорили о том, что векторные величины имеют скалярную характеристику (длииу) и направление. Направляющие косинусы не зависят от длины вектора: при умножении вектора на положительное число направляющие косинусы не изменяются. Именно они и характеризуют направление вектора. Если известны длина вектора и его направляющие косинусы, то вектор определен однозначно. Направляющие косинусы могут быть заданы углами о,,у, ч из отрезка [О,я), удовлетворяющими соотношению (1.13). В качестве примера можно взять вектор (сояо; соя11; соя?).
Согласно формулам (1.9) и (1.13) этот вектор имеет единичную длину, а значения сова, соя~9, соят представляют собой направляющие косинусы этого вектора. В случае ортонормированного базиса в пространстве Ъз направление вектора удобно указывать одним углом р, который отсчитывается от первого вектора базиса против хода часовой стрелки (в случае положительного значения). Угол у, длина вектора х и его координаты (хл,хз) связаны соотно- У шениями: х~ = )х)соя~р, хз = ~х~я1п~р.
Рис. 1.16 Вопросы и задачи 1.1. Что можно сказать о сумме АВ + ВС+ СА трех векторов? 1.2. Доказать, что если медианы треугольника АВС пересекаются вточкеМ, то: а) АХ~=(АВ+Ад)/3; б) МА+Мс1+ 1-МИ= О. 2.ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.1. Определители второго и третьего порядков В этой главе приведены начальные сведения об определителях второго и третьего порядков. Это вызвано тем, что некоторые формулы векторной алгебры, записанные через определители, имеют достаточно компактный вид и удобны как при изложении теории, так и при решении задач.
Более полная теория определителей изложена далее 1см. 7). Четырем числам аь 6ы аг, 6г можно поставить в соответствие выражение а16г — аг6ь которое называют определипгелем впгороео порлдка и обозначают в виде следующей таблицы из двух строк и двух столбцов, отделяемой слева и справа вертикальными линиями: а1 61 а16г — аг61 = аг 6г (2.1) 3 7 5 — 2 = 3( — 2) — (5 7) = — 41. Числа а1 и 6г из-за их расположения в определителе (2.1) называют диаеональными элеменпгамн определителя второго порядка и говорят, что они расположены на его главпой диагонали. Аналогично числа аг и 61 расположены на впгорой (или побочной) дпаеонали определителя. Можно сказать, что определитель второго порядка равен произведению его элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, например: 2.1.
Определители второго и третьего порядков 45 Подобным же образом из девяти чисел составляют окределитпель тпрепъьеео порядка. По определению полагают а1 61 с1 аз Ьз сз аз Ьз сз = а162сз+ Ь1сзаз+ агЬзс1— — азЬзс1 — азЬ1сз — а1Ьзсз. (2.2) Элементы а1, 62 и сз располагаются на главной диагонали определителя (2.2), а аз, 62 и с1 — на побочной. В формулу (2.2) вычисления определителя третьего порядка входят шесть тройных произведений, сомножители которых расположены в разных строках и разных столбцах. Произведения имеют разные знаки, и запомнить формулу сложно.
Для ее запоминания используют правило Саррюса, или крови юо кьреуеольккка. Оно состоит в следующем: со знаком плюс берут слагаемые, являющиеся произведением элементов главной диагонали и произведением элементов, лежащих на параллелях к этой диагонали. Члены, имеющие знак минус, формируются таким же образом относительно побочной диагонали. Схематически это правило выглядит так: а1 61 с1 аз Ьз сз аз Ьз сз Линиями соединены элементы определителя, произведения которых дают слагаемые с соответствующим знаком.
Пример 2.1. Используя правило треугольника, вычислим определитель третьего порядка: 1 — 3 0 4 2 1 5 0 6 =1 2.6+О 4 О+5( — 3)1 — 5 2 0 — 6 4( — 3) — 1 1 0=69. 1(6 46 г. пРОизВедения ВектОРОВ Вычисление определителя третьего порядка можно свести к вычислению трех определителей второго порядка. Для получения соответствующей формулы воспользуемся тем, что в правой части равенства (2.2) каждое слагаемое содержит один из элементов ам 61 или с1 первой строки определителя. Собирая в (2.2) подобные члены по этому признаку и вынося общие множители за скобки, получаем а1 Ь1 сг аг Ьг сг аз Ьз сз = а1 (Ьгсз — Ьзсг)— — 6|(агсз — азсг) + сг(агЬз — азЬг), (2.3) где из второй скобки дополнительно вынесен знак минус. Выражения в скобках представляют собой определители второго порядка 6г сг~ ~аг сг~ аг 6г Ьгсз — 6зсг= 1, агсз — азсг — — ~ ~, агЬз — азЬг= 6з сз1' ~аз сз~' аз 6з что позволяет записать равенство (2.3) в следующем виде: а1 Ьг с1 6г сг аг сг аг Ьг аг 6г сг =а1 -ь, +с1 (2.4) Ьз сз аз сз аз Ьз аз 6з сз Равенство (2.4) называют разлогкекмем определвтеля п1ретпьеео порядка по первой строке.
Можно аналогичным образом получить разложение определителя по любой строке (столбцу), если тройные произведения в правой части (2.2) группировать по элементам этой строки (столбца). Обратим внимание на структуру формулы (2.4). Элемент аг умножается на определитель второго порядка, который можно гоп Определители второго и третьего порядков Пример 2.2. Вычислим определитель третьего порядка а Ь с 2 — 1 3 — 4 5 1 а,Ь,сб Ж, используя его разложение по 1-й строке: а 6 с 2 — 1 3 — 4 5 1 5 1 — 4 1 — 4 5 = — 1ба+ 146+ бс. 4 Определители второго и третьего порядков находят применение при решении систем линейных уравнений.
Рассмотрим, например, сиспгему двух линейных уравмемтгй а1х + Ьгу = сы агх+ 6гу = сг (2.5) относительно неизвестных х, у и найдем ее решение методом исключения неизвестных. Для этого первое уравнение умножим на — аг, второе — на а1 и после почленного сложения этих выражений и приведения подобных членов получим соот- ношение (аг62 — агЬг)у = агсг — агсг. получить из вычисляемого определителя третьего порядка вычеркиванием в нем 1-й строки н 1-го столбца, на пересечении которых расположен элемент аг. Аналогично, элемент Ьг (с1) умножается на определитель второго порядка, который можно получить из вычисляемого определителя вычеркиванием в нем 1-й строки и 2-го (3-го) столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Отметим, что знаки слагаемых в правой части (2.4) чередуются начиная со знака плюс. 48 г. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Исключив аналогичным приемом из уравнений системы (2.5) неизвестное у, найдем (от Ьг — агЬт)х = стЬг — сгЬт. Если определитель который называют определитпелем систпемы втпорого по- рлдка (2.5), не равен нулю, то единственное решение этой системы имеет вид ~х ~т у= "т' 2' (2.6) где определители ст Ьт ат ст отх+ Ьту+ стх = дт, агх+Ьгу+сгг= дг азх + 6зу+ сзг = дз (2.7) относительно неизвестных х, у, г.
Формулы Крамера в этом случае имеют внд получаются из определителя Ь заменой столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец правых частей системы (2.5). Решение системы (2.5) в виде (2.6) называют формулами Храмера (Г, Крамер (1704-1752) — швейцарский математик)., Они выражают при гз ф 0 единственное решение системы (2.5) через ее коэффициенты.
Аналогичным образом может быть записано решение систпемы тпрех линейных уравнений 49 2.2. Снвлврное произведение где ФО, Ь,= а1 д1 с1 аг дг сг аз дз сз и позволяют нанти единственное решение системы при условии, что опредеяитпеяь 1з смспгемы тпретьеео порядка не ра- вен нулю. Пример 2.3. Система трех линейных уравнений 2х — Зу-4х= 6, Зх+ 5у+ 2х = 1, 5х+2у — Зх = 8 имеет единственное решение, так как ее определитель 2 — 3 — 4 3 5 2 5 2 — 3 не равен нулю. Вычисляя еще три определителя 6 — 3 -4 1 5 2 =-19, Ь„= 8 2-3 =О, 1л,= =19, по формулам Крамера (2.8) находим, что единственным реше- нием рассматриваемой системы является х = 1, у = О, х = — 1.
2.2. Скалярное произведение Есть несколько операций умножения векшоров. В результате первой из них мы получаем действительное число, т.е. скалярную величину. а1 Ь1 с1 аг 6г сг аз Ьз сз Н1 61 с1 д 6 с нз Ьз сз 2 6 — 4 3 1 2 5 8 -3 а1 61 д1 аг Ьг дг аз Ьз дз 2 -3 6 3 5 1 5 2 8 50 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Определение 2.1. Скалярным произведением двух векторов а и Ь называют число, равное (а! )Ь|сов~Р— произведению длин )а) и )Ь| этих векторов на косинус угла у между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь далее будем обозначать аЬ, хотя в литературе встречается и обозначение (а,Ь). Используя теорему 1.1, можно выразить скалярное произведение двух векторов через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение аЬ векторов а и Ь получается перемножением длины вектора а и ортогональной проекции вектора Ь на направление вектора а: аЬ = ~а~првЬ.
Аналогично при Ь ф О имеем равенство аЬ= ~Ь)прьа. Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой (т.е. равен 90'), то такие векторы называют орпзогокальиыми. Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то их скалярное произведение будет равно нулю независимо от того, какое значение выбрано в качестве угла между векторами. Нулевой вектор считают ортогональным любому другому вектору. Теорема 2.1. Для того чтобы два вектора были ортогсь нэльны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
