III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 28
Текст из файла (страница 28)
~шределитель по этому столбцу. В определителе (и — 1)-го по- !П!дка 214 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пример 7.11. Вычислим определитель и-го порядка 5 3 О О ... О 2 5 3 О ... О О 2 5 3 ... О О О О О ... 5 Разложим Ь„по 1-му столбцу: 3 О О ... О 2 5 3 ... О О 2 5 ... О Ь„= 5Ь„г — 2 О О О ... 5 Разложим определитель (и — 1)-го порядка во втором слагаемом по 1-й строке. В результате получим рекуррентное соотношение Ь„= 5Ь„г — бЬ„г. Чтобы вычислить Ь„при помощи этого рекуррентного соотношения, сведем соотношение к формуле геометрической прогрессии. Запишем полученное выражение в двух вариантах: Ья — 2Ьп-г = З(Ьи-г — 2гХи-г), ܄— ЗЬ„г = 2(Ь„г — ЗЬ„г). Тогда Ь„-г — 2Ь„-г = 3(Ьи-г — 2Ьа 3), г1 -г — ЗЬ -г = 2(Ь -г — ЗЬ -з).
Подставив два последних равенства в предыдущие, находим Ь вЂ” 2Ь -1 = 3 (Ь -г — 2Ь -з), ܄— ЗЬ„1 — — 2 (Ь„-г — ЗЬ„-з) 295 Вопросы и задачи и, продолжая процесс, получаем <5„— 2<а„1 —— 3" г(,1<г — 2,д«)< ˄— зь„< =2" (Ь вЂ” зл ). И< ключим из двух последних равенств с<„1. <3п=(3" -2" )Ьг-6(3 -2 )Ь|.
Так как <2<1 = ~5~ = 5 <аг = = 19 5 3 2 5 то Ь„= 19(3" ~ — 2" ~) — 30(3" г — 2" г) = 3"+~ — 2"+~ Вопросы и задачи 7.1. Вычислить определители: б) а) 7.2. Не раскрывая определители, доказать равенства: 1 а Ьс а) 1 Ь са 1 с аЬ = (Ь вЂ” а) (с — Ь) (с — а); я1пг о сонг <з соя 2о б) я1пг,9 сонг<9 соя2<3 я1пг 13 сонг р соя 2<8 7.3. Записать циркулянт и-го порядка и вывести формулу для его вычисления в зависимости от числа и, воспользовавшись вычислениями из примера 7.8. 5 1 2 7 3 0 О 2 1 3 4 5 2 0 0 3 0 5 2 0 8 3 5 4 7 2 4 1 0 4 1 0 216 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 7.4. Элементы квадратной матрицы являются непрерывными функциями на отрезке 1а; е). Доказать, что ее определитель является непрерывной функцией на этом отрезке. 7.5.
Найти все кососимметрические матрицы второго порядка с нулевым определителем. 7.6. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. Верно ли зто утверждение для кососимметрических матриц четного порядка? Привести соответствующие примеры.
7.7. Доказать, что — 1 — 2 — 3 ... О 7.8. Доказать, что 1 1 1 ... п 7.9. Выясните, имеют ли решения следующие уравнения: 1 1 е-2х ех 2е-2х ех а) =О; б) 1 Е2х 2е2х 1 2 3 ... п — 1 О 3 ... п — 1 — 2 О ... и 1 1 1 я1в х соя х ех соя х — яш х е 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ 8.1. Обратная матрица и ее свойства Определение 8.1. Пусть А — квадратная матрица порядка и. Квадратную матрицу В того же порядка называют обротпной к А, если АВ = ВА = Е, где Š— единичная .матрица порядка и. Обратную матрицу обозначают А 1.
Она позволяет опрея<лить целую отрицательную степень матрицы А. А именно, для и > 0 полагают А " = (А 1)". Теорема 8.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная. е Предположим, что матрица А имеет две обратные матрицы В и В'. Тогда, согласно определению 8.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства АВ' = Е и ВА = Е.
Используя ассоциативность умножения матриц, получаем В = ВЕ= В(АВ') = (ВА)В'=ЕВ'= В', т.е. матрицы В и В' совпадают. ~ь Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следуюьчий критерий. Теорема 8.2. Для того чтобы квадратная матрица А порядка и имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ! 1А ~ 0.
218 а ОБРАТНАЯ Л4АТРИЦА И РАН1 Л4А7РИПЬ1 М Необходимость. Пусть А с — матрица, обратная к А. Тогда деС(АА с) = деС Е = 1, но, согласно свойству 7.11 определителей, деС(АА ') =деСАдеСА с. Поэтому деСАдеФА с =1 и, следовательно, деФ А ~ О. Достаточность. Пусть деФА ~ О. Рассмотрим алгебраическое дополнение А;. = ( — 1)'+1М;. матрицы А, соответствующее элементу а; (М; — минор этого же элемента). Согласно свойству 7.7 определителей, для любого 1= 1,п выполнены равенства (7А) ~~) а; А; =деФА. 1=1 Согласно свойству 7.9 определителей, для любых индексов й ~ с' выполнены равенства (7.8) и ~аОАьу = О.
1=1 Рассмотрим теперь квадратную матрицу В порядка п с элементами А; деС А Матрица С = АВ имеет элененгпы ось = У а; йуь = Ъ а;~ деФА деФА - '(О, У абАь = 1=1 усц 1=1 т.е. С вЂ” это единичная матрица. Аналогично матрица С' = ВА имеет элементы с~, — — '5 йыас ='5 а; — ' 7 а;,Аь= следовательно, матрица С' является единичной. И. К Обратив« матрица и ее свойства 219 Согласно определению 8.1, матрица В является обратной длиЛ: В=А Следствие 8.1. Если квадратная матрица А имеет обратную, то леФА 1 = (с1е1А) й /(ействительно, деС А ' дел А = оеФ(л 1А) = Йе1 Е = 1. 1ь Квадратную матрицу с ненулевым определителем называ«сс невырожденной или неособой. В противном случае, юн да определитель матрицы равен нулю, ее называют еырожденной.
Итак, для существования обратной матрицы А щ обходимо и достаточно, чтобы сама матрица А была невы- рожденной. Теорема 8.3. Если квадратные матрицы А и В порядка и имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (АВ) 1 = В 1А '. ° я В соответствии с определением 8.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства: (АВ)В 'А ' = Е, (В 1А ')(АВ) = Е. Используя ассоциативность умножения матриц (см. 6.4), получаем (АВ)(В 'А 1) = А(ВВ 1)А ' = АЕА ' = АА ' = Е, (в-'л-') (лв) = в-'(л-'л) в = в-' кв = в-'в = к, что и требовалось доказать. ~ Теорема 8.4.
Если матрица А порядка и имеет обратную, т то и транспонироеанная моторина А имеет обратную, причем (А ) '=(А ') . и Нужно убедиться, что А (А ') = Е и (А 1) А = Е. Ис- пользуя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем А (А ') =(А 1А) =Е =Е, (А ') А =(АА ') =Е =Е. 220 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ 8.2, Вычисление обратной матрицы Применяют два основных метода вычисления обратной матрицы. Первый вытекает из теоремы 8.2 и состоит в следующем.
Пусть дана квадратная матрица А порядка п. Матрицу А", транспонированную к матрице (А; ) алгеораических дополнений, называют присоединенной. Как следует из доказательства теоремы 8.2, если А — невыроэкденная матрица, то обратная к ней имеет вид 1 1 А '= А. Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка и найти обратную матрицу, надо вычислить один определитель порядка п и составить присоединенную матрицу, т.е. вычислить пз определителей порядка п — 1.
Метод присоединенной матрицы эффективен при п = 2 или п = 3, но при росте п становится слишком трудоемким. Пример 8.1. Выясним, имеет ли матрица А=( ) обратную и если имеет, то найдем ее. Поскольку де$А = — 2, матрица А является невырожденной и, согласно теореме 8.2, имеет обратную. Для ее вычисления последовательно находим 1„т 4 — 3 1„4 — 2 2 -3 1 1,5 — 0,5 Отметим, что для квадратной матрицы А второго порядка присоединенная матрица А' получается перестановкой в А диаеональных элементов и изменением знака двух других. 221 8.3. Вычисление обратной матрицы Проверка ответа выполняется в соответствии с определением 8.1 обратной матрицы: 3 4 1,5 -0,5 0 1 1,5 -0,5 3 4 0 1 Второй метод вычисления обратной матрицы состоит в преобразовании исходной матрицы к более простому виду с помощью элементарных преобразований строк. Чтобы найти матрицу А 1, обратную к А, фактически надо решить матричное уравнение АХ = Е.
Отметим, что если над матрицей А выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то это же преобразование осуществляется и над матрицей АХ, поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению ее слева на соответствующую матрицу специального вида (см.
6.8). Таким образом, если в уравнении АХ = Е над матрицами А и Е одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить зто равенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение А1Х = В1. Оба зти матричные уравнения имеют одно и то же решение, так как любое элементарное преобразование строк имеет обратное элементарное преобразование строк. Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы на в-м шаге матрица А превратилась в единичную матрицу. В результате этих в шагов получается уравнение А,Х = В„где А, = Е, т.е. Х = В,. Итак, поскольку А ' является решением уравнения АХ = Е, которое эквивалентно Х = В„то А ' = В,. Чтобы синхронно выполнять преобразования над матрицами в левой и правой частях матричного уравнения АХ = Е, записывают блочную матрицу (А~Е) и выполняют такие элементарные преобразования строк этой матрицы, чтобы вместо Л получить единичную матрицу Е.
222 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ Пример 8.2. Продемонстрируем изложенный метод нахождения обратной матрицы для матрицы из примера 8.1. Для этого записываем матрицу (А~Е) и выполняем элементарные преобразования ее строк в следующем порядке: (2) -+ (2) — 3(1) . Таким образом, 1,5 -0,5 8.3. Решение матричных уравнений Мы рассмотрим два вида матричные уравнений относительно неизвестной матрицы Х: АХ = В и ХА = В, где А н  — известные матрицы, причем матрица А квадратиал и иевыролсдеииол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
