III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 8
Текст из файла (страница 8)
> Для геометрического построения векторного произведения в общем случае нам потребуется следующее понятие. Проекцией прка вектора а = А8 ка плоскость я назовем вектор, соединяющий ортогональные проекции на плоскость я начала А и конца В вектора а (рис. 2.б). Напомним, что ор'- тоеокалькой проекцией тонки иа плоскоспзь называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 59 3.3.
Векторное произведение Проекция вектора на плоскость сохраняет свойства проекции вектора на прямую: проекция суммы векторов равна сумме их проекций, при умножении вектора на число его проекция на плоскость умножается на это число. Рис. 2.6 4'. Пусть я — плоскость, перпендикулярная вектору Ь. Тогда ахЬ = (пр а) хЬ. < На рис.
2.7 векторы а, Ь и а' = пр а изображены с общим началом в некоторой точке плоскости я. Прежде всего отметим, что ь эти векторы компланарны, так как направление вектора Ь и пери У пендикуляр нэ конца а на плоскость н параллельны. Поэтому векторы ахЬ и (пр„а) хЬ коллинеарны, так как они перпендику- Рис. 2.7 лярны плоскости, параллельной векторам а, Ь и прка. Более того, векторы ахЬ и (прка)хЬ однонаправлены.
Поэтому они равны, если равны их длины. Проверим равенство длин: ~ахЬ| = ~а~)Ь~е1п~р, )(пр а)хЬ|= )пр а)~Ь|. Но ~пр а! = (а~в1пу, значит, длины совпадают. ~ 5'. Чтобы геометрически построить векторное произведение векторов а и Ь, надо, совместив их начала, спроектировать вектор а на плоскость я, перпендикулярную вектору Ь. Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору Ь, повернуть вокруг вектора Ь на угол 90о по ходу часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Ь) и результат поворота умножить на число ~Ь~. бО 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ < Сформулированное свойство непосредственно вытекает из свойств 3' и 4'. ~ Алгебраические свойства векторного произведения используют при преобразовании выражений, в которые входят векторные величины.
Важнейшими алгебраическими свойствами являются следующие три: — свойство антикоммутативности ахЬ = — Ьха; — свойство ассоциативности совместно с умножением на число (Ла) хЬ = Л(ахЬ); — свойство дистрибутивности относительно сложения (а + + Ь) х с = а х с+ Ь х с. < Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы а и Ь коллинеарны, то в обеих частях равенства ах Ь = — Ьх а в соответствии со свойством 1' стоит нулевой вектор. Если же векторы а и Ь неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны. В силу первого условия определения 2.3 векторного произведения векторы ахЬ и Ьха перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны. Ясно, что и длины векторов ахЬ и Ьха равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2').
Остается доказать, что векторы схЬ и Ьха имеют противоположное направление. Это следует из того, что если тройка векторов с,й,охЬ правая, то тройка Ь,п,ахЬ вЂ” левая. Поэтому, заменив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторов Ь,а,— ахЬ, причем вектор — схЬ коллинеарен вектору Ьха и имеет ту же длину. Согласно определению 2.3, это означает, что вектор — ихЬ равен векторному произведению векторов Ь и а, т.е. ах 6 = — Ьха. Свойство ассоциативности доказывается аналогично.
В случае коллинеарных векторов а и Ь, а также при Л = О векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ) равны нуль-вектору, поскольку каждый из них является или векторным произведением коллинеарных 3.3. Векторное нроиэведение векторов, или произведением вектора на число, равное нулю. Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство (Ла) хЬ = Л(а хЬ) выполнено. Предположим теперь, что векторы а и Ь неколлинеарны, а Л ~Е О. Покажем сначала, что в левой и правой частях доказываемого равенства стоят коллинеарные векторы, равные по длине. Действительно, если считать, что векторы а, Ь и Ла имеют общее начало, то пары а, Ь и Ла, Ь неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярны их векторные произведения ахЬ и (Ла) хЬ.
Поэтому векторы Л(ахЬ) н (Ла)хЬ коллинеарны. Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так как ~Л(ахЬ)! = ~Л) ~ахЬ| = ~ЛЙа( ~Ь|в1п ~р, где у — угол между векторами а и Ь, а ~(Ла)хЬ~ = ~Ли~(Ь)з1п4 = (Л~~а~~Ь~яп4 = ~Л~ ~ее!~Ь~в!п~р, где ф — угол между векторами Ла и Ь и использовано равенство е1пф = я~в~о, выполненное при всех Л ~ О. Два коллинеарных вектора, равные во длине, либо совпадают, либо являются противоположными друг другу. Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, что векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ) являются однонаправленными. Если Л ) О, то векторы а и Ла однонаправлены.
Следовательно, векторы (Ло) хЬ н ахЬ тоже являются однонаправленными. А поскольку векторы ахЬ, Л(ахЬ) тоже однонаправлены, то однонаправлены и векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ). Если Л ( О, то векторы а н Ла являются противоположно направленными. Следовательно, векторы (Ла)хЬ н охЬ тоже являются противоположно направленными. Умножение вектора етхЬ на отрицательное число Л меняет его направление на противоположное.
Поэтому векторы (Ла)хЬ н Л(ахЬ) имеют одинаковое направление. г. произккдкния кккторок Остановимся на доказательстве свойства дистрибутивности'. Если с=О, то равенство является очевидным, так как и слева, и справа будут стоять нулевые векторы. Поэтому этот случай далее не рассматриваем и полагаем, что с ф О. Мы также можем считать, что ~с~ = 1, так как равенство в общем случае (а+ Ь) хс = ахс+ Ьхс при помощи свойства ассоциативности легко преобразовать к форме (с((а+Ь)хс =~с~ахс+~с)Ьхс~, с = —, )с( т.е. к частному случаю тройки векторов а, Ь, с', для которой (с'! = 1. Итак, пусть ~с~ = 1.
Вспомним геометрическое свойство 5' (см. с. 59), дающее геометрическую интерпретацию произведения двух векторов. При нашем дополнительном условии ~с~ = 1 преобразование произвольного вектора х в векторное произведение жхс происходит за два шага: проектирование ж на плоскость я, перпендикулярную вектору с, и поворот проекции в этой плоскости на прямой угол. Согласно свойству 4' векторного произведения (см. с.
59), получаем (а+ Ь) хс = (пр (а+ Ь)) хс = (пр а+ пр Ь) хс, ахс+Ьхс= (пр а)хс+(пр Ь)хс, и нам остается показать, что (пр а+пр Ь)хс= (пр а)хе+(пр Ь)хс. 1 Следующее далее доказательство опирается на геометрическое представление векторного произведения и в этом смысле достаточно наглядно, так как в нем в основном используются понятия элементарной геометрии. Далее будет приведено и другое доказательство, более короткое, но и более формальное (см.
2.4). 63 2.3. Векторное произведение Обозначим а'= пр а, Ь'= пр Ь. Согласно свойству 5', векторное умножение этих векторов на вектор с заключается в их пшюроте на прямой угол в плоскости я. Согласно правилу па- с раллелограмма, сумма повернутых векторов получается из сум- / / мы исходных а + Ь поворотом -;:, .;,.';, . '+Ь ' па прямой угол, или, другими ~ ловами, умножением на вектор Рис.
2.8 г (рис. 2.8). В Замечание 2.2. Доказанные свойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство лимейиосепи вемтпорноео произведении относительно первого сомножителяя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно еторого сомножителя: ах(ЛЬ) = — (ЛЬ)ха= — Л(Ьха) =Л(ахЬ), ах(Ь+ с) = — (Ь+с) ха = — (Ьха+сха) = ахЬ+ахс.
Пример 2.7. Найдем площадь Я треугольника, построенного па векторах а = Зс — 2д и Ь = с+ И при условии, что )с( = 1, ~<1~ = 4, а угол ~р между векторами с и ее' равен 30'. Для решения задачи воспользуемся формулой 5 = 0,5 (ахЬ|. Используя алгебраические свойства векторного произведения, находим, что ахЬ = (Зс — 2с1) х(с+ И) = Зсхс+ Зсхд — 2йхс — 2с1 хЙ = = Зсхд+ 2схе1 = 5схд. И оэтому ц — 05(бехера =2,5(~1! ! 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ЗХг = — Й, Йху = — ь, йХ1с = — У.
гху =Й, ЗХЙ =ь', ЙХг =у, (2.13) В екторные произведения базисных векторов на себя не приведены, так как все они равны нуль-вектору. Таблицу произведений (2.13) удобно трактовать как правило циклической перестановки: произведение двух базисных векторов равно третьему, причем знак плюс выбирается, если тройка векторов (первый сомножитель, второй сомножитель, произведение) получается у из исходного базиса ь, 3, Й циклической перестановкой.
На рис. 2.9 этот порядок соответствует движению против хода часовой стрелки. При движении на рис. 2.9 от первого сомнол жителя ко второму по ходу часовой стрелки в правых частях соответствующих равенств (2.13) появляется знак минус. Рассмотрим два вектора а и Ь, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе ь, у, Й: а = =1х„у,;х,), Ь =1хь', уь', гь). Тогда имеют место разлохсенил этих векторов Рис. 2.в а=х,а+у,у+я,Й, Ь=хьь+уьз+хьЙ. Алгебраические свойства позволяют вычислить векторное произведение через координаты векторов и векторные произведения векторов, образующих базис. Наиболее просто соответствующие формулы выглядят в ортонормированно.и базисе. Рассмотрим правый ортонормированный базис ь, у, Й.
Векторные произведения всевозможных пар векторов базиса (всего 9 пар) выглядят следующим образом: 2.3. Векторное произведение Исходя из этих представлений и алгебраических свойств век- торного умножения, получаем сьхЬ = (х,ь+ У,т+ яаЙ) х(хьй+ Уьу+ хьЙ) = = ЯаХЬЙХ3+ ЯаУВЙХ3 + ХаЗЬйХ Й+ + УаХЬа ХЬ+ УаУЬЭ ХЯ + УаЮЬ3 ХЙ+ + кааЬЙхй+ ааУЬЙХЯ + ЮаЗЬЙХЙ = (УаЗЬ УЬ ма)Ь+ (ЗаХЬ ЗЬЗа)2 + (ХаУЬ ХЬУа) Й Уа за ма за за Уа Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разлолсенил определителя третьеео порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
