III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Декартову систему координат общего вида часто называют косоугольной системой координат. Если репер декартовой системы координат является ортооо1осированным базисом, то такую систему координат назывлют декартовой пр*моугольной системой координат, иеи просто прямоугольной системой координат, а декароеиы координаты точки — ее прлмоугольными координатами. Далее будем использовать в основном прямоугольные сис«мы координат, т.е.
будем предполагать, что репер предста- а системы кООРдинАт 80 вляет собой ортонормированный базис, причем обязательно правый. Отметим, что базис в Ъг (т.е. на плоскости) называют правым (левым), если первый его вектор совмещается со вторым с помощью кратчайшего поворота против хода (по ходу) часовой стрелки. Итак, под сиспгемой координапг подразумевается прямоугольная система координат с правым базисом, а под координапгами пгонки — ее прямоугольные координаты. Использование других систем координат будет обязательно оговариваться. Для обозначения декартовых систем координат, например в пространстве, будем использовать обозначения типа Огай, где Π— начало системы координат, а г, у, к ортонормированный репер (базис), или Охуг [1), где указаны обозначения для координатных осей.
3.2. Преобразование прямоугольных координат Все прямоугольные системы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равноправны, т.е. выбор одной из них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования координат точки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе. Пусть Огук — некоторая прямоугольная система координат в пространстве, которую мы условно назовем старой, а О'Гг'и' — вторая прямоугольная система координат, которую будем называть новой (рис.
3.1). Считаем, что известны координаты точки О'(61, Ьг, 'Ьз) н векторов г' = (оп, 'ом', озг), у' = (жгг, 'огг, 'озг), й' = (огз,' огз, 'озз) в старой системе координат. Пусть для точки М известны ее координаты (х;у;х) в старой н координаты (х',у';х') в 81 3.2.
Преобразование нрвмоуголвных координат новой системах координат. Это значит, что выполняются два равенства 0'М = х'г'+ у'у'+ х'й' ОЛг = хй+уг+лй. (3.1) Рис. 3.1 Векторы ОМ и О'М связаны соотношением ОМ = 00'+ + 0'М, причем координаты вектора 00' являются также координатами начала координат 0' новой системы координат относительно старой, т.е. 00 = 61г+Ьгу+Ьзй.
Поэтому ОМ = 00'+ 0'М = Ьгг'+ Ьгг'+ Ьз1е+ х'го+ у'г'+ л'й' = = Ь1г+ Ьг 1 + Ьзй+ + х'(опг+ сеггя + оз1 й) + + У (ошй+ аггее + ехзгй) + + л'(о1зг + огзЗ + сеззй) = = (о11х'+ се1гу'+ о1зг'+ 61) г+ + (ог1х + сеггу + огзл + Ьг)у + + (оз1х'+ ехзгу'+ оззг'+ 6з) й, (3.2) 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 82 т.е.
получено разложение вектора ОХ~ в репере старой сис темы координат. Оно должно совпадать с (3.1) в силу един-, ственности координат вектора в одном и том же базисе. Приравнивая соответствующие коэффициенты разложений в (3.1) и (3.2), получаем х = о11х' + о12У'+ о1з х'+ 61, у = ошх'+ оггу'+ огзг'+ Ьь х = оз1х + озгу + оззг + 6з. (3.3) О11 ~."21 С"31 С112 Огг ОЗ2 О 12 Огэ ОЗЗ оы о12 огз ог1 огг огз оз1 аз 2 озз = г~уой~ = 1, ! так как векторы Г, у', к' образуют правый ортонормированный базис и объем построенного на них параллелепипеда равен 1 х (или — 1 в случае левого базиса). Набор коэффициентов об в системе (З.З) отражает положение репера новой системы координат, а свободные члены 61, 62, 6з характеризуют изменение начала координат.
Если репер системы координат не изменился, а поменялось лишь начало координат, то формулы преобразования выглядят более просто: х = х'+ 61, У У +62~ г= г +Ьз. (3.4) Соотношения (3.3), выражающие старые координаты через новые, представляют собой систему трех линейных уравнений относительно неизвестных х', у', г'. Чтобы найти новые координаты х', у', г' по известным старым, необходимо решить эту систему относительно новых координат.
Система (З.З),', при любых х, у, г имеет единственное решение, поскольку „ ее определитель отличен от нуля. Это следует из того, что,'! выполнены равенства З.г. Преобразование лрвмоугольных координат 83 х = опх'+ оггу'+ 6м д = ог<х + оггу + 6г (3.5) <'д< (о<<,огД, < = 1,2, — координаты векторов Г,,г' нового у<пера относительно старого (г,у), а (6<,6г) — координаты гочки 0' начала новой системы координат в старой системе координат. Преобразование параллельного переноса системы координат на плоскости выглядит так: х = х'+Ьы д = д'+6,. Если начала новой и старой систем координат на плоскости отпадают, а изменяется лишь репер системы координат, то Формулы преобразования координат имеют вид: < < х = оых +оггу, < д = ог<х + оггу .
(3.6) Здесь возможны два случая. В первом из них новый репер может быть получен из старого поворотом последнего на некот рый угол <д вокруг общего начала систем координат, причем и лагают, что <р > 0 (<р( 0) при повороте против хода 1по ходу) <;оовой стрелки. В этом случае преобразование (3.6) назыв,<к<т поворотом системы координат на плоскости на ПО<образование 13.4) называют параллелькым переносом истемы координат е пространстве на вектор 00'. Все вышеизложенное относится к прямоугольной системе <и ординат в пространстве. Прямоугольная система координат па плоскости отличается от пространственной лишь тем, что репер состоит из двух векторов, а точки имеют всего две к ординаты.
Преобразование системы координат на плоскости ~н<исывается уравнениями 84 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ угол <Р. Нетрудно убедиться, что У координаты векторов Г и у' ново- У го репера относительно старого вы- У ~Р х' ражаются через угол поворота ~Р: У лч = (соа ~Р; яп ~Р), 3' = (- яп у; сез ар) (рис.
3.2). Зная координаты векторов нового репера относительно старого, мы можем записать уравнения для поворота системы координат на плоскости: х = х' сое Р— у'яп ~Р, у = х'яп~р+у'сое<Р. Если преобразование состоит в последовательном выполнении поворота и параллельного переноса, то оно имеет вид: (3.7) х = х'солар — у'япу+ 6ы у = х'яп ~Р+ у'сое~р+ 6з.
(3.8) Система (3.8) легко решается относительно х', у', и обратное преобразование координат, отражающее переход от новой сис- темы координат к старой, будет иметь вид: х' = хсое~о+ уяп~р+ 61, у = — хяп~р+ усов р+6з, где 6', = 61 сое р+ 6з яп ~Р, 6' = -61 яп р+ 6зсое~р. Как видим, старая система координат получается из новой с помощью поворота на тот же угол Р, но в противоположную сторону (на угол — Р в положительном направлении), и параллельного переноса (на вектор О'3). Во втором случае с помощью поворота старого репера вокруг начала координат на некоторый угол ~Р можно совместить лишь векторы й и г', но при этом векторы ) и у' окажутся противоположными и для их совмещения потребуется выполнение преобразования зеркального отражения плоскости относительно первой оси координат.
3.3. Простейшие задачи аналитической геометрии *=они +ошу +отзл, / Р у = стюи +огзу +огзт т = аозт*'+ озз У'+ оззл'. (3.9) Преобразование (3.9) называют поворотполт систпелтьт координапт в простпранстпве, если реперы новой и старой систем координат имеют одинаковую ориентацию, т.е. являются оба правыми или левыми. Как и в случае плоскости, зто связано с тем, что реперы с одинаковой ориентацией можно совмещать г помощью поворотов. Например, можно сначала совместить иекторы т и тч с помощью поворота старого репера вокруг вектора яхт', а затем выполнить второй поворот вокруг вектора т' для совмещения повернутого вектора у с вектором у'.
При атом векторы Й и Й' автоматически совпадут для реперов одной ориентации и будут противоположными для реперов противоположной ориентации. В последнем варианте требуется, как и в случае плоскости, выполнение дополнительного преобралования зеркального отражения (относительно координатной плоскости, определяемой векторами тч и уч). 3.3.
Простейшие задачи аналитической геометрии Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, ~ незанные со взаимным расположением точек на плоскости или и пространстве. В первом случае о двух реперах на плоскости говорят, что они имеют одинаковую ориентпацию, а во втором— протпивополозкную. Аналогичную терминологию используют и для пространства. Если начало новой и старой прямоугольных систем координат в пространстве совпадают и изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид: 86 3.
СИСТЕМЫ КООРДИНА Т Векторы и точки. Задача состоит в том, чтобы выразить координаты вектора через координаты точек его начала и конца. Рассмотрим в пространстве нряльоугольную систему координат и вектор А«1 с координатами (1; т; и), у которого известны координаты точек его начала А(х,; у,; «,) и конца В(хь, 'уь;«ь). Обозначим через О начало системы координат.
Тогда координаты точек А и В представляют собой координаты их радиус-векторов ОА и ОМ. Следовательно, О — ОА = = (хь — х; уь — у;«ь — «а) и из соотношения А«1 = 0«1 — ОА ЗаКЛЮЧаЕМ ЧТО (1~ т1 Й) = (ХЬ Х~~ УЬ Уа~ «Ь «а)~ т Е' 1 = хь — х„т = уь — у„в = «ь — «,.
(3.10) В случае прямоугольной системы координат на плоскости координаты вектора А«1 = (1; т) на этой плоскости и координаты точек его начала А(х„у,) и конца В(хь; уь) связаны аналогичными соотношениями (3.11) 1 = ХЬ вЂ” Ха1 ™ — УЬ Уа ° Из (3.10) и (3.11) вытекают правила: — координаты вектора получают вычитанием из координат его конца координат его начала; — координаты конца вектора получают сложением координат вектора с координатами его начала; — координаты начала вектора получают вычитанием иэ координат его конца координат вектора. Деление отрезка в заданном отношении.
Задача состоит в том, чтобы на Данном отРезке МьМ« найти точкУ М, делящую отрезок в заданном отношении: ~МьМ(: ~ММ«~ = р: д. Для точки М из отрезка М1Мэ векторы М1М и ММ« коллинеарны и однонаправлены (рис. З.З). Следовательно, один из них может быть получен из другого умножением на поло- З.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
