III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(7.5) ~ Докажем равенство (7.4). Поскольку, согласно определению 7.1 определителя, в каждое его слагаемое в качестве сомножителя входит один элемент 1-й строки, можно разделить все слагаемые в сумме (7.3) на п групп так, чтобы в каждой группе слагаемые имели один и тот же элемент 1-й строки. Вынеся в этих группах общий элемент 1-й строки за скобку, получим '~ = 1(Е1А = ~( 1) П1а~ П1-1,а, ~П1а,%+1,а,1.~ ° ° ° Паа — (а( )а(1,1)( = П11 ~, ( 1) ' П1а! ' 'П1-1,а;,ПЬЕ1,а,.
1 ° ° Паа + а(1,1) + П12 ~ ( — 1) ' П1а~ ° ° ° П1 — 1,а; ~ОЬЬ1,а, ~ ° Оаа + ° ° + )а(1Д)( а(1д) +а,„Р ( — 1) " а1., а1 1,а,,а1+1„,, а„а„= ~ (а(1,а)( а(оа) 1 11!а(16)) О; Х ( — 1) " а1а, ...а1 1,а1,аье1,а,1., ...а„а„, =Е Е(-') " 1=1 а(6,1) ( 1) о1а~ ° ° о1-1,а; ~ПЬЬ1,а,~~ ° ° Паа„(7.6) Е- (а(1,1) ( а(6.1) где 1х(1,)') ()' = 1,п) обозначает подстановку, в которой под числом 1' стоит число 1 — индексы общего множителя а;,, вынесенного за знак суммы. Остается доказать, что сумма 197 7.2. Свойства определителей равна алгебраическому дополнению А, . Для этого достаточно выразить количество инверсий в подстановке о(е,у) через количество инверсий в подстановке г, которая получается из о(г,7) .
т вычеркиванием столбца (1,7) и уменьшением на единицу элементов, болыпнх г в 1-й строке и больших 7' во 2-й. Отметим, что этот способ получения подстановки (п — 1)-й степени т из подстановки и-й степени о(е',1) полностью соответствует построению матрицы минора М;,. Подстановка т соответствует тем местам в матрице минора М;, на которых оказались сомножители произведения а1„, ...а; 1„,,п;~.цоьм ...а„„„. Поэтому Для подсчета инверсий в подстановке о(1,1) столбец (1,1') переставим г' — 1 раз с соседним слева столбцом, что переместит его на место 1-го столбца, не изменив относительного порядка остальных столбцов.
В полученной подстановке < 1 ... 1 — 1 1+1 ... п ~( о1 ... он 1 о1+1 ... о„/' четность которой совпадает с четностью о(г, 1), вычеркнем 1-й столбец и получим 1 ... 1 — 1 1+1 ... п т = Ж-1 %+1 "° сео При вычеркивании 1-го столбца количество инверсий в 1-й строке уменьшится на г — 1, а во 2-й — на ~' — 1. Следовательно, общее число инверсий уменьшится на 1+1 — 2, и поэтому ( — 1)~~1"~1~ = ( — 1)~' 1+мяу = ( — 1)'+ ( — 1)г ~ (7.7) 198 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ где ~т'~ равно сумме инверсий в 1-й и 2-й строках г'. Теперь уменьшим на единицу те элементы в т', которые больше 1 в 1-й строке и больше 1 во 2-й.
При этом количество инверсий в строках не изменится, а в результате получим подстановку т. Поэтому сумма (7.6) с учетом равенства (7.7) принимает вид 1) ( 1) п1а~ пв-1,а~ 1%+1,а,+1 . ° ° пса Е-' а+1 (т! т = ( — 1)'+"М; = А;, что и завершает доказательство. Ф Представления определителя в виде (7.4) и (7.5) называют его розлолсемилми по 1-й стпроме и у-му стполбцу соответственно. Разложения по строке (7.4) и столбцу (7.5) дают правила, в соответствии с которыми определитель и-го порядка сводится к п определителям (и — 1)-го порядка, раскладывая которые получим п(п — 1) определителей (и — 2)-го порядка и т.д.
Эти вычисления получаются громоздкими, однако процесс упрощаетая, если среди элементов определителя имеется много нулей. Целесообразно раскладывать определитель по тому ряду (строке, столбцу), в котором больше нулей. Если же в этом смысле некоторые ряды одинаковы, то удобнее выбирать тот из них, в котором элементы имеют большие значения по абсолютной величине, поскольку зто упрощает выполнение арифметических вычислений.
В этом полезно убедиться самостоятельно, вычисляя разложением по 2-му столбцу следующяя определитель. Пример 7.2. Вычислим определитель четвертого порядка 3 1 — 1 2 — 5 1 3 — 4 20 0 1 -11 1 — 5 3 — 3 199 7.З. Свойства определителей Определитель удобнее всего раскладывать по 3-й строке: 1 -1 2 =( — 1) +1 ° 20 1 3 — 4 — 5 3 — 3 3 1 2 — 5 1 — 4 1 -5 — 3 +( 1)з+4 + ( 1)з+з = 20( — 9 — 20+ 6+ 30+ 12 — 3) + 1( — 9 — 4+ 50 — 2 — 60 — 15) + + 11(9 — 25+ 3+ 1+ 45+ 15) = 20 ° 16 — 40+ 11 ° 48 = 808. Пример 7.3.
Вычислим определитель и-го порядка 1 1 1 ... 0 Не меняя величины этого определителя, вычитаем 1-ю строку из всех остальных строк (см. свойство 7.6) и, раскладывая полученный определитель по 1-му столбцу (см. свойство 7.7), находим, что 1 1 1 ... 1 0 — 1 0 ... 0 0 0 — 1 ... 0 -1 0 ... 0 0-1... О 0 0 ... -1 0 0 0 ... -1 Свойство 7.8. Определитель верхней (нижней) тпреугольной матрицы равен произведению элементов ее глаеной 3 1 — 1 — 5 1 3 20 0 1 1 — 5 3 2 — 11 — 3 1 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 3 1 — 1 -5 1 3 1 — 5 3 7.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 200 диагонали, т.е. адд 0 ... 0 азд агг ... 0 адд адг ... ад 0 агг ... аг„ = апагг...а„„ = Пан. О 0 ... а„„ а„д а г .. а„„ азг агз ° .. аг 0 азз ... аз ап адг ... ад„ 0 агг ... аг„ = адд 0 0 ... а„„ 0 0 ... а„„ азз а34 ... азн 0 а 44 ... а4 =... = апагг ° ..а„„= Пан. = опагг 0 0 ... а„„ Для вычисления определителей нижнего треугольного вида используется их разложение по 1-й строке.
~ Пример 7.4. Поскольку диагональная матрица является верхней треугольной матрицей, ее определитель равен произведению диагональных элементов. В частности, определитель единичной матрицы Е равен единице. 4 С помощью элементарных преобразований стран любая матрица приводится к ступенчатому виду (см. теорему б.З). Квадратная матрица ступенчатого вида является частным случаем верхней треугольной матрицы, у которой диагональные элементы, начиная с некоторого, могут быть равны нулю. Определитель такой матрицы легко найти по свойству 7.8. В алгоритме приведения к ступенчатому виду используется перестановка строк, при которой определитель матрицы меняет < Воспользовавшись свойством 7.7, последовательно расклады- ваем определители верхнего треугольного вида по 1-му столбцу и получаем 201 7.2. Свойства определителей знак.
Изменение знака можно учесть, например, дополнительным умножением определителя или одной из строк на — 1. Следовательно, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением значения ее определителя. Пример 7.Ь. Вычислим определитель четвертого порядка Этот определитель называют циркулянтом четвертого порядка, поскольку его строки являются так называемыми циклическими перестановками элементов 1-й строки. Его вычисление основано на преобразовании к треугольному виду.
На первом этапе получаем нули в 1-и столбце ниже главной диагонали." На втором этапе получаем нули во 2-м столбце ниже главной диагонали: 1 2 3 4 0 -1 -2 — 7 0 0 -4 4 0 0 4 36 (3) -+ (3) — 2(2) (4) -+ (4) — 7(2) На третьем этапе получаем нуль в 3-м столбце под диагональю: ~~((~е )~~~.~ ~3) = 1( — 1) (-4)40 = 160. 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 0 — 1 -2 — 7 0 0 — 4 4 0 0 0 40 1 2 0 — 1 0 — 2 0 — 7 3 — 2 — 8 — 10 4 — 7 -10 — 13 202 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Если в процессе преобразований оказывается, что равные нулю элементы расположены по одну сторону от побочной дпаеоиали, то можно последовательно раскладывать определитель по 1-му столбцу (или по 1-й строке) или, изменяя порядок строк (столбцов) на обратный и учитывая свойство 7.2, преобразовывать определитель к треугольному виду. Пример 7.6.
Вычислим определитель и-го порядка: О О ... О О О ... й2 „ 1 йзп О й»1»»2 ° ° ° »»-1,» йп» О О п»-1,2 п»-1,3 ° ° п»-1,» — ( 1) й»1й»-1,2 ° »2,»-1»1»вЂ” 1»+4)1»-1)/2 = ( — 1) й»1йп 1,2 ° ° »2,»-1»1». ~~1 а„Аь; = О, й ~ г'; 1=1 ~~1 а,"Аье = О, й ~ )1 1=1 (7.8) (7.9) < Докажем равенство (7.8), соответствующее утверждению для строк. Для этого рассмотрим вспомогательный определитель Свойство 7.9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя Ь матрицы А (7.2) на алгебраические дополнения, соответствующие элементам другой строки (столбца) этого же определителя, равна нулю: 203 7.2. Свойства определителей Ло полученный из Ь заменой элементов и-й строки (к ~ 1) молами с1, сг °, с„: аы а1з ал аз1 азз ...
азв а;1 агя ... аеа с1 сз ... с„ о„1 а„я ... пи а Разложим определитель Л1 по /с-й строке: в Ь1 — — ~~~ с, Аь„ 1=1 где Аь — алгебраические дополнения, соответствующие элементам Й-й строки как в определителе Ь|, так и в определителе Л. Положив с = а;, у =1, и, получим, что в определителе Ь1 < овпадают г-я и и-я строки.
В соответствии со свойством 7.5 этот определитель равен нулю, т.е. и ~~) а; Аь =О, й~ю. е=1 Лналогично доказывается равенство (7.9). ~ь Свойство 7.10. Если А и В являются квадратными матрицами порядков и и т соответственно, то бес(А 9 В) = =деФАс1есВ. М Нужно доказать, что блочная матрица (е в) имеет определитель, равный с)еФ А деФ В. 204 7.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Мы докажем более общий результат, состоящий в том, что определитель блочмо-пзреунольиой лсппзрпссы (7.10) 9 В при любой матрице С тоже равен с1есАс1ес В. Как уже отмечалось, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением ее определителя. Выполним над первыми и строками матрицы (7.10) такие элементарные преобразования строк, которые приводят матрицу А к верхнему треугольному виду А' с сохранением ее определителя. Затем выполним над последними т строками полученной матрицы такие элементарные преобразования строк, которые приводят матрицу В к верхнему треугольному виду В' с сохранением ее определителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
