III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 14
Текст из файла (страница 14)
агс13(у/х), х + агс$3(у/х), — х + агс13~у/х), я/2, — х/2, х>0; х<0, х<0, Х=О, х= О, у>О; д<О; д>О; у<О. 102 Э. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 3.3. Выяснить, задают ли формулы: а) х = х'+ р', у = х'— — у'; б) х = 0,5х' — ~/Зу'/2, у = ~ГЗх'/2+ 0,5у' поворот системы координат на плоскости. Если задают, найти угол поворота.
3.4. Найти расстояние между точками М1 и Мз, если они заданы своими полярными координатами ры<Р~ и Рг, Рз соответственно. 3.5. Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс в ее положительном направлении, вращаясь с угловой скоростью 1 рад/с. В момент времени 1 = 0 точка М окружности совпадает с началом системы координат. Доказать, что зта точка движется по пиклоиде х = а(1 — ьйп1), у = п(1 — сов1).
Построить эту кривую. 3.6. Нарисовать на плоскости кривую, по которой движется точка с координатами х = е1п1, у = е1п 1. Прокомментировать это движение точки. 3.7. Доказать, что множество точек на плоскости, произведение расстояний от которых до точек г1( — а; О), гз(0; а) есть величина постоянная, равная а~, представляет собой кривую (леинискагпу), которая описывается уравнением (хз+ уз)з = = 2аз(хз — уз).
Записать уравнение этой кривой в полярной си~теме координат и построить кривую. 3.8. Что представляют собой множества точек в пространстве, равноудаленных от точек: а) А(0;0; — 10), В(0;0;10); б) А(1;1;О), В( — 1; — 1;О); в) А(1;2;3), В( — 1;-2; — 3)? Построить соответствующие геометрические образы и найти их уравнения. 3.9. Найти координаты центра масс системы четырех материальных точек одинаковой массы т, расположенных на плоскости, если даны их координаты (5; 9), (1; — 7), ( — 4; — 8), (2; 2).
3.10. Найти объем четырехугольной пирамиды ЯАВСВ, если в ее основании лежит параллелограмм АВСВ и известны координаты вершин В( — 5; 1; 9), А(1; 3; — 7), В(-4; — 2;8), 103 Воиросы и эадачв ~ '( 2; 1; 2). Чему равна высота этой пирамиды, опущенная из п~ ршины 5? 3.11. Луч света, исходящий из точки А( — 2; 4) в сторону и абсцисс, после зеркального отражения от этой оси прошел через точку В(4; 12).
Найти координаты точки отражения и гочки пересечения луча с осью ординат. 3.12. Найти угол, под которым из начала прямоугольной системы координат виден отрезок, соединяющий точки В(4; 10; 8) и С(2; 2; 2). 3.13. Доказать, что два ортонормированных базиса в протранстве, имеющих одинаковую ориентацию, можно совметить друг с другом при помощи поворота вокруг некоторой и и. Найти вектор, задающий направление этой оси, и угол поворота. 3.14. Найти координаты центра масс треугольника с вершинами А(-1; 7; 4), В(13; 5; 2), С(7; — 1; — 4), если масса треугольника равномерно распределена по его площади. 3.15.
На плоскости расположены трн точки А(1+~; 3 — с), В(3 — 1;6+21) и С( — 1+1;$). Выяснить, при каких значениях параметра 1 из точки А не видна точка С. 3.16. Доказать, что в полярной системе координат расстояние между точками М1(р1, у1) и Мг(рг, уг) вычисляется по формуле 1М1Мг! = 4.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 4.1. Алгебраические кривые первого порядка Остановимся на изучении алгебраических кривых первого порядка на плоскости, т.е. кривых, которые в некоторой прямоугольной системе координат описываются алгебраическим уравнением первого порядка ах + 6у+ с= О, где хотя бы один из коэффициентов а или 6 отличен от нуля1. Это уравнение называют также линейным уравнением. Теорема 4.1. Любая прямая на плоскости представляег собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.
< Рассмотрим произвольную прямую 1 на плоскости. Пусть точка Мо(хо~до) лежит на Ь, а ненулевой вектор и = (а; Ь) перпендикулярен этой прямой. При таких исходных условиях произвольная точка М(х;у) принадлежит прямой Ь тогда и только тогда, когда вектор МоМ ортогонален вектору и (рис. 4.1) . Зная координаты векторов МоХ~ = я — — (х — хо,' у — уо) и и, запишем условие ортогональности этих векторов через 90' м их скалярное произведение: а(х — хо) + о +6(у — уо) = О или ах+ Ьу+с = О, где с = — ахо — Ьуо. Так как и ~ О, то либо а ~ О, либо 6 ~ О.
Первое утверждение теоремы доказано. 1 Условие, что коэффициенты а и 6 одновременно не обращаются в нуль, коротко можно записать так: а + Ьз ,-В О. 4. Ь Алгебраические кривые первого порлдкв 106 Для доказательства второго рассмотрим произвольное уравнение первого порядка с двумя неизвестными ах+ Ьу+ с= О, и'+Ьз ~ О. Это уравнение имеет хотя бы одно решение.
Например, если а ~ О, то решением уравнения является х = -с/а, у = О. ', 1то значит, что геометрический образ уравнения является не- пустым и содержит какие-то точки. Пусть точка Ме(хо,уо) принадлежит укаэанному образу, т.е. выполняется равенство н.со+ 6уо+ с = О. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения.
В результате получим новое уравнение, эквивалентп~н исходному. Это новое уравнение после перегруппировки слагаемых примет вид а(х — хо)+Ь(у — уо) = О. (4.1) Определение 4.1. Уравнение вида ах+Ьу+с=О, а +Ь ~О, (4.2) называют общим уравнением прямой. Из доказательства теоремы 4.1 следует, что коэффициенты а и 6 в общем уравнении прямой имеют простой геометри'и ский смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор называют нормальным ееипзором прямой. Он, как и общее уравнение прямой, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.
Пусть прямил Х, задана уравнением (4.2). Если точка Мо(хе, уо) лежит на прямой Х, то ее координаты удовлетворяют 1! отрудно увидеть, что полученное уравнение представляет собой условие ортогональности векторов и'= (а;6) н МоХ~, где М вЂ” это точка с координатами (х; у). Следовательно, если точка М(х; у) принадлежит геометрическому образу уравнения ах+6у+сов О, то вектор п ортогонален вектору МеХ~, т.е. точка М лежит на прямой, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору п. В 166 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ уравнению (4.2), т.е. ахо+ 6уо+ с = О.
В любой точке М1 (х1, у1 ), не лежащей на прямой Ь, значение левой части уравнения (4;2) равно ах1+ Ьу~ + с = ах1+ Ьу| — ахо — Ьуо = = а(х1 — хо) + 6(у1 — уо) = пМоМ1 ~ О. Знак скалярного произведения пМоМ, определяется углом между вектором МоМ1 и нормальным вектором прямой п. Если точки М1 и Мз расположены по одну сторону от прямой А (рис. 4.2, а), то, подставив их координаты в левую часть уравнения (4.2), мы получим значения с одним знаком.
Если такая подстановка координат точек М1 и Мз приводит к значениям с разными знаками, то эти точки лежат по разные стороны от прямой Т, (рис. 4.2,6). Рис. 4.2 Пример 4.1. Выясним, как по отношению к прямой Зх — 4у+ 5 = О расположены точки А(4; 4) и В(6; 6). Подставив координаты точки А в левую часть общего уравнения прямой, получим положительное число 1, а подстановка координат точки В приводит к отрицательному числу -1. Значит, точки А и В расположены по разные стороны от данной прямой. 1~ 107 4.2. Специальные виды уравнения прямой 4.2. Специальные виды уравнения прямой Кроме общего уравнения прямой на плоскости часто исполь1уп~т и другие уравнения прямой. Это связано с тем, что, в запп пмостн от геометрического описания прямой на плоскости, ьч уравнение может быть получено в некотором специальном пад< .
Кроме того, каждому виду уравнения соответствует свой геометрический смысл его коэффициентов, что также важно. '!'пкгируем на плоскости прялгоугольную систему координат ~ )яу. Уравнение с угловым коэффициентом. Определим прямую Ь на плоскости, задав точку Мо(хо,.уо) на этой прямой п угол ~р, на который надо повернуть против хода часовой ~ г!юлии ось абсцисс Ох до совмещения с прямой !рис.
4.3). ! !!и дположим, что у ф. к/2. Точка М(х;у) принадлежит примой Ь тогда и только тогда, ю гди вектор МоЛ1 составляет ~п ью Ох угол уе или н — !р, при этом отношение координат ~г<н о вектора равно 13у. Это у ловие можно записать в виде У вЂ” Уо =гбр. х — хо Рис. 4.3 !!аходя у, приходим к уравнению у= их+о, (4.3) глг Й =Ф3!р; о= уо — хогб~р. Уравнение (4.1) очень полезно прн решении задач.
Оно пцлпояяст по координатам точки на прямой Ь и координатам нормального вектора прямой Е записать уравнение прямой без и !н~мгжуточных вычислений. 109 4.2. Спеипаяьные виды уравнения пряной я«нторное уравнение прямой « — ге =1в, или г= ге+1в. (4.5) Каноническое уравнение прямой. Модифицируем вы<н<д параметрических уравнений прямой. Коллииеарность век«<ров Ми<<4 и в, согласно следствию 1.1, эквивалентна равен«ну отношений их одноименных координат: * — хо у — уе (4.6) Урщшение (4.6) называют каноническим уравнением прямой, Это уравнение можно также получить, исключив из ннраметрических уравнений (4.4) параметр 1.
Уравнение прямой, проходящей через две точки. наладим прямую Ь на плоскости двумя различными точками М<(х<,уд) и Мз(хз,уз) на ней. '<'огда вектор М<Мзь параллелен Х и ее каноническое урави< ни< (4.6) как уравнение прямой, проходящей через точку И<(х<,у<), с направляющим вектором в = М1Мз, имеет вид х — х1 у- у< (4.7) хз х< Уз У< Уравнение (4.7) называют уравкением прямой, проходящей ч«рез две изоики. Уравнение прямой в отрезках. Определим прямую Ь ее < очками А(а,О) и В(0,5) пересечения с осями координат, предполагая, что эти две точки не совпадают с началом системы координат, т.е. что а ~ 0 и йф 0 (рис.
4.5). ',1аписывая уравнение прямой Ь в виде (4.7) по двум ее «очкам А и В, получаем х — а у — 0 0 — а Ь вЂ” 0 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ откуда -х/а+ 1 = у/Ь, или — + — = 1. х у 14.8) а Ь Уравнение прямой (4.8) называют уравнением прямой в ояпрезпах. Нормальное уравнение прямой. Определим прямую Ь при помощи перпендикулярного ей единичкого вектора и и расстояния р) 0 до прямой от начала системы координат. Существуют два единичных вектора, перпендикулярных прямой Т,.
Из этих двух выберем тот, который имеет начало в точке О и направлен „в сторону прямой" Ь (рис. 4.6). Выбранный вектор и однозначно определяется своим углом у с осью Ох, который отсчитывается против хода часовой стрелки. Координаты вектора У п легко вычисляются через этот М угол: п = (сову; я)п Д. Условие, что точка М)х; у) н принадлежит прямой Ь, эквивз.- р лентно тому, что ортогональная О проекция радиус-вектора точки М на направление нормальнога Рнс. 4.В вектора прямой равна рассто. янию р от'точки О до прямой: пр„Ой~ = р 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
