III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 23
Текст из файла (страница 23)
~ 174 В. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 2'. Пусть квадратные матрицы А1 и Аг имеют порядок т, а квадратные матрицы В1 н Вг — порядок и. Тогда (А,ЕВ,)+(АгЕВг) =(А,+А,) Е(В,+В,), (Аг 9 В1 ) (Аг 9 Вг) = А1Аг 9 Вг Вг ~ Действительно, эти записи означают следующее: А1 О Аг сг Аг + Аг О что соответствует операциям над блочными матрицами. В 6.7. Линейная зависимость строк и столбцов Строки н столбцы матриц можно рассматривать как матрицы-строки и, соответственно, матрицы-столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми другими матрицами, можно выполнять линейные операции. Ограничение на операцию сложения состоит в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (высоты), но это условие всегда выполнено для строк (столбцов) одной матрицы. Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений а1а1+...
+а,а„где аы ..., а, — произвольный набор строк (столбцов) одинаковой длины (высоты), а оы ..., о, — действительные числа. Такие выражения называют линейными комбинациями строк (скголбцов) . Определение 6.8. Скгроки (сгколбцы) аь ..., а, называют линейно независимыми, если равенство (6.1) о1а1+... + а,а, = О, 175 6.7. Лииейиав зависимость строк и столбцов где О в правой части — нулевая строка (столбец), возможно лишь при аг = ... = а, = О.
В противном случае, когда существуют такие действительные числа аы ..., а„не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (6.1), зти строки (столбцы) называют ламеймо завасаляымм. Следующее утверждение известно как критерий линейной зависимости. Теорема 6.1. Строки (столбцы) аы ...,а, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них является линейной комбинацией остальных. < Доказательство проведем для строк, а для столбцов оно аналогично.
Необходимость. Если строки аг, ..., а, линейно зависимы, то, согласно определению 6.8, существуют такие действительные числа аы ..., а„ не равные нулю одновременно, что агаг+... + а,а, = О. Выберем ненулевой коэффициент а;. Для простоты пусть это будет аг. Тогда а,аг =( — аг)аг+...+( — а,)а, и, следовательно, аг — — — — аз+... + — — а„ т.е. строка аг представляется в виде линейной комбинации остальных строк.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть, например, аг = Лгаг+...+ Л,а,. Тогда 1а~ + ( — Лг)аз+... + ( — Л,)а, = О. Первый коэффициент линейной комбинации равен единице, т.е. он ненулевой. Согласно определению 6.8, строки аг, ..., а, линейно зависимы.
~ Теорема 6.2. Пусть строки (столбцы) аы ..., а, линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) Ьы ..., Ь| является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) ам ..., а„ЬО ..., Ь~ линейно зависимы. 176 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ ~ Пусть, например, Ь! есть линейная комбинация а!, ..., а„ т.е. Ь! = ага! +... + а,а„а; с И, ! = 1, л. В эту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) Ьг, ..., Ь! (при 1) 1) с нулевыми коэффициентами: Ь! =ого!+...+о,а,+ОЬг+...+ОЬ!. Согласно теореме 6.1, строки !столбцы) аг, ..., а„Ьг, ..., Ь! линейно зависимы.
> 6.8. Элементарные преобразования матриц Следующие три операции называют элелгеккгаркымк иреобраэоеакиллгк стпрок макгрицы: 1'. Умножение г-й строки матрицы на число Л ~ О: аг! агг а! ап агг ... аг„ а;! аи ... аг„~ — + Ла;! Ла'г .. Лам а,„! а,„г ...
а а ! а г ... а которое будем записывать в виде (!) — ! Л(!). 2'. Перестановка двух строк в матрице, например 1-й и и-й строк: ап агг .. а!„ а;! а;г ... аы а,! аьг ... а;„ а! а г ... а которую будем записывать в виде (!) ~+ 1/с). аы аьг ... аь„ а ! а„д ... а аы а!г " агп ам аьг .. ал 177 8.8. Элементарные преобразования матрнц 3'. Добавление к гьй строке матрицы ее Й-й строки с коэффициентом Л: ам а ге ...
аг„ аг„ аы ам+Лаю агг+Лаьг ° .. а;„+Лая„ ац а;г ... а„, аы аьг .. ая аы аьг ... ая„ ат1 а„,г ... а ачм а,г ...а что будем записывать в виде (г) -+ (г) + Л(/с). Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов. Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обрапгное элементарное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную.
!1апример, обратным преобразованием для перестановки двух строк является перестановка тех же строк. Каждое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы А можно трактовать как умножение А слева (справа) на матрицу специального вида. Эта матрица получается, если ч'о же преобразование выполнить над единичной матрицей.
1'ассмотрим подробнее элементарные преобразования строк. Пусть матрица В получается в результате умножения гьй строки матрицы А типа тхп на число Л ф О. Тогда В = Е 1Л) А, где матрица Е;1Л) получается из единичной матрицы Е порядка гп умножением ее гьй строки на число Л. Пусть матрица В получается в результате перестановки 1-й и й-й строк матрицы А типа тхп, Тогда В = ГгяА, где матрица Рь получается из единичной матрицы Е порядка т перестановкой ее г-й и Й-й строк.
Пусть матрица В получается в результате добавления к гэй строке матрицы А типа т хи ее й-й строки с коэффициентом Л. '1'огда В = С,я(Л)А, где матрица С;ь получается из единичной матрицы Е порядка т в результате добавления к г-й строке 178 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Й-й строки с коэффициентом А, т.е. на пересечении г-й строки и и-го столбца матрицы Е нулевой элемент заменен на число А. Точно так же реализуются элементарные преобразования столбцов матрицы А, но при этом она умножается на матрицы специального вида не слева, а справа.
С помощью алгоритмов, которые основаны на элементарных преобразованиях строк и столбцов, матрицы можно преобразовывать к различному виду. Один из важнейших таких алгоритмов ~оставляет основу доказательства следующей теоремы. Теорема 6.3. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к стиупенчатоиу виду. ~ Доказательство теоремы состоит в построении конкретного алгоритма приведения матрицы к ступенчатому виду. Этот алгоритм состоит в многократном повторении в определенном порядке трех операций, связанных с некоторым текущим элементом матрицы, который выбирается исходя из расположения в матрице.
На первом шаге алгоритма в качестве текущего элемента матрицы выбираем верхний левый, т.е. [А|ы. 1 . Если текущий элемент равен нулю, переходим к операции 2*. Если же он не равен нулю, то строку, в которой расположен текущий элемент [текущую строку), добавляем с соответствующими коэффициентами к строкам, расположенным ниже, так, чтобы все элементы матрицы, стоящие в столбце под текущим элементом, обратились в нуль. Например, если текущий элемент — [А];, то в качестве коэффициента для к-й строки, й = 1+1,..., нам следует взять число — [А~ь /[А1;,.
Выбираем новый текущий элемент, смещаясь в матрице на один столбец вправо и на одну строку вниз, и переходим к следующему шагу, повторяя операцию 1". Если такое смешение невозможно, т.е. достигнут последний столбец или строка, преобразования прекращаем. 2*. Если текущий элемент в некоторой строке матрицы равен нулю, то просматриваем элементы матрицы, расположен- 6.8. Элементарные цреобрааоиаииа матриц 179 пые в столбце под текущим элементом. Если среди них нет и<нулевых, переходим к операции 3*. Пусть в й-й строке под т< кущим элементом находится ненулевой элемент.
Меняем ме< тами текущую и Й-ю строки и возвращаемся к операции 1*. 3*. Если текущий элемент и все элементы под ним (в том л<е столбце) равны нулю, меняем текущий элемент, смещаясь в матрице на один столбец вправо. Если такое смещение возможно, т.е. текущий элемент находится не в самом правом столбце матрицы, то повторяем операцию 1*. Если же мы уже достигли правого края матрицы и смена текущего элемента невозможна, то матрица имеет ступенчатый вид, и мы можем прекратить преобразования. Так как матрица имеет конечные размеры, а за один шаг алгоритма положение текущего элемента смещается вправо хотя бы на один столбец, процесс преобразований закончится, причем не более чем за п шагов (п — количество столбцов в матрице).
Значит, наступит момент, когда матрица будет иметь ступенчатый вид. ~ Пример 6.13. Преобразуем матрицу 2 3 2 4 к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Используя алгоритм из доказательства теоремы 6.3 и записывал матрицы после окончания выполнения его операций, получаем (3) -+ (3) — 4(1) 1 2 1 1 ~~е ~<<) -3(<Д) Π— 1 О 2 ΠΠΠ— 4 180 6.
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Вопросы и задачи 6.1. Какого вида будет матрица А, если сама матрица А является: а) единичной; б) нулевой; в) верхней треугольной; г) нижней треугольной; д) трехдиагональной; е) диагональной; ж) блочной? 6.2. Для матриц А=, В= 2 3 2, С= 1 вычислить: а) АВ; б) А(В+В ); в) (АС) А; г) ВА; д) С В; е) А АВ; ж) С ВА +2С А; з) ЗАВС вЂ” АС. 6.3. Показать, что для любой матрицы А е М „(К) опредет т лены произведения А А и АА .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
