III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 15
Текст из файла (страница 15)
рис. 4.6). Проекция пр„ОЛ$ совпадает со скаллрнь м произведением векторов ОХ~ и и, так как длина нормального вектора ть равна единице, и это приводит к равенству ОЛ1п = р. Записав скалярное произведение ОЛ$п в координатах, получим уравнение прямой Ь в виде 14Л)) х соя~р+ уя)п ~р — р = О. 4.3. Вэанмное расположение двух прямых Уравнение 14.9) называют нормальным уравнением арлм<эб. Параметрами в этом уравнении являются угол <р между »нрмальным вектором прямой и осью Ох и расстояние от на»»ла системы координат до прямой.
Общее уравнение прямой ах+ Ьу+ с = 0 можно преобрантать в ее нормальное уравнение делением на нормирующий множитель ~х/па+ Ьз, знак которого выбирается противопоенкным знаку с. По абсолютной величине нормирующий множитель представляет собой длину нормального вектора (а; Ь) примой, а выбор знака означает выбор нужного направления из лнух возможных.
Если с = О, то прямая проходит через начало »а <рдинат (р = 0). В этом случае знак нормирующего множич ля можно выбирать любым. Пример 4.2. Для получения нормального уравнения прямой из ее общего уравнения Зх — 4у+ 10 = 0 вычисляем нормирующий множитель ~х/пз+Ьз, который для данной прямой трицателен и равен — х/3з+ 4з = — 5. Поэтому нормальное ур»»пение прямой имеет вид 3 4 — — х+ — у — 2=0. 5 5 П данном случае имеем р = 2, соа<р = — 3/5, а1п р = 4/5, а агссоа( — 3/5). 4.3.
Взаимное расположение двух прямых <!фиксируем на плоскости прямоугольную систему координат. Две прямые на плоскости могут быть параллельными пли пересекаться. Пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными. Какая из этих возможностей реализуется для »рямых Ь1 и Ьз, всегда можно выяснить с помощью их общих ярппнений Ь|. а~х+Ь1у+с1 — — О, Ьз. азх+Ьзу+сз = О. 112 а пРямАя НА ПЛОСкОсти Действительно, для параллельности прямых 1,! и Ьг необходн мо и достаточно, чтобы были коллинеарными их нормалькьн вскп2оры п! — — (а1,' Ь!) и пг — — (аг, 62), а коллинеарность век'!х ров равносильна пропорциональности их координат.
Поэтому а! 6! х'1 !! с'г аг Ьг (4.10) Так как последнее равенство преобразуется в соотношснн а!62 — а26! = О, то полУченное Условие паРаллельности ДнУх прямых можно записать при помощи определителя второ. и порядка: а! аг ! 2 (4.1 П Прямые 1,! и Ьг перпендикулярны тогда н только то гда, когда ортогональны их нормальные векторы. Услов!и ортогональности нормальных векторов и, = (а1,6!) и иг = (аг, 62) эквивалентно равенству нулю их скалярного пров.! ведения п!иг = О, т.е., согяасно (2.12), условию а! аг + "! 62 = О.
(4.!2) 2 Два смежных угла в сумме дают 180'. И условие параллельности, и условие перпендикулярности можно записать через угловые коэффициенты пр мых. Длв этого необходимо выразить угловые коэффициенты прямых через коэффициенты их общих уравнений: !с! — — — а!/61, Йг = — аг/62. Эти выражения позволяют записать условия (4.10) и (4.12) следующим образом: — условие параллельности: к! = Ьг; — условие перпендикулярности: !с! !сг —— — 1. Две пересекающиеся прямые Ь! и 1,2 образуют два смежныхг угла. Один из этих углов совпадает с углом меясдд нормаль ными векторами.
А угол между двумя векторами можно вы. числить при помощи скалярного произведения. Отметим, что 4.4. Расстояние от точки Ло прямой косинусы двух смежных углов различаются знаками, так как ов(п — <<о) = — сову. При этом положительное значение ко~пнув соответствует острому углу.
Значение <р 1меньшего из углов м< жду прямыми 1,| и 1г) вычисляется согласно формуле ~гь<тьг) )а<аг+6|Ьг( <ть<~<тьг~ Я+Ьг~/ага+6 Угол между прямыми можно также выразить через угловые коэффициенты прямых. Этот угол представляет собой разность углов наклона прямых. Если <с< —— 181р< и 1сг — — 1Н«ог— угловые коэффициенты прямых Ь< и Ьг, то 1<1 ьг 18Р= сфр, — Рг) = 1+ ЬФг' Приведенная формула учитывает не только значение угла, но и направление поворота вокруг точки пересечения прямых, при котором прямая 1,г совмещается с прямой 1,|. Прямую 1,г можно поворачивать как по ходу часовой стрелки, так и в противоположном направлении.
Два возможных угла поворота (без учета знака) в сумме равны 180'. Значение острого угла поворота с учетом его направления определяется по формуле й< — йг <и = агс18 1+ й,йг' 4.4. Расстояние от точки до прямой Для вычисления расстояния от данной точки М до прямой 6 можно использовать разные способы. Например, если на прямой 1, взять произвольную точку Мо, то можно определить < ртпогональную проекцию вектора Мп<<<'~ на направление нор.мального вени<ори прямо<1. Эта проекция с точностью до знака и есть нужное расстояние.
Другой способ вычисления расстояния от точки до прямой основан на использовании нормального уравнения прямой. 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 114 р(М,7 ) = Я = ~хсов<р+ув1п р- р~. Учитывая приведенную выш< Рис. 4.7 процедуру преобразования оби<еео уравнения прямо<1 в ее нормальное уравнение, получаем формулу для расстояния от точки М(х;у) до прямой 7., заданной своим общим уравнением: р(М,Ь) = (4.13) Пример 4.3. Найдем общие уравнения высоты АН, медианы АМ и биссектрисы АР треугольника АВС, выходящих из вершины А. Известны координаты вершин треугольника А(-1; -3), В(7; 3), С(1; 7).
Пусть прямая 7, задана нормальным уравнением (4.9). Если точка М(х;у) не лежит на прямой 7,, то ортогональная про екция пр„0<<7 радиус-вектара точки М на направление единичноео нормального вектора п прямой <' равна скалярному произведению векторов О<<я' и и, т.е. хсов<р+ув<п<р. Эта ж< проекция равна сумме расстояния р от начала координат до прямой и некоторой величины 6 (рис.
4.7). Величина 6 по аб солютной величине равна расстоянию от точки М до прямой, При этом 6 ) О, если точки М и О находятся по разные стороны от прямой, и 6 ( О, если эти точки расположены по одну сторону от прямой. Величину 6 называют отпклонением епочки М оп1 прямой. Отклонение 6 для точки М(х;у) от прямой Ь вычисляется как разность проекции пр„ОХ~ и расстояния р от начала ко ординат до прямой (см. рис.
4.7), М т.е. 6 = хсов<р+уедп<р — р. По этой формуле можно получить и расстояние р(М,Ь) от точки М(х;у) до прямой Ь, заданной нормальным уравнением: 115 4.4. Расстояние от точки до прниой !!режде всего уточним условие примера: под указанными ~ равнениями подразумевают уравнения прямых Ьди, Ьдм и I ць па которых расположены соответственно высота АО, и диана АМ и биссектриса АВ указанного треугольника |! иг.
4.8). '!тобы найти уравнение прямой Ьдм, воспользуемся тем, ч г~| медиана делит противоположную сторону треугольника пав|лам. Найдя координаты (х1, у1) середины стороны ВС х1 = !7+1)!2=4, д, = (3+7)!2= 5, записываем уравнение для I,ам в виде уравнения прямой, проходящей через дее точки, х+1 у+3 4+1 5+3 !! иле преобразований получам бщее уравнение медианы А Рис. 4.8 8х — 5у — 7 = О. Чтобы найти уравнение высоты Йдп, воспользуемся тем, что высота перпендикулярна противоположной стороне треугольника. Следовательно, вектор ВИ перпендикулярен вы- оте АН и его можно выбрать в качестве нормального вектора прямой Ьдо.
Уравнение зтой прямой получаем из (4.1), под~ тавляя координаты точки А и нормального вектора прямой !ли: ( — б)(х+ 1) +4(у+3) = О. !!осле преобразований получаем общее уравнение высоты Зх — 2у-3 = О. Чтобы найти уравнение биссектрисы БА4з, воспользуемся п м, что биссектриса АО принадлежит множеству тех точек 116 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ М(х; у), которые равноудалены от прямых 1,АЯ и ЬАс.
Уравне- ние этого множества имеет вид (4.14) РР~ АГАВ) = РР~|ьАС)~ и оно задает две прямые, проходящие через точку А и делящие углы между прямыми ЬАн и ЬАс пополам. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, найдем общие уравнения прямых ЕАН и ЬАС. х+ 1 у+3 ьАС 1+1 7+3 х+1 у+3 7+1 3+3' После преобразований получаем 7Ав. 'Зх — 4у — 9=0, ЬАпс 5х — у+2=0. Уравнение (4.14) с помощью формулы (4.13) для вычисления расстояния от точки до прямой запишем в виде ~Зх — 4у — 9~ (5х — у+ 2! Преобразуем его, раскрыв модули: 5х — у+2 Зх — 4у — 9 = ~5 ~/266 В итоге получим общие уравнения двух прямых (3 ~ 25/ъ'266) х + ( — 4 ~ 5/~/266) у + ( — 9 ~ 10/~/266) = О. (3 — 25/~/266)х+ ( — 4+ 5/~/266)у+ ( — 9 — 10/~/266) = О.
Чтобы выбрать из них уравнение биссектрисы, учтем, что вершины В и С треугольника расположены по разные стороны от искомой прямой и поэтому подстановки нх координат в левую часть общего уравнения прямой ЬАп должны давать значения с разными знаками. Выбираем уравнение, соответствующее верхнему знаку, т.е. 117 Вопросы и задачи Нодстановка координат точки В в левую часть зтого уравнения дает отрицательное значение, поскольку (3 — 25/~/266)7+ (-4+ 5/~/266)3+ ( — 9 — 10/ъ'266) = = 21 — 12 — 9+ (-175+ 15 — 10)/~/26 6= — 170/~/266, и такой же знак получается для координат точки С, так как (3 — 25/~/266) 1+ ( — 4+ 5/~/266) 7+ ( — 9 — 10/~/266) = = 3 — 28 — 9+ (-25+ 35 — 10)/~/26 6= — 34 ( О.
Следовательно, вершины В и С расположены по одну сторону прямой с выбранным уравнением, а потому уравнением биссектрисы является (3+ 25/~/266) х + ( — 4 — 5/~/266) у+ ( — 9+ 10/~/266) = О. Вопросы и задачи 4.1. Найти общее уравнение прямой: а) проходящей через начало системы координат; б) параллельной оси абсцисс (ординат).
4.2. Выяснить расположение точек А(2; — 1), В(8;19) и С(7; 17) относительно прямой х = 1+ (, у = — 2+ 3(. 4.3. Найти точку пересечения прямых х = 2+ (, у = — 4 — 2( и Зх + 5у — 7 = О. 4,4. Найти координаты точки, симметричной точке А(З; 7) относительно прямой: а) х = — 2 — (, у = 4+(; б) 2х — 5у+5 = О. 4.5. Найти координаты точки пересечения высот треугольника с вершинами в точках А(3; — 4), В( — 5; 10) и С(6; 4). 4.6. Луч света, вышедший из точки А(1;4), прошел на одинаковом расстоянии от точек В( — 2;6) и С(7;3). Найти уравнение его траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
