III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Убедитесь в этом самостоятельно! Операция сложения векторов по своим свойствам напоминает операцию сложения чисел. 1'. Сложение векторов коммутативно: а+Ь= Ь+а. < Если складываемые векторы неколлинеарны, то свойство непосредственно вытекает из правила параллелограмма, так как в этом правиле порядок векторов не играет роли. Если же векторы коллинеарны, то их сложение сводится к сложению или вычитанию их длин в зависимости от того, являются ли складываемые векторы однонаправленными или противоположно направленными.
° 2'. Сложение векторов ассоциативно: (а+ Ь) + с = а+ + (Ь+ с). Рис. 1.5 А 11 = Ас1 + В71 = АВ + 1ВС+ Сс1) = а + (Ь + с), ~В = ~И+С11 = (~4+~0)+~3 = (а+ 5)+с, Доказать это свойство проще всего при помощи правила треугольника. Выберем в качестве начала вектора а точку А (рис. 1.5), и пусть а = АМ. + + Совместим начало вектора Ь с точкой В, и пусть Ь = ВС~.
НаРта ке с конец, начало вектора с совме- е стим с концом С вектора Ь, и л С пусть тогда с = Сс . В Ь Непосредственно из построения получаем ь линейные ОпеРАции нАд ВектОРАми 2О т.е. геометрический вектор Ас1 изображает и левую часть доказываемого равенства, и правую. > 3'. Существует такой вектор О, что для любого вектора а выполняется равенство а+О=а. м Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться, что указанному условию удовлетворяет нулевой вектор. Проверку удобно проводить при помощи правила треугольника.
> 4'. Для любого вектора а существует такой вектор Ь, что а+Ь =О. а Действительно, таким является вектор ( — а), «ропзиво«ололс«ый к вектору а, т.е. вектор, коллинеарный а, той же длины, что и а, но противоположно направленный. Если в качестве точки приложения этого вектора выбрать конец вектора а, то конец противоположного вектора совпадет с началом вектора а. Согласно правилу треугольника, суммой векторов а и ( — а) будет вектор с совпадающими началом и концом, т.е.
нулевой вектор. Ь 5'. Для любых векторов а и Ь существует такой вектор х, что а + х = Ь. При этом вектор х определен однозначно. 1 ~ Указанному условию удовлетворяет вектор ( — а) + Ь, так как с учетом свойств 2'-4' а+х =а+ (( — а)+Ь) = (а+( — а))+Ь = О+Ь= Ь, Если вектор х удовлетворяет равенству а+ х = Ь, то, прибавив слева к обеим частям последнего равенства вектор ( — а), получим с учетом свойств 1', 2', что х = ( — а) + Ь. Действительно, ( — а) + (а+ х) = (( — а) +а) +х = О+х = х = (-а) +Ь.
Значит, вектор х определен однозначно. 1ь ЬЗ. Линейные операции и их свойства 21 Свойство 5' позволяет ввести операцию вычитания векторов. Определение 1.6. Разностпью Ь вЂ” а двух вектпоров а и Ь называют такой вектор з, что а+ к =Ь. С алгебраической точки зрения переход от а + к = Ь к з = Ь вЂ” а (в соответствии с определением 1.6) означает, что при переносе вектора в другую часть равенства перед ннм надо менять знак. Корректность определения разности векторов, т.е. существование и единственность вектора к устанавливает свойство 5'.
Практически для вычисления разности векторов можно воспользоваться правилом треугольника. Совместим начала векторов а и Ь, тогда вектор с началом в конце вектора а и концом, совпадающим с концом Ь, равен разности Ь вЂ” а этих векторов (рис. 1.6). а Операцию вычитания векторов Рис. 1.6 также относят к линейным, так как она определяется операцией сложения и является обратной сложению. Определение 1.7.
Произведенпеле вектпора а на число Л называют вектор Ла, коллинеарный вектору а, с длиной )Л!)а), однонаправленный с а при Л ) 0 и противоположно направленный при Л ( О. Замечание 1.4. Если Л = О, то, согласно этому определению, вектор Оа должен иметь длину 0)а! = О, т.е. должен быть нулевым вектором. Поэтому, хотя остальные характеристики в определении и не определены (коллинеарность, направленность), произведение вектора на число 0 определено однозначно: Оа есть нулевой вектор.
Пример 1.2. Произведение вектора а на число — 1 есть вектор, противоположный к а, т.е. ( — 1)а = ( — а). ф1 22 к ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Операция умножения вектора на число обладает свойством ассоциативности, а совместно с операцией сложения она удовлетворяет двум свойствам дистрибутивности.
6'. Умножение вектора на число а~социативно: (ЛИ)а = = Л(ра). ~ Действительно, обе части равенства представляют собой векторы, коллинеарные исходному вектору а. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин векторов очевидно. Если числа Л и и имеют один и тот же знак, то векторы в обеих частях будут однонаправлены с вектором а.
Если же Л и и имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к а. Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины, т.е. равные векторы. ° Л)0 л<о Рис. к7 7'. Умножение вектора на число дистрнбутивно относительно векторов: Л(а+ Ь) = Ла+ ЛЬ. ~ При Л = 0 свойство очевидно, так как в этом случае слева будет нулевой вектор (произведение вектора на число 0), а 23 Ь4. Ортогональная проекция гправа — сумма двух нулевых векторов. Если Л ~ О, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. На рис.
1.7 представлены случаи для Л > 0 и Л < О. 1н 8'. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно чисел: (Л+ п)а = Ла+ да. < В указанном равенстве — трн коллинеарных вектора. Поэтому доказательство сводится к подсчету длин векторов, которым присвоены знаки, учитывающие направление. Если Л и и имеют положительные знаки, то все три вектора в равенстве имеют одно направление, совпадающее с направлением вектора о.
При сложении этих векторов справа складываются их длины, а доказываемое равенство равносильно следующему: (Л+п)(а) = Л(а)+1я)а(. Случай, когда Л и и отрицательны, аналогичен. Пусть Л и и имеют противоположные знаки. Для определенности будем считать, что Л > О, р < О. Противоположный случай сводится к этому заменой обозначений и учетом коммутативности сложения чисел и векторов. Если Л > О, и < О, то при сложении векторов Ла и ра вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с а при )Л) > )р) и противоположно направленным при 1Л) < )1я(.
Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна ~Л+ 1я)(а). Учитывая направление этого вектора, заключаем, что он равен (Л+ 1я)а, т.е. доказываемое равенство верно и при противоположных знаках коэффициентов Л и р. ~ 1.4.Ортогональная проекция Пусть на плоскости заданы прямая Ь и точка А. Опустим из точки А на прямую Ь перпендикуляр (рис.
1.8, а). Тогда его основание (точку О) называют ортоовомальноя1 ироеяяммея1 тпочяем А на орлмпю ь. Если прямая 1, и точка А заданы 24 ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ в пространстве, то в этом случае ортогональной проекцией точки А на прямую Ь называют точку О пересечения прямой 1 с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку А (рис. 1.8, 6). Если точка А лежит на прямой Ь, то она совпадает со своей ортогональной проекцией на Ь.
,А Рис. 1.8 Для вектора Ас1 (на плоскости или в пространстве) можно построить ортогональные проекции на прямую Ь его начала и ионна (рис. 1.9). Тогда вектор ОАОВ, соединяющий эти проекции ОА и ОВ и лежащий на прямой Ь, называют орнзоеональноб нроенциеб еентнора АВ на нрлмую Ь. А Прямую, на которой задано одв но из двух возможных направлений, называют осью. Выбранное направление на оси изображают с помоОе щью стрелки на соответствующем л конце оси. Ортогональную проек- Рис. 1.9 цию ОАОВ вектора АМ на ось 1 можно полностью описать длиной вектора ОАОВ, приписав ей знак, указывающий направление вектора. Если направление ОАОВ совпадает с заданным направлением оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то берут знак минус.
Длину вектора ОАОВ со знаком, определя- Ь4. Ортогональная проекция ющим направление этого вектора, называют ортпоеональной проекцией вектора АМ на ось 1 и обозначают прта. Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число, в то время как ортогональная проекция вектора на прямую — это вектор. Чтобы вектору соответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно иэ двух возможных направлений. Каждый ненулевой вектор 1 однозначно определяет ости его можно рассматривать расположенным на некоторой прямой и задающим на ней направление.
Поэтому ортогональную проекцию вектора на такую ось называют ортпоеональной проекцией вектпора на направление вектора 1. Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют углом между этими вектпорами. Угол может изменяться в пределах от 0 до к. Крайние значения 0 и к отвечают коллииеарным вектором, соответственно однонаправленным и противоположно направленным. Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то угол между такими векторами не определен.
Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение. Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (или к). Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим, выбирают исходя из конкретной ситуации. Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора а на направление ненулевого вектора 1 равна длине ~а~, умноженной на косинус угла ~р между векторами а и 1, т.е. прта = (а(сов(а,1), где (а,1) — угол между векторами а и 1. ~ Пусть вектор 1 лежит на прямой Ь, а его началом является точка А. Совместим начало вектора а с точкой А, и пусть его концом будет точка В (рис. 1.10). Построим ортогональную Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРА ЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 2б проекцию С точки В на прямую Ь.
Тогда вектор АС является ортогональной проекцией вектора а = АМ на прямую Ь. В В С Е Ь С А 1 Ь Рис. 1,10 Если угол у между векторами а и 1 острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец вектора 1 и точка С лежат по одну сторону от точки А. В этом случае проекция а на направление вектора 1 равна длине )АС~ = (АВ(соя~р катета АС треугольника АВС. Если угол ~р тупой (см.
рис. 1.10, б), то конец вектора 1 и точка С лежат по разные стороны от точки А. Зто значит, что векторы АС и 1 имеют противоположные направления, а проекция вектора а равна — ~АС~. В треугольнике АВС угол 4, прилежащий к катету АС, равен и — ~р, поэтому ~АС~ = = (АВ( сов(я — у) = — (АВ) сов~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
