III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Но среди всех уравнений, описывающих данную алгебраическую поверхность (кривую на плоскости), есть уравнение наименьшего порядка. Определение 3.6. Минимальный порядок уравнения, описывающего алгебраическую поверхность (алгебраическую кривую на плоскости) в прямоугольной системе координат, называют пор*дком этой пов ерхностпи (кривой). Отметим, что наиболее распространенные кривые на плоскости (прямые и окружности) и поверхности в пространстве (плоскость, сфера, конус), которые изучаются в курсе школьной геометрии, являются алгебраическими порядка 1 или 2. Кривая в пространстве может рассматриваться как линия пересечения двух поверхностей.
Описывая каждую из поверхностей при помощи уравнения в одной н той же системе координат, например г1(х,у,х) = О, Ря(х,у,г) = О, задают и линию пересечения этих поверхностей системой двух уравнений Р1(х,у,х) = О, Гз(х,у,х) = О. Кривые на плоскости или в пространстве можно описывать и другими способами. Так, кривую можно рассматривать как 95 3.5. Кривые и поверхности враекторию движущейся точки и описывать, задавая координаты точки как функции времени.
Мы приходим к системе трех уравнений Кривая на плоскости может быть описана аналогичной системой двух уравнений. Такие системы называют параметрическими уравнениями кривой, а переменное 1 — параметром (И]. Его содержательный смысл (время) не является существенным, ла и происхождение параметра может быть различным — не только исходя из механической интерпретации кривой как траектории движения. Если удается исключить параметр из системы (3.15), то получается система двух уравнений, которая характеризует кривую в пространстве как пересечение двух поверхностей. Возможен и обратный переход, при котором в систему двух уравнений вводят дополнительный параметр так, чтобы новая система могла быть представлена в виде (3.15).
Пример 3.4. Кривую в пространстве, заданную системой двух уравнений х +уз — хз=О, х †я+1, можно задать параметрически. Для этого исключаем из первого уравнения переменную г и получаем хз+уз — (1+х)~ = 0 пли уз = 2х+ 1. Решая последнее уравнение относительно х, приходим к системе двух уравнений, эквивалентной исходной: р'-1 х=— 1 2 уз х= 2 3.
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Остается ввести параметр, положив $ = у, и записать параме трические уравнения рассматриваемой кривой: $ — 1 х=— 2 Поверхность в пространстве может быть также задана параметрическими уравнениями, но параметров в этом случае должно быть два. Пример 3.5. Сфера радиуса В с центром в начале координат описывается параметрическими уравнениями х = Всоздсозу, у= Всоейя1пуг, «=Вн1пд, в которых параметр д соответствует географической широгч на поверхности Земли, а р — географической долготе. Пара метры должны изменяться в пределах ~й~ < я/2, — я < Р < я.
3.6. Полярная система координат Кроме прямоугольной системы координат на плоскости ча сто используют полярную сиен«ему координапг, которая полностью определяется упорядоченной парой несовпадающих точек О и 01. Первую из них— точку Π— называют полюсом полярной систпемы координапх. Из полюса в направл< нии второй точки 01 проводят луч Ор, называемый полярной Рис. 3.4 осью 1рис. 3.4). 97 3.6. Полярная система координат Расстояние между точками О и Оь выбирают в качестве диннцы масштаба.
Ясно, что полюс полярной системы коцьдинат О, ее полярная ось ь' и установленная единица масштаба однозначно определяют на плоскости положение точки Ог. Поэтому выбор этой тройки геометрических объектов ча- то рассматривают как выбор конкретной полярной системы координат. Положение точки М в полярной системе координат фиксируется расстоянием р между точкой М и полюсом О, назыпаемым гьоллрнььм радиусом, и углом уь между полярной осью и вектором ОЛь — гьоллрным узлом.
Полярный радиус и полярный угол составляют гьоллрные ьсоординаггььь гььочььи М па плоскости, которые записывают так: М(р; ~п). Полярный угол измеряют в радианах и отсчитывают от полярной оси. Если значение угла положительно, то его отсчитывают против кода часовой стрелки, в противном случае — по ходу часовой стрелки (см. рис. 3.4). Для полюса р = О, а угол гр не определен.
Для остальных точек плоскости р ) О, а полярный угол д определен с точностью до целого кратного 2гг. Поэтому для полярного угла иногда фиксируют промежуток его изменения, например ( — гг,гг), ~ — гг,я) или [0,2я). Координаты точки на плоскости часто записывают как в полярной, так и в прямоугольной системах координат и используют преобразования этих координат друг в друга. Если нет е пециальных указаний, то при этом подразумевают следующее взаимное расположение прямоугольной и полярной систем координат (рнс. 3.5): полюс поляр- у М пой системы координат совмещен с началом прямоугольной Р истемы координат; полярная У псь совпадает с положительной ь х х ~астью оси абсцисс, а масштаб в полярной системе для вычисле- Рие.
3.5 1 Л»е»»тичеееее» ее»меер»» 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 98 ния расстояний берется равным единице длины в прямоуголь- ной системе координат. В этом случае прямоугольные коорди- наты (х; у) точки М на плоскости выражаются через ее поляр- ные координаты (р,)р) с помощью соотношений (см. рис. 3.5) х = рсоа)р, у = ря)п)р. (3.16) С учетом ограничения )РЕ( — я,)г) на полярный угол полярные координаты точки определяются через ее прямоугольные ко- ординаты следующим образом: р= /*'+у' Пример 3.6. Найдем полярные координаты точек М(3; 4) и г)'( — 1; 1). Для точки М имеем: р = ~/3г+ 4г = 5, )р = агсгб(4/3), а для ж — р= ))-1)'+!'=ч2 д= + ч)-1)=3 )4. 3.7.
Цилиндрическая и сферическая системы координат Для введения г4нлппдрмчеспой систпемы коордипатп в пространстве выберем плоскость Р и зафиксируем на ней некоторую полярную систему координат с полюсом О и полярной осью Ор. Через точку О перпендикулярно плоскости Р проведем ось Ог, выбирая ее направление таким образом, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси Ог происходило против хода часовой стрелки (рис. З.б,а). Фиксируем единицу масштаба для расстояния между точками. агсгб(у/х), я + агс18(у/х), — я + агсгб(у/х), я/2, — я/2, х>0; х < О, у > 0; (3 1Т) х<0, у<0; х=О, у>0; х=О, у<0. 3.7. Цнлннлрнческек и сферическое снстеиы координат 99 Цилиндрическими ноординатпами тпочки М в протранстве называют упорядоченную тройку чисел р, 1р, г, в которой (р;~р) — полярные координаты ортогональной проекции точки М на плоскость Р, а г — ортогональная проекция ~и нтора Ой~ на ось Ог (см.
рис. 3.6, а). Координата р точки М равна ее расстоянию до оси Ол. 11азвание этой системы (цилиндрическая) связано с тем, что т чки с одинаковой первой координатой р образуют боковую нтерхность неограниченного прямого кругового цилиндра радиуса р. Рнс. 3.6 11а рис. 3.6, б показано стандартное взаимное расположен|и цилиндрической и прямоугольной систем координат в протранстве. Плоскость Р совмещена с координатной плоснотью прямоугольной системы ноордннагп, проходящей через и и абсцисс и ординат и в этой плоскости согласованы поеярная и прямоугольная системы коордпнат. Ось Ог цилиндрической системы координат автоматически совпадает с осью кннлинат.
При таком взаимном расположении цилиндрической и прямоугольной систем координат прямоугольные координаты 1х; у; г) точки М выражаются через ее цилиндрические ь ординаты (р; ~р; г) с помощью равенств х = рсов~р, у = ря1в~р, г = г. (3.18) 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Для нахождения цилиндрических координат по прямоугольным можно воспользоваться (3.17) с учетом того, что третьи координаты любой точки в этих системах совпадают. Сферическая система координат в пространстве вводится примерно так же, как и цилиндрическая. Отличие имеется лишь в определении первой н третьей координат точки. Сферическими координатами точки М в пространстве называют упорядоченную тройку чисел р, ~р, д, в которой р— длина вектора Ой~, <р — полярный угол ортогональной проекции точки М на плоскость Р, а д — угол, который образует вектор ОЛя с положительным направлением осн Ох (рис.
3.7, а). Замечание 3.1. Используют н другой вариант сферической системы координат, в которой в качестве угла д берется угол между вектором Оля и плоскостью Р. 4 Отметим, что в Е (О,я1, а сферическая координата р точки равна ее расстоянию до точки О. Название системы (сферическая) соответствует тому, что точки с одинаковой первой координатой р образуют поверхность сферы радиуса р с центром в точке О. Рис. З.Т Для стандартного взаимного расположения сферической н прямоугольной систем координат в пространстве (рис. 3.7,б) преобразования координат имеют вид: х = ре1пдсоеу, у = ре1пде1п~о, х = рсоа д Вопросы и задачи ~=,/Р+Р2*', д = агссое х2+ у2+ 22 (3.20) Замечание 3.2.
В цилиндрической и сферической системах координат могут накладываться ограничения на возможпыг значения угла р, отмеченные выше для полярной системы координат, с тем чтобы этот угол определялся для каждой точки однозначно. Значение второй координаты гр в этих системах для точек оси 02 не определено, и положения таких точек полностью определяются значениями двух других координат. Вопросы и задачи 3.1. Доказать, что если уравнение Х2+ ху+ у — 1 = 0 записать в новых координатах х', у' с помощью преобразования координат х = сггх'+ 131 у', У=о2х +132У ~ то прн сг1 Р1 Фо порядок уравнения не изменится. Привести пример, показывающий, что при нарушении этого условия порядок может ч меньшиться. 3.2. Найти преобразование координат на плоскости: а) при параллельном переносе системы координат на вектор (-3; 5); г) при повороте на угол — х/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
