III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 7
Текст из файла (страница 7)
< Согласно определению 2.1, скалярное произведение ненулевых векторов а и Ь равно )а~ )Ь~ сов Р. Поэтому его знак определяется углом у между векторами а и Ь: — угол ~р острый: аЬ > 0; — угол Р тупой: аЬ ( 0; — угол ~Р прямой: аЬ = О. Мы видим, что два ненулевых вектора ортогонэльны тогда и только тогда, когда угол между ними прямой. Если один из векторов является нулевым, то скалярное произведение также равно нулю. При этом угол между векторами не определен, 51 2.2.
Скалкрное произведение по, как уже было отмечено, считают, что нулевой вектор ортогонален любому другому. И Скалярное произведение имеет следующие свойства. 1'. Скалярное произведение коммутативно: аЬ = Ьа. < Свойство непосредственно вытекает из определения 2.1, так как, согласно зтому определению, скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей. > 2'. Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: 1Ла) Ь = Л(аЬ). < Если Ь = Π— нулевой вектор, то обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же 6 ~ О, то, используя выражение скалярного произведения через ортогональную проекцию вектора на направление вектора Ь и утверждение теоремы 1.2, получаем (Ла)Ь = 6(Ла) = !Ь/ прь(Ла) = Л ~Ь~ прь а = Л(аЬ). 3'.
Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (а+ Ь)с = ос+ Ьс. < Доказательство аналогично предыдущему. При с = О обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же с ~ О, то удобно выразить скалярное произведение через ортогональные проекции векторов на направление вектора с. Используя теорему 1.2, находим ~а+ Ь)с = /с( про(а+ 6) = !с( (преа+ преЬ) = = /с~ пр,а+ /с/ пр, Ь = ас+ Ьс. Величину аа называют скалярным квадратом вектора а и обозначают аз.
4'. Свойство скалярного квадрата: аз > О, причем аз = О согда и только тогда, когда а = О. 52 г. пкоизвкдкния вкктоков М Действительно, а = аа = )а) )а) сов О = (а(~. Поскольку квадрат длины вектора — неотрицательное число, то неравенство аз ) 0 выполнено всегда. Равенство аг = 0 эквивалентно соотношению ~а~ = О, т.е. тому, что а — нулевой вектор.
Ь Замечание 2.1. Свойства 2'-3' часто объединяют в свойство ламебмостни смаллрмоео ироиэеедемал относительно первого сомножителя. Благодаря коммутативности скалярного произведения (свойству 1') скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. Действительно, а(ЛЬ) = (ЛЬ)а = Л(Ьа) = Л(аЬ), а(Ь+ с) = (Ь+ с)а = Ьа+ са = аЬ+ ас. $ Свойства скалярного произведения часто используют при решении задач. Пример 2.4. Найдем длину вектора а = Зс — 2с1 при условии, что )с) = 5, ф = 4, а угол у между векторами с и д равен 60'. Поскольку ~а~ = х/аг, то, вычисляя скалярный квадрат век1 тора а, находим, что а = (Зс — 2с1)(Зс — 2Ы) = = 9с — 12сд+ 4с~~ = 9)с)~ — 12(с) фсоя~р+4)сЦ~ = = 9 25 — 12 5 4 0,5+4 16= 225 — 120+64= 169.
Следовательно,)а~ = а~аз = 13, Пример 2.5. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 120', а длина стороны АС в три раза больше расстояния между вершинами А и В. Найдем острый угол р между стороной ВС и медианой АМ треугольника. 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ найдем, что 4лг О,бз~/7л~/ГЗ ~/7~/ГЗ и поскольку ~р Е (О,я /2), то Чг = агссое(8/а/911).
ф Пусть векторы а и Ь из 12 заданы своими координангоми в ортонормированном базисе с, у, й: а = (х,; у,; 2,1, Ь = = (хь', уь, '26). это означает, что имеются разложения а =х с+Уаг+лай, Ь=хьс+УЬУ+гьй. Используя их и свойства 1' — 4' скалярного произведения, вычислим аЬ = (х,с+ у,у + хай) (хьс+ уьу + гьй) = = х,хссс+ х.УЫ2'+ хальса+ + Уахьл с+ Уауьуу + Уахьуй+ + ХаХЬ1СС+ хаУЬЬУ'+ саХЬ1Сй = 2 = ХаХ62 +Уауьа + сахбй = ХаХЬ+Уау6+ хась 2 Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса с, у, й означает выполнение равенств су = сй = уй = 0 сг = у 2 = йг = 1.
Таким образом, (2.9) аЬ = х,хь+ у,уь+ сась, т.е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат. Из теоремы 2.1 и формулы (2.9) получаем следующий критпериб ортпоеональности веккьоров а и Ь: (2.10) хахь + Уауь+ сахь = 0 Вспомним, что, согласно определению 2.1 скалярного произведения, аЬ = )а! )Ь|сое~р, 55 2.2.
Скалярное произведение где ~р = (е,Ь) — угол между векторами а и Ь. Зная, как оыражается скалярное произведение и длины векторов через их координаты в ортонормированном базисе, можно вычислить и косинус угла между ненулевыми векторами. Действительно, исходя из формулы аЬ сов<р = —, ~а~ )Ь! ' получаем Хахб+ Уауб+ Халб (2.11) совко†~за'Ге~Р6у'+*' В случае, когда и,Ь Е $~~ и известны координаты этих векторов в ортонормированном базисе г, 2: Ь = Х6$+ У62', а = х,в+У,у, справедливы формулы, аналогичные (2.9Н2.11): для вычисле- ния скалярного произведения ОЬ = ХаХ6 + Уау6 ~ (2.12) для критерия ортогональности х,х6+ УаУ6 = 0 и для косинуса угла между ненулевыми векторами а, Ь ХаХ6+ Уауб сов(а,Ь) = /х~+уз /хз+уз Пример 2.6.
Найдем значения параметра ~, при которых векторы а = (6; 1 — С; 7) и Ь = (6+ 1; 2; — 2), заданные своими координатами в ортонормированном базисе, ортогональны. Используя критерий (2.10) ортогональностн векторов, получаем уравнение ф + 1) + 2(1 — Е) — 14 = 0 относительно параметра ~. Решая это квадратное уравнение, находим, что лишь при 1 = — 3 и 1 = 4 данные векторы ортогопзльны.
5б г. ПРОИЗНЯДЯНИЯ ВККтОРОН 2.3. Векторное произведение Векторное произведение вводится для двух венгворов из Уз. Оно опирается на следующее понятие. Определение 2.2. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов а, Ь,с называют правой, если направление вектора а совмещается с направлением вектора Ь при помощи кратчайшего поворота вектора а в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.
Так как три некомпланарных вектора образуют базис в Уз, то также говорят о правые и левыв баэисаэ. Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е. все базисы в Уз разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс, к которому относится фиксированный базис, называют его ориеннзаиией. Определение 2.3. Векпюрным произведением векторов а и Ь называют такой вектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям. 1.
Вектор с вргвогонвлен векторам а и Ь. 2. Длина вектора с равна [с! = [а[[Ь|в1п~р, где ~р — угу)д между вентиорвми а и Ь. 3. Упорядоченная тройка векторов а,Ь,с является правой (рис. 2.2). Векторное произведение векторов а и Ь далее будем обозначать ахЬ,хотя в литературе встречается и обозначение [а,Ь). Если векторы а и Ь ноллинеарны,то условие 3 в определении 2.3 теряет смысл, так как тройРнс.
2.2 ка векторов будет компланарни. 2.3. Векторное пронзпеденне Ь7 Однако при этом, согласно условию 2 определения, длина векторного произведения должна равняться нулю. Это однозначно определяет векторное произведение как вектор, равный нульпекшору. Поэтому дополним определение 2.3, полагая, что векторное произведение двух коллинеарных векторов есть нуль- вектор. В это дополнение входит и случай, когда хотя бы один из двух векторов является нулевььн, так как в этом случае эти два вектора коллинеарны. Векторное произведение используют, например, в механике. Так, момент силы лт, при— ю.
ОМхУ ложенной к точке М, относительно некоторой точки О равен ОЛтхЕ (рис. 2.3). Однако роль „-" ','л' векторного произведения выходит далеко за рамки его механи- Рнс. 2.3 ческой интерпретации. Свойства векторного произведения можно разделить на две категории: геометрические и алгебраические. Рассмотрим первую категорию — геометрические свойства.
1'. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору. ~ Необходимость следует из приведенного выше обсуждения определения 2.3 векторного произведения в случае коллинеарных сомножителей. Докажем достаточность. Если ахЬ= О, то )ахЬ~ = О, т.е. ~о~ )Ь|в1п р = О, где ьо — угол между векторами а и Ь. Но тогда выполнено, по крайней мере, одно из трех равенств: рз( = О, (Ь| = О или яп~р= О. Однако каждое из этих равенств влечет коллинеарность векторов а и Ь. ~ь 2'. Если векторы а и Ь неколлинеарны, то модуль ~охЬ| их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис.
2.4). 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕНТОРОВ й Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведен ия и площадь параллелог рам ма по двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной и той же формуле как произведение длин а векторов (сторон параллелограмма) Рис. 2.4 на синус угла между ними. ~ 3'. Если ненулевые векторы а и Ь ортогональны, то для геометрического построения вектора ахЬ достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору Ь, повернуть вектор а на 90' вокруг вектора Ь по ходу часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Ь),а затем умножить повернутый вектор на число |Ь|. ~ Действительно, так как векторы а и Ь ортогональны, их векторное произведение есть вектор, ортогонэльный и а, и Ь, который по модулю равен |а||Ь|.
Векторы Ь а и ахЬ лежат в плоскости, перпендику- лярной вектору Ь. Поэтому мы можем о получить вектор ахЬ поворотом векто- ра а вокруг вектора Ь на прямой угол с Р последующей корректировкой длины при, 90 помощи умножения на число |Ь|. Так ко тройка векторов а, Ь, ахЬ, по опреде~ ь лению векторного произведения, является правой, поворот должен выполняться по Рис. 2.5 ходу часовой стрелки (рис. 2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
