III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть о — скорость точки Р. Тогда и = ыхО!~, где !а — вектор угловой скорости. Пример 2.12. На движущуюся со скоростью и частицу с электрическим зарядом в магнитное поле с магнитной индукцией В действует с силой Лоренца у = дихВ. Если векторы и и В ноллинеарны, то ихВ = 0 и при постоянном магнитном поле частица будет совершать прямолинейное равномерное движение.
Если же векторы и и В неколлинеарны, то у ~ О, но мощность, развиваемая этой силой, равна нулю: И' = Уи = у(ох В)о = уоВо = О, поскольку сне!ванное произведение номиланарных векторов равно нулю. Следовательно, заряженная частица массой т в постоянном магнитном поле сохраняет свою кинетическую энергию тиз/2. 73 Д.2Л. Двойное векторное произведение Рассмотрим случай, когда векторы о и В ортогональны, е.. оВ = О. Поскольку и сила Лоренца у ортогональна В, то кн тица остается в плоскости, перпендикулярной вектору В, и ьчигается по окружности радиуса Й, который определяется из в ливия равновесия возникающей при этом центробежной силы и действующей силы Лоренца, пзо (тс = у~и хВ~ = д)оЙВ(е1п90'. О есюда Дополнение 2.1. Двойное векторное произведение Трем векторам и, Ь и с можно поставить в соответствие кн втор, равный ах(Ьхс).
Этот вектор называют двойным п<кпзормым звромзеедемием векторов а, Ь и с. Двойное ~н кторное произведение встречается в механике и физике. Двойное векторное произведение выражается через линейную комбииапию двух из трех своих сомножителей по формуле ах(Ьхс) = Ь(ас) — с(аЬ). Докажем это. Обозначим через к разность левой и правой чнстей этого равенства х = ах(Ьхс) — Ь(ас) + с(аЬ). Пнм достаточно показать, что к = О. Предположим, что векторы Ь и с коллинеарны. Если они оба ну иные, то в выражении для вектора к все слагаемые равны пюп.вому вектору и поэтому равенство к = О выполнено. Если и один из коллинеарных векторов Ь, с ненулевой, например 74 г.
ПРОИЗВЯДВНИЯ ВККтОРОВ тс' для другого вектора при некотором а Е К выполнено Равеиство Ь = ос. Но тогда ж = ах (осхс) — ос(ас) + са(ас) = О. Редположим теперь, что векторы Ь и с неколлинеарны. ~огд~ их векторное произведение не равно нулевому вектору Ртогонально ненулевому вектору Ь. Векторы Ь , Ьхс — — й=яхг |Ь|' |Ьх !' уют правый ортонормированный базис в)з (зто и отражено в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие Разложения векторов. Ь= |Ь|ъ, с = с1я+сгй, а = а1я+аД+азй, и поз..г,->му Ьхс = — |Ь|сгг', ах(Ьхс) = — |Ь|сг(а, Ь вЂ” аз4).
Кром~ ас = а1с1 — азсг, аЬ = а1|Ь!. В Рез1"льтате находим, что и в случае неколлинеарных векторов ~ыполнено равенство — — |Ь|сг(а1й — азя) — (а1с1 — азсг)|Ь|ъ+ а1|Ь|(с|я+ сгй) = О. Вопросы и задачи 2 1-. Вычислить определители: б) 2 О 3 а) 7 1 6 6 О 5 1 1 1 4 5 9 16 25 81 75 Вопросы и задачи 2.2. Решить уравнения и неравенства: 1 — х 39 к 0 2 — х 2* 0 0 5+х = 0; б) >О; а) х — 1 0 1 х 1 0 — 1 х =0; ~(3; г) в) 0( 3 х — 4 2 — 1 3 х+10 1 1 = 0; е) д) 2.3. Найти все значения параметра 1, при которых система я~ух линейных уравнений < 1х — Зу= 2, 2х+(1 — 5)у= 5 ям1гт единственное решение.
Найти зависимость этого единпн иного решения от параметра 1. 2.4. Доказать справедливость равенств: а2+а', Ь1 аг Ь1 ~ <а~ 61, ~Ла1 Ьг, а1 61~ 1 аг+а12 Ьг аг 62 ~ ~ а12 Ьг <' ~ Лаг Ьг аг Ьг ~ а2 61 с1 аг Ьг сг аз 6з сз н) аз аг 0 0 0 Ьг 0 0 0 сз = а1Ьгсз. а2 2.5. Найти длину вектора с = а — 2Ь, если известно, что ~а~ = 3, (Ь! = 5 и угол между векторами а и Ь равен 45'. 6г сг 61 с1 Ьз сз 0 0 Ь О с 1 1 1 хг 5 3 хз 25 9 2 3 — 1 3 4 2 — 6 6 2 х+2 — 1 1 1 — 2 >О.
5 — 3 х аг с1 61 аг сг 62 аз сз Ьз а1 61 с1 О Ь с 0 0 сз 76 г. ПРОИЗНКД8НИЯ 88КТОРОВ 2.6. Найти угол между векторами с = а — 2Ь и Ы = За+ 2Ь, если известно, что ~а~ = 3, ~Ь) = 5 и угол между векторами а и Ь равен 120'. 2.7. Найти значения параметра г, при которых векторы с = а — 1Ь и Н = и + ~Ь имеют одинаковую длину. 2.8. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а =24 — г+Зй и Ь=й+г — Й. 2.9. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 45', )АВ( = 1, )АС) = 4. Найти угол между медианой и биссектрисой, которые проведены из вершины А. 2.10. Точки В~ и Вз принадлежат соответственно прямым 51 и 1,г, которые пересекаются в некоторой третьей точке А. Выразить через АВ~ и АВг векторы, направленные по биссектрисам углов между прямыми.
2.11, Найти угол между векторами а и Ь, если они имеют одинаковую длину, а векторы с = а — 2Ь и д = а+ ЗЬ ортогональны. 2.12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах и = й — г+ Зй, Ь = 2а+ г — Й, с = Зй+ г+ 2й. 2.13. При каких значениях г векторы а = га — Ггг + гзй, Ь = 24 — г — й, с = — 4з+ 2г + 5Й ком планарны. 2.14. При выполнении какого условия равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, будет направлена по биссектрисе угла между ними? 2.15.
Найти работу силы Р = 4+Й при перемещении материальной точки на вектор а = 34 — 2г + Й. 2.16. Найти угол между ненулевыми векторами а н Ь, если они удовлетворяют соотношению ~ихЬ| = аЬ. 2.17. Векторы а, Ь и с некомпланарны, а векторы ах (Ьхс) и Ь коллинеарны. Найти угол между векторами а и Ь. Вопросы и задачи 2.18. Доказать, что для любых трех векторов справедливо равенство (ахЬ) хс = (ас)Ь вЂ” (Ьс)а, причем в его правой части в круглых скобках стоят скалярные и роизведения соответствующих векторов.
2.19. Доказать, что любые векторы а, Ь и с удовлетворяют аизтношению ах(Ьхс) + сх(ахЬ) + Ьх(сха) = О. 2.26. Доказать, что для любых четырех векторов а, Ь, с и И выполнено тождество (ахЬ)(сха) = (ас)(Ы) — (аа)(Ьс). 2.21. Доказать, что если два вектора равной длины лежат на одной прямой и однонаправлены, то их моменты относительна~ любой точки равны между собой. 2.22. Доказать, что если частица массой зп с электрическим зарядом д со скоростью е попадает в постоянное магнитное пои с магнитной индукцией В и векторы е и В неколлинеарны н ш.ортогональны, то она будет двигаться по цилиндрической ~ и врали. Вычислить радиус основания соответствующего прямого кругового цилиндра и расстояние между соседними витьнми спирали. 2.23.
Для каких векторов а, Ь и с выполнены соотношении: а) |а — Ь| = |а+ Ь); б) |а — Ь) ) |а+ Ь); в) |а — Ь) < |а + Ь|; ~ ) аЬ = )а| |Ь); д) |ахЬ| =.|а| |Ь); е) аЬс = |а| |Ь| |с|. 2.24. Найти все векторы х Е Ъз, удовлетворяющие данному ягловию: а) ах= О; б) ахх = О; в) ахх = Ь; г) ахх = Ьхх. 2.25. Какому условию удовлетворяют векторы а н Ь, если лнн любого вектора х Е Рз выполнено равенство ахх = Ьхх. 2.26. Доказать, что для векторов а, Ь и с, удовлетворяющих гм юнию а+ Ь+ с= О, выполнены равенства ахЬ = Ьхс = сха. 2.27.
Доказать компланарность векторов а — Ь, Ь вЂ” с и с — а. 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В основе аналитической геометрии лежит возможность однозначного описания точек при помощи наборов чисел, называемых координатами. Описание множества с помощью соотношений между координатами входящих в него точек позволяет привлечь для его исследования алгебраические методы, что значительно расширяет возможности анализа. Обратно, зависимости (уравнения, неравенства и их системы) можно интерпретировать как зависимости между координатами точек и ассоциировать с ними множество, составленное из точек, координаты которых удовлетворяют этим зависимостям, и, следовательно, получить наглядное представление чисто алгебраической задачи (например, в случае поиска решений уравнений и их систем). Таким образом, возникает своеобразный мостик, связывающий алгебру и геометрию.
Его роль выполняет система координат. 3.1. Декартова система координат Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая геометрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна иэ школьного курса математики. Мы дадим определение прямоугольной системы координат, используя векторную алгебру. Фактически мы построим систему координат более общего вида, в которой оси координат могут находиться по отношению друг к другу под произвольным углом. Прямоугольная система координат будет частным случаем, когда углы между осями координат будут прямыми.
Назовем декаргповоб (вффинноб) систпеноб ноординоеп пару, состоящую из фиксированной точки 0 и некоторого 3. 1, Декартова система координат 79 ьвзпса. Соответственно трем пространсгпвам Ъ~, Ъз, $з полупи и три варианта декартовой системы координат: на прямой, па плоскости и в пространстве. Декарп1овыми (аффинными) координатами произвольной тонки М являются координаты вектора ОХ~ в заданном базисе. С декартовой системой координат связаны следующие понятия: канало (системы) координа|п — точка О в составе д картовой системы координат; — репер — базис в составе декартовой системы координат, ля я векторов которого выбирается общая точка прплолсенил в оочзле координат; оси координат (координатные оси) — прямые, на которых лежат векторы репера, задающие направление на , тих прямых.
Оси имеют специальные названия (в порядке пумерации): ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Е ординаты точки именуются по осям: абсиисса, ордината и аппликата. На плоскости отсутствует ось аппликат, на прямой также нет оси ординат. координатные плоскости — плоскости, определяемые парами векторов репера. Понятие используется для декартовой системы координат в пространстве; — радиус-вектор точки М вЂ” вектор ОХ~, соединяющий начало координат О с этой точкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
