III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямбда" мю" и ню". П 11 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1.1. Векторные и скалярные величины В прикладных науках оперируют величинами различного характера. В качестве примера обратимся к величинам, встречающимся в физике и механике. Такие величины, как массу и объем, характеризуют количественным значением, которое по отношению к некоторому эталону (единице измерения) задают действительным числом. Поэтому их называют скалярными. Напротив, скорость, ускорение, сила характеризуются не только количественным значением, но и направлением.
Их называют векторными величинами. Скалярные и векторные величины не исчерпывают всех возможных вариантов. Например, свойства кристаллических тел передавать теплоту и деформироваться под действием нагрузки не удается описать при помощи скалярных и векторных величин. Для таких свойств в физике и механике используют более сложные тенэорные величины.
Перейдем к строгим определениям и понятиям. Определение 1.1. Геометприческим вектпором (также направленным отнреэком) называют любой отрезок, на котором выбрано одно из двух возможных направлений (рис. 1.1). Любой отрезок однозначно определяется своими концами, поэтому одно из двух возможных направлений для данного отрезка можно задать, указав порядок концов, т.е. от какого конца отрезка надо начать движение в заданном направлении, для того чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в его другой 14 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ конец.
Это позволяет определить геометрический вектор просто как упорядоченную пару точек: первую точку в паре называют началом геомекзрнческого веккзора, а вторую— его концом. Начало геометрического В вектора называют также кзочкоб его нрнлоэкенил. Обозначение геометрических векто- ров отражает указанную интерпрета- А цию: если точка А является началом геометрического вектора, а точка В— Рис. 1.1 его концом, то геометрический вектор обозначают АВ или АМ. Второе обозначение явно подчеркивает, от какого конца отрезка к какому происходит движение в заданном направлении. В первом варианте направление определяется порядком букв, обозначающих концевые точки, а черта сверху предназначена для выделения геометрических векторов среди других геометрических объектов.
Важной характеристикой геометрического вектора АВ является его модуль, или длина, ~АВ~, равный длине )АВ) отрезка, соединяющего его начало А и конец В. Длина геометрического вектора может выражаться любым неотрицательным числом. Геометрический вектор называют ненулевым, если его длина положительна. Длина, равная нулю, соответствует ситуации, когда начало и конец геометрического вектора совпадают. В этом случае геометрический вектор называют нулевым или нуль-веккзором и обозначают О. Если длина геометрического вектора равна единице, его называют ортом или еднннчным. Для нуль-вектора понятие направления теряет смысл, так как начало и конец у него совпадают.
Однако такому геометрическому вектору удобно приписать произвольное направление, которое устанавливают в зависимости от конкретной ситуации. 15 К2. Типы векторов н нх взаимное расположение 1.2. Типы векторов и их взаимное расположение Определение 1.2. Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой' или на параллельных прямых. Про пару коллинеарных геометрических векторов иногда говорят, что один из них коллинеарен другому. Все пары коллинеарных геометрических векторов можно разделить на две группы: — однонаправленные (или сонаправлекные) коллинеарные ееометпрические векторы, имекицие совпадающие направления; — противополозкно направленные коллинеарные геометрические векторы, имеющие противоположные направления.
Если коллинеарные геометрические векторы АЯ и СР не лежат на одной прямой, то точки А, В, С и Р образуют четырехугольник, который является трапецией (рис. 1.2). В случае однонаправленных геометрических векторов отрезки АС и ВР, соединяющие соответственно два начала векторов и два их конца, определяют боковые стороны трапеции 1рис. 1.2, и). Если же зти геометрические векторы противоположно направленные (рис. 1.2, б), то отрезки АС и ВР являются диагоналями трапеции. По определению считаем, что нуль-вектор коллинеарен любому другому.
Определение 1.2 распространяется очевидным образом на любое число геометрических векторов. Определение 1.3. Три геометрических вектора называют компланарными, если зти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости. 1 Говоря, что геометрический вектор лежит на прямой, мм подразумеваем очевидную ситуацию, когда начало н конец вектора лежат на этой прямой. 1б ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ с а В А Рнс. 1.2 Это определение теряет смысл, если его сформулировать для двух геометрических векторов, потому что любые два геометрических вектора лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.
Однако можно говорить о четырех компланарных геометрических векторах или об их большем числе. Определение 1.4. Два геометрических вектора называют ров кыми, если: — они коллинеарны и однонаправлены; — нх длины совпадают. В соответствии с определением 1.4 равные геометрические векторы могут иметь различные шочки приложения, но задают одно и то же направление и имеют одинаковые длины.
В этом случае, т.е. когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный веккзор. Термин подчеркивает, что точка приложения геометрического вектора может меняться произвольно. В дальнейшем для удобства свободные векторы мы будем называть просто векторами. Векторы обозначают одной строчной буквой с дополнительной чертой или стрелкой вверху: а или а . Распространенным является также обозначение вектора полужирным шрифтом а, которое в дальнейшем мы и будем использовать. Разный характер действия векторов в прикладных задачах приводит к необходимости рассматривать другие типы век- 17 !.2. Типы еекторои и их взаимное расположение торов.
Например, вектор угловой скорости и вектор силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно перемещать только вдоль прямых, на которых они находятся. Такие векторы называют скользяилими вектпорами. Наконец, геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще связанными вектпорами. К ним относятся скорости в потоке жидкости илн газа.
Пример 1.1. В зависимости от учета тех илн иных конкретных условий одну и ту же векпьорную величину иногда удобно рассматривать как свободный, скользящий или связанный вектор. Например, вектор ускорения земного притяжения является связанным вектором, поскольку его модуль и направление зависят от расположения точки приложения относительно центра Земли. Поэтому прн расчете траектории полета, например с Земли на Луну, его считают связанным вектором. Однако в задаче о движении снаряда при стрельбе на небольшую по сравнению с радиусом Земли дальность изменения вектора ускорения земного притяжения вдоль траектории снаряда незначительны и его принимают постоянным по модулю и направленным вертикально вниз, т.е.
считают свободным вектором. Учет кривизны поверхности Земли приведет к необходимости считать этот вектор уже скользящим, т.е. постоянным при перемещениях лишь вдоль радиуса к центру Земли. Замечание 1.1. Многие понятия, связанные с геометрическими векторами, переносятся н на свободные векторы. Так, говорят о начале (тпоике приложения) вектпора, конце вектпора, модуле (длине) вектпора.
Различают векторы ненулевые (включая единичные, или ортпы) н нулевые (нуль-вектпоры), векторы коллинеарные и вектпоры компланарные. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными (сонаправленными) и протпивополозкно направленными. 18 ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕИТОРАЛ4И 1.3. Линейные операции и их свойства Над векторами можно выполнять различные операции. Свойства этих операций определяют правила преобразования выражений, содержащих векторные величины.
Эти правила и составляют предмет веккаоркой алгебры. Обсуждение векторных операций начнем с двух из них— сложения векторов и умножения вектора на число. Эти операции часто объединяют общим термином линейные окераиии. Определение 1.5. Суммой а+Ь двух вектпоров а и Ь называют вектор с, построенный по следующему правилу параллелограмма. Выбрав для векторов а и Ь общее начало, строим на этих векторах параллелограмм.
Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму 1рис. 1.3). Замечание 1.2. Наряду с правилом параллелограмма существует равносильное ему правило кареугольника. Совместим начало вектора Ь с концом вектора а. Тогда суммой этих векторов будет вектор с, начало которого совпадает с началом а, а конец — с концом Ь 1рис.
1.4). Отметим, что если векторы а и Ь коллинеарны, то их сумму по правилу параллелограмма определить нельзя, а правило треугольника в этом случае применимо. Рис. 1.3 Рис. 1.4 19 1.3. Линейные операции и их свойства Замечание 1.3. В определении 1.5 существует произвол в выборе точки приложения вектпоров. Чтобы определение было корректным, надо убедиться, что результаты, получаемые с различными точками приложения, равны между собой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
