III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как плоскости г1 и хз, соответствующие отдельным уравнениям из общих уравнений (5.8) прямой, непараллельны, то хотя бы один из определителей второго порядка Аз Вз ' Аз Сз ~йй представляющих собой координаты векторного произведения нормальных векторов этих плоскостей, не равен нулю. Предполагая, что первый из этих определителей является ненулевым: изложим три способа перехода от общих уравнений к каноническим или параметрическим.
Первый способ состоит в том, что в системе (5.8) для х назначают два различных значения и по формулам Крамера находят два различных решения системы двух уравнений с двумя неизвестными х и у. Эти два решения системы (5.8) дают координаты двух разных точек М1 и Мз на прямой. А две известные точки прямой позволяют найти уравнение прямой, Достаточно просто выполняется переход от канонических уравнений к общим. Нетрудно увидеть, что на самом деле канонические уравнения представляют собой особую форму записи общих уравнений.
Действительно, двойное равенство (5.11) равносильно системе двух линейных уравнений о.З. Уравнения прямой в пространстве проходящей через две точки, которое фактически совпадает с каноническими уравнениями прямой. Отметим, что в качестве пап равляющего вектора в и рямой, заданной общими урав- я, , яг пениями (5:8), можно выбрать и~ хиг — векторное произведение двух нормальных векторов плоскостей (рис. 5.7). Действительно, это векторное произведение является вектором, который ортогонален каждому нормальному векто- вг и1 ру, а потому он параллелен как Рис. В.т одной, так и другой плоскости, т.е. параллелен их линии пересечения. Нахождение одной точки на прямой и ее направляющего вектора можно рассматривать как второй способ перехода от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям. Пример 5.5.
Найдем канонические ураннения прямой, совпадающей с линией пересечения плоскостей хг. х — у+я — 2=0, яг. х+у-я=О. Чтобы найти координаты некоторой точки ва прямой, подставляем в уравнения плоскостей г = 0 и решаем соответствующую систему двух линейных уравнений относительно х и у < х — у=2, х+у = О. Вначения х = 1 и у = — 1 единственного решения системы получаются сложением и вычитанием уравнений системы. Итак, точка с. координатами (1; — 1; 0) расположена на прямой. В качестве направляющего вектора прямой берем векторное произведение и, хиг нормальных векторов и, = (1; — 1;!) и 134 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ггг = (1; 1; — 1) плоскостей яг и яг. По формуле (2.14) для вычисления векторного произведения в координатах находим г у и 1 — 1 1 1 1 — 1 = 2у+2й, туг Хпг = т.е.
направляющим вектором прямой будет л = (О;2; 2). Найденный вектор л для простоты заменим коллинеарным ему вектором (О; 1; 1). Проведенные вычисления позволяют написать канонические уравнения искомой прямой Сгг+Р1 Вг Сгг+ Рг Вг В1 Вг х = — = — (Сгг+Рг) — — (Сгг+Рг) = огг+А, гл Аг Вг~ А1 Сгя+Рг Аг Сгг+Рг Аг А1 Я=в = — (Сгг+Рг) — — (Сгг+Рг) = агг+9г. Аг В1 Ь Аг Вг Обозначив г через 1 и добавив уравнение г = 1, получим параметрические уравнения прямой: х = ог1+Д, У = огг+ Рг, г = Й.
Третий способ перехода от общих уравнений прямой к ее каноническим илн параметрическим уравнениям состоит в следующем. Решаем систему (5.8) по правилу Крамера относительно неизвестных х и у, рассматривая неизвестное л как параметр: 5.4. Вэаиииое расположение иряиыт и плоскостей 135 5,4. Взаимное расположение прямых и плоскостей Взаимное расположение плоскостей. Пусть даны две плоскости, заданные в прямоугольной системе координат своими общими уравнениями, к1.' А1 х + В1у + С1 г + Р1 — О, кз . 'А эх + Взу + Сз г + Рз — О.
Один из двух углов между этими плоскостями 1обозначим его через у) равен углу между их нормальными векторами п1 —— = (А1, 'В1,' С1) и пз = (Аз, 'Вз, Сз) (рис. 5.8), а другой угол равен 7à — тэ . Рис. 5.8 Поэтому, согласно определению 2.1 скалярного произведения, (пыпз) А~Аз+ В1Вз+С~Сз ,/А~~Ве~~~„/А~~ —.Вт —., С, Если две данные плоскости перпендикулярны, то это эквивалентно тому, что их нормальные векторы ортиогональны. Критерием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения 1см. теорему 2.1). Поскольку ~ калярное произведение двух векторов, заданных в координатах, вычисляется как сумма произведений их одноименных 136 5.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ координат, критерием перпендикулярности плоскостей к, и кг является выполнение равенства АгАг+ВгВг+СРСг = О. Аналогично две плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеариы. Критерием же коллинеарности двух векторов является равенство отношений их координат 1см. следствие 1.1). Поэтому условие параллельности двух плоскостей записывается в виде двойного равенства Аг Вг Сг Аг Вг Сг Замечание 5.1. Это двойное равенство имеет смысл и в том случае, когда в знаменателе одной из дробей стоит нуль.
Это значит, что и в числителе той же дроби стоит нуль. ф Параллельные плоскости могут совпадать или быть различными. Левые части общих уравнений совпадающих плоскостей отличаются на ненулевой числовой множитель, и это можно записать как равенство отношений соответствующих коэффициентов их уравнений: Аг Вг Сг Рг Аг Вг Сг Рг Случай же Аг Вг Сг Рг Аг Вг Сг Рг соответствует тому, что плоскости параллельны, но не совпа- дают.
Угол между прямыми. Угол между двумя прямыми можно найти, используя иаправллюп1ие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 5.9) или является дополнительным к нему, 5.4. Взаимное расположение прямых и плоскостей 137 !чли угол между направляющими игкторами тупой. Таким образом, если для прямых Л! и Ь2 изи стны их направляющие векторы в! и в2, то острый угол !р между зтимн прямыми определяется через скалярное произведение: Ь2 !в2в2! сов~д = —. !а!!!в2! Рис. а.в !1!12+ ™2п22+ п2п2! соа !р— ~л~! ~+ ~~/$+ Взаимное расположение прямых. Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая: — прямые совпадают; — прямые параллельны (но не совпадают); — прямые пересекаются; — прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.
Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уровненилл!и и оби4ими уравнениами. Пусть прямые Ь! и Ь2 заданы каноническими уравнениями: Х вЂ” Х! Р Р! 2 — 2! Х вЂ” Х2 и — Н2 л — 22 А!: — = = —, Е2: — = — = —. (5.13) 1! п2! п! 12 з!!2 п2 Например, пусть в, = (1б тн;; ян), !' = 1,2. Используя формулы (1.9) и (2.9) для вычисления длины веко!про и скалярного произведения в координатах, получаем 138 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 17 т7 п7 12 7П2 П2 (5.14) Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллннеарен и вектор М7М2.
Х2 — Х, У2 — У7 22 — 27 17 т7 п7 (5.15) Это двойное равенство также означает, что точка М2 принадлежит прямой Ь7. Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (5.14) и (5.15) одновременно. Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлннеарны, т.е. условие (5.14) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, — + следовательно, векторы л7, л2 и М7М2 являются компланарными.
Условие компланарности зтнх векторов можно записать через смешанное произведение как равенство нулю определителя 777ре7пьего порядка, составленного из их координат (см. 2.4): х2 — х7 У2 — У7 22 — 27 т7 777 12 7772 772 (5.16) Условие (5.15) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при 22 ф 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.
Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней М7 (х7, У7,' 27) с Е7, М2(х2, у2, 22) 6 Е2 и координаты направляю7цих векторов в7 = (17, т7, п7) для 17, л2 = (12, 7п2, п2) ДЛЯ Ь2. Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы л, и л2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов: 5.4. Взаимное раеооложеине прямых и плоскостей 139 Сведем все условия воедино: Х1 и Хз совпадают с=» < выполнены условия (5.14) и (5.15); выполнено (5.14), нарушено (5.15); ( выполнено (5.16), нарушено (5.14); нарушено (5.16).
Ь| и Хз параллельны, Ф» но Х1~Хз Х 1 и Х з пересекаются е» Х,1 и Х,з скрещиваются Ф» Если две прямые заданы общими уравнениями Х1: А1х+В1 у+С1х+Р1 =О ~ Азх+Взу+Сзх+Рз=О, — Ь,: Азх+Взу+Сзх+ Рз = О, ( А4х+В4у+С4х+ Р4 — — О, то мы можем рассмотреть систему уравнений: Азх+ В1у+ С1х+ Р1 — — О, Азх+ Взу+ Сзх+ Рз = О, Азх + Взу+ Сзх+ Рз = О, А4х+ В4у+С4х+ Р4 = О. (5.17) Пример 5.6.
Исследуем взаимное расположение прямых х †у †я, Х,з.. х+у+2х — 2 =0. х — 1 у — 2 х+1 Х,,: 1 3 — 2 ' Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (5.17). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения п|хпз и пзхпл, где и; = (А;; В;; С,), 1= 1,2,3,4.
Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся. 140 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Направляющий вектор л~ прямой 1,1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: л1 — — 11;3; — 2). Направляющий вектор лз прямой Ьз вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является: й у й 1 — 1 — 1 1 1 2 лз — — п1хпз —— Поскольку л1 — — — лз, то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
