III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ь Если А = А, то матрицу А называют снммекгрнческой, а т ~ ели А = — А — кососимкекгрической. И в том и в другом случае матрица должна быть квадратной. Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно диагонали, равны между собой. Действительно, [А ]о — — [А]„и из равенства А = А следует, что [А]; = [А]; . .Элел5енты же кососимметрической матрицы, расположенные па местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диаеональнме — равны нулю. Действительно, [А ], = [А]; и из равенства А = -А следует, что [А], = — [А]о. В частности, при г = у' выполняются равенства [А], = -[А], = О.
164 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Пример 6.3. Матрицы 3 — 2 1 и -2 0 — 4 — симметрические, 1 — 4 2 0 — 2 1 а ( ~ и 2 0 — 4 — кососимметрические. — 1 4 0 6.4. з'множение матриц Определение 6.6. Пусть даны матрица А = 1аб) типа тхи и матрица В = 16; ) типа пхр. Произведением матприц А и В называют матрицу С = 1с; ) типа тхр с зле.иенппьии сб = ~~) а;ьйь1, я=1 которую обозначают С = АВ.
Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству стирок второго. В формировании элемента сб произведения АВ участвуют элементы 1-й строки матрицы А и у-го столбца матрицы В. Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения „строка на столбец": у Пример 6.4. Найдем произведение двух матриц — 1 2+10 — 2 3+21 — 6 — 1 1 — 2 2 165 6А.
Умножение матриц Пример 6.5. Произведением прямоугольной матрицы и матрицы-столбца является матрица-столбец: х1 ам х1+а1гхг+...+аг„х„ хг аг|х1+аггхг+...+аг„х„ ам а1г аг! агг а1„ аг а1аг...а„х„ а,„1х1+ае,гхг+...+а,„„х„ Пример 6.6. Найдем произведение трех квадратных матриц второго порядка, перемножив сначала первые две матрицы, а затем результат их произведения и третью матрицу: 3 4 2 — 3 2 — 1 — 3+8 0 — 12 2 — 1 5 -12 2 -1 — 24 -8 Х1'= (хы хг, ..., х„) уе = (хгу1+хгуг+...+х„у„) =~~ хьую ь=г Таким образом, произведение любой матрицы-строки и любой матрицы-столбца, имеющих одинаковое количество элементов, есть число, равное сумме произведений их элементов с одинаковыми индексами.
Если матрица-строка и матрица-столбец имеют разное количество элементов, то их перемножить нельзя. Умножение матрицы-строки Х типа 1хп на матрицу-столбец У типа пх1 дает матрицу типа 1х1, которую отождествляют с числом: 166 В. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Замечание 6.3. Для числовых матриц типа 1х1 матричные операции суммы, разности, умножения и умножения матриц на действительные числа совпадают с соответствующими арифметическими операциями суммы, разности и умножения над действительными числами.
Вот почему их и отождествляют с числами. Существование произведения АВ двух матриц не означает существования их произведения ВА. Например, матрицы из примера 6.4 нельзя умножить в другом порядке. Чтобы матрицу А типа тхп можно было умножить на матрицу В и слева, и справа 1т.е. чтобы были определены оба произведения ВА и АВ), матрица В должна иметь тип пхт. Квадратные матрицы А и В можно перемножить, если они имеют один порядок, причем в этом случае определены оба произведения 1АВ и ВА), хотя равенство АВ = ВА обычно нарушается. Пример 6.7.
Найдем произведения двух пар матриц А, В и С, Р в одном и другом порядке: АВ= =, ВА= Обратим внимание, что СР = С, РС = сэ, хотя ни одна из этих двух матриц не является нулевой. ,-ф Если определены оба произведения АВ и ВА и выполнено равенство АВ = ВА, то матрицы А и В называют польмутнруюмлплви или перестаноеочнььми. Коммутирующие матрицы всегда квадратные и одного порядка.
Пример 6.8. Произведение диаеональных матриц одного порядка есть диагональная матрица, элементами которой 6,4, Умиожеиие матриц 167 являются произведения соответствующих элементов перемнокаемых матриц. Диагональные матрицы одного порядка являидтся перестановочными. Действительно, ад О ...
О Ьд О ... О О ад ... О О Ьз ... О О О ... а„ О О ... Ь„ а Ь О ... О О азЬз ... О О О ... а„Ь„ Ьд О ... О ад О ... О О Ьз ... О О ад ... О О О ... Ь„ О О ... а„ Операция умножения матриц имеет следующие свойства. 1'. Умножение матриц ассоциативно, т.е. (АВ)С = А(ВС). а Если матрицы А,В,С имеют типы пдхи, пхй, Ьх! соответ- ственно, то [(АВ)С]1, = ~ [АВ]де[С]г = ~~! ~~! [А]!в[В],„[С],1 = г=1 г=1 в=д = , ';;) .[А],.[В]„[С]„ = ~, ';[А]1.([В]-[С].,) = г=!в=1 г=1 в=1 и и и = ,'д [А]!в~~! [В],г[С]г = ~ [А]гв[ВС], =[А(ВС)];,.
г=1 2'. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е. (А+ В)С= АС+ ВС. 168 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ ~ Если матрицы А, В имеют тип тиха, а матрица С вЂ” тип пхй, то [[А+ В)С];, = „'[А+ В];и[С]„= ~ ([А];„+ [В];г)[С]г, = г=1 гы! =~) [[А]си[с]„,+[В]си[с]„1) =~~! [А];и[С]г,+ ~ [В]1г[С]г, = г=1 г=1 г=1 = [АС];;+ [ВС];; = [АС+ ВС]ц. 3'. Существует такая матрица Е Е М„(К), что для любой матрицы А Е М„(лс) выполнены равенства АЕ = ЕА = А. < В качестве матрицы Е можно взять единичную порядка п. ~ 4'. Для любой матрицы А Е М„(Е) и нулево!! матрицы 9 Е М„(И) выполнено равенство Ас! = сг.
< Вычислим элементы произведения А1т: [Асг]! = ~~! [А]1„[сг]„1 = ~~> [А];„0 = О. г=1 г=1 Видим, что все элементы матрицы Асг равны нулю. > 5'. Для любых матриц А н В типов тхп и пхй выполнено т т т равенство [АВ) = В А , т.е. транспонированное произведение двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц. и [(АВ) ]! =[АВ],.; =~~1 [А] г[В]г; = г — — 1 и и [А ]гДВ ]1г = ~ [В ]1г[А ]г, = [В А ]Ц. и г=1 г=1 Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения квадратной матрицы в натуральную степень.
Положим А!= А, А"+' = АА", и= 1,2,... Отметим, что две степени 169 6.5. Блочные матрицы Л" и А™ одной и той же матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочны: А"А = А А" = А"+ . Введем также нулевую степень квадратной матрицы, полагая Ао = Е, где Š— единичная матрица того же порядка. Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выражения вида а„А" +а„1А" '+...+аоАо, а,ЕК, 1=0,п, т.е. многочлены от одного матричного аргумента.
Пример 6.9. Вычислим значение квадратного трехчлена р(х) = Зхз — 4х+5 для квадратной матрицы А=( ). !1оскольку р(х) = Зх~ — 4х+ 5хо, то р(А) = ЗА — 4А+ 5А, где А = Š— единичная матрица второго порядка. Вычислив о — 1 1 — 1 1 — 1 -1 находим р(А) =3 — 4 +5 — 3 — 3 4 — 4 О 5 1 — 2 6.5. Блочные матрицы Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами. Эти ячейки называют блоками матрицы. Сама матрица А может 170 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ рассматриваться как таблица, элеменпгал4и которой являются более мелкие матрицы М д.
А =(М д). Прн таком построе- нии матрица А составляется из блоков, и поэтому ее называют блочной. Например, матрицу аы азг разобъем на следующие блоки: н обозначим их а11 агг агз а14 а15 М11 1121 1122 огз М12 о24 в25 а31 азг аээ ОЗ4 ОЗ5 П41 О42 П43 О44 О45 Мг, П51 1152 1153 1154 О55 Тогда матрицу А можно записать в виде блочной матрицы, элементами которой будут эти матрицы М д1 А=(М,р)=( " ' ). Для составления блочной матрицы из серии матриц М„д необходимо, чтобы подмножества матриц из серии с одинаковым значением индекса о имели одинаковое количество строк, а подмножества матриц с одинаковым значением индекса и†аы агг а21 агг а31 азг а41 а42 П13 П14 П15 агз а24 а25 Пзз О34 О35 О43 1144 О45 П53 О54 О55 171 6.5.
Блочные матрицы > дпнаковое количество столбцов. Эти подмножества образуют «ответственно „блочные" строки и „блочные" столбцы (сооти тствующие нескольким строкам или столбцам обычной запи> и матрицы). Пример 6.10. Указанным требованиям удовлетворяют с>п дующие четыре матрицы: ( аы агг а>з ч1 ( Ь11 612 1 М„=, )> 12 — ~ \, аю агг агз ) 1>, 1>21 йгг) СЫ С12 С>З ды д12 М21 = сг> сгг сгз , Мгг = Ню Ыгг СЗ1 ЕЗ2 ЕЗЗ аз1 азг 1!1>этому из них можно составить блочную матрицу М11 М12 Основное свойство блочных матриц состоит в том, что операции над блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и операции над обычными матрицами.
В самом деле, зто в достаточной степени очевидно для суммы матриц и »роизееденил матрицы на число. Однако относительно суммы ;>то можно утверждать лишь в том случае, когда размеры слагаемых блочных матриц, равно как н размеры отдельных блоков с равными индексами у слагаемых, совпадают. Подробнее рассмотрим ситуацию с умиозееиием блочных митрии. Пусть блочные матрицы А = (А„д) и В = (Вд,„) удовлетворяют двум условиям.
1. Число „блочных" столбцов матрицы А совпадает с числом „блочных" строк матрицы В (т.е. индекс ф для А и В изменяется в одинаковых пределах). 172 В. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 2. Для любых индексов о, д; 7 число столбцов у матрицы А д совпадает с числом строк у матрицы Вд, . Тогда АВ=(С ), С =~> А дВд.„. д Для доказательства этого равенства достаточно расписать обе его части через элементы матриц.
Указанные два условия довольно сложны, но все упрощается, если блоки матриц — это квадратные матрицы одного нарядна. В этом случае условия близки к обычным: число „блочных" столбцов множимого должно совпадать с числом „блочных" строк множителя. Представление матриц в блочном виде часто оказывается удобным при нахождении суммы и произведения, если матрицы имеют достаточно большие размеры, а их согласованные разбиения на блоки содержат нулевые, единичные, диагональные, треугольные матрицы. Пример 6.11. Найдем произведения следующих блочных матриц предполагая, что все операции определены: (.":Н:) =(":) (::Н.":) =(::) А ЪЕ С АС+ЗР При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежат и ее элементы. Например, 173 В.В.
Пряввая сумма матриц Пример 6.12. Транспонируем блочную матрицу (А, А ) 6.6. Прямая сумма матриц Определение 6.7. Пусть даны квадратные магприцы А порядка т и В порядка и. Пр*мой суммой матриц А и В называют квадратную блочную матрацу С = А9 В порядка т+ п, равную где Й обозначает нулевой блок (нулевую матрацу типа тхп вверху справа и пхт внизу слева). Укажем основные свойства прямой суммы матриц. 1'. Ассоциативность: (А 9 В) ЮС= Айв(В%С) ~ В результате выполнения операций в левой и правой частях равенства получается одна и та же блочно-диагональная матрица где нулевые матрицы имеют соответствующий тип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
