III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ь Основные определенна СЛАУ называют соемесепмой, если она имеет какие-либо реп|ения. В противном случае ее называют несовместимой. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор пилений ее неизвестных всегда является решением. Как покапв пает следующий пример, для неоднородных СЛАУ возможны различные случаи. Пример 9.1. Рассмотрим три системы двух уравнений с двумя неизвестными: а) а х1+хя =3 /х1+хо = 3, ( х1+ хз = 3, х1 — хз=1; ~ ~(х1+хя=4; ~ ~2х~+2хя=6. С геометрической точки зрения уравнения каждой из этих СЛЛУ задают прямые на плоскости х1Охз (рис. 9.1).
Реагниям СЛАУ соответствуют точки пересечения указанных прямых. Складывал почленно уравнения в первой системе, вн1учаем х1 = 2, хя — — 1 — единственное ее решение. Геометри- нч ки зто подтверждается тем, что соответствующие прямые пгрссекаются в единственной точке (2; 1) (рис. 9.1, а). Из урави ний второй системы следует, что 3 = 4. Следовательно, зта ('ЛАУ несовместна, и геометрически зто соответствует двум параллельным несовпадающим прямым (рис. 9.1,6).
Наконец, третья СЛАУ такова, что второе ее уравнение является следствием первого: оно получается иэ первого умножением на 2. Рис. 9.1 244 |9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРА ВНЕНИЙ Геометрически это означает, что уравнения задают одну и ту же прямую (рис. 9.1, в). Следовательно, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют каждому из уравнений системы, т.е. третья СЛАУ совместна и имеет бесконечно много решений. Если СЛАУ (9.1) имеет решение, и притом единственное, то ее называют определенной, а если решение неединственное— то неопределенной.
При т = и, т.е. когда в (9.1) количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадрапгкой. 9.2. Формы записи СЛАУ Кроме координатной формы (9.1) записи СЛАУ часто используют и другие ее представления. Рассматривая коэффициенты а; СЛАУ при одном неизвестном х как элементы столбца, а х как коэффициент, на который умножается столбец, из (9.1) получаем новую форму записи СЛАУ: ап агг аги 61 агг агг аг„йг х1+ . хг+...+ . х„= а ахи г ата или, обозначая столбцы соответственно и,, ..., а„, Ь, (9.2) хгаг +... + х„а„= Ь. Таким образом, решение СЛАУ (9.1) можно трактовать как представление столбца Ь в виде линейной комбинации столбцов ап ..., а„. Соотношение (9.2) называют векпгоркой записью СЛА У.
Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (9.1) стоит сумма наварных произведений — так же, 245 9.3. Критерий совместности СДА У как и в произведении двух матриц. Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (9.1) можно записать так (см. пример 6.5): а „х1 Ь аг» хг Ьг аы агг агг агг а,г атг " а х„ Ь пли Ах = Ь, где А — матрица типа тхп; х — столбец неизвестных; Ь вЂ” столбец свободных членов: Ь, Ь Ь= аы агг ... аг„ хг агг агг ...
аги хг х= а г а г ... а Поскольку А, х и Ь являются матрицами, то запись СЛАУ (9.1) и виде Ах = Ь называют матприиной. Если Ь = О, то СЛАУ нвляется однородной и в матричной записи имеет вид Ах = О. Приведенные рассуждения показывают, что задачи: а) решения СЛАУ (9.1); б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов; в) решения матричных уравнений вида Ах = Ь нвляются просто различной формой записи одной и той же задачи.
9.3. Критерий совместности СЛАУ „Триединство" форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл зто понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны). 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 24б Матрицу аы аш ... аш аз~ азз .. аз„ а ~ а з ... а „ называют магприцей (коэффициентов) СЛАУ (9.1), а мат- рицу Ь, Ь2 аы аю ... а~„ ( 1~ 5) а21 аз2 ° ° аз а ~ а з ...
а расширенной натрицей СЛА У (9.1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ. Критерий совместности СЛАУ дает следующая твеорена Хроненера — Ханелли (Л. Кронекер (1823 — 1891) — немецкий математик, А. Капелли (1855-1910) — итальянский математик). Теорема 9.1.
Для совместности СЛАУ Ах = Ь необходимо и достаточно, чтобы ране ее матприцы А был равен рангу ее расширенной матрицы (А~Ь). < Необходимость. Отметим, что ранг матрицы А СЛАУ Ах = Ь не превосходит ранг расширенной матрицы (А ~Ь). Поэтому нам достаточно показать, что ранг матрицы А системы не меньше ранга ее расширенной матрицы (А ~ Ь). Если система совместна, то, записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных хы ..., х„, для которых а~х~ +... + а„х„= Ь, где а; — столбцы матрицы А, Ь вЂ” столбец свободных членов.
Это означает, что последний столбец Ь в расширенной матрице системы является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Для простоты пусть он содержит 9.3. Критерий совместности СЛАУ троки с номерами 1, 2, ..., Й и столбцы с теми же номерами, тзс аы и1г ... а1л аг1 агг ... агь аы аьг .. ац, Согласно теореме 8.7 о базисном миноре, базисные столбцы лшн.Оно независимы, в то время как для каждого у' > Й суви ствуют такие Л; Е К, г = 1, й, что ау = Лгуаг + " + Ль;аь. !1озтому столбец Ь = а~х~ +... + аьхь+ аь+1хл+1+... + а„х„= = а1хг +...
+ аьхь + (Л1 ь+1а1 +... + Ль ь+1ал) хь+1 + +... -1- (Лгва~ +... + Льоаь)х„ в илнется линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. ')то означает, что М является также базисным минором и и расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, св ли взять какой-либо окаймляющий,нинор М', то либо он будет минором матрицы А, т.е. нулевым, либо он будет содержать толбец Ь и, следовательно, не может быть ненулевым, так как ч о столбцы линейно зависимы). Поэтому КфА ~ Ь) = КбА. Достаточность. Пусть ВфА~Ь) = К8А.
Выберем в А базисный минор М (как и выше). Тогда он будет базисным и и матрице (А1Ь). Значит, столбец Ь можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов аы ..., аь: Ь = х1а1+... + хь~аь. 11олагзя х',+ — — х~+ — —... —— х'„= О, получаем решение х', ..., х'„ исходной СЛАУ, поскольку Ь = х'а1+... + хьаь = х а1+... + хьаь+ бал+1+... + Оао.
'. )то означает, что СЛАУ совместна. ~ а системы линейных уРАВнений 248 9.4. сйормулы Крамера АМЬг+ АМ6г+" + А 16 хг — — оы61+ о1г6г+... + ог„6„— серег А Числитель представляет собой разложение по 1-му столбцу определителя 6! а|г ... аг„ 6г агг ... аг 6„ а г ... а получающегося, если в матрице А заменить 1-й столбец на столбец свободных членов. Аналогично находим, что А дегА' 1=1,п, (9.3) где Ьу — определитель матрииы, получающейся из матрицы А заменой 1'-го столбца на столбец свободных членов.
Таким образом, установлено следующее правило Крамера. Теорема 9.2. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера (9.3). Рассмотрим СЛАУ(9.1) с квадратной невырожденной матрипей А в матричной записи Ах = Ь.
В такой форме СЛАУ представляет собой частный случай матричного уравнения АХ = В при В =Ь и Х = х (см. 8.3). Поэтому она имеет единственное решение ж = А 'Ь, где А г — матрона, обратная к А. Чтобы выразить это единственное решение через коэффиииенты СЛАУ, запишем А ' в виде: А ' = (ол ), где оп = А;/дегА, а А; — алгебраическое дополнение элемента а; матрицы А. Перейдем от матричного равенства х = А гЬ к его координатной записи.
Тогда для первых элементов в столбцах левой и правой частей последнего равенства имеем 249 9.Б. Однородные системы Следствие 9.1. Однороднал СЛАУс квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое. Если матрица СЛАУ не является квадратной невырождениой, то формулы Крамера не работают и приходится исполь,исаать другие методы нахождения решений. 9.5. Однородные системы Следующая теорема описывает важнейшее свойство множетпа решений однородной системы т линейных алеебраинеских йраннений с п неизвестными аых1+ ашхз+...+ а~„х„=О, аз1х1+ аззхз+...+ аз„х„= О, ~9.4) ат1х1 + атгхг + ° .. + ап~ ~хо = О.
Теорема 9.3. Если столбцы хО>, х(4,, х~') — решения >дпородной СЛАУ Ах = О, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы. 4 Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений: х = ~~~ Лу,х<~>, Ля Е К. '! 'огда Ах= А(~ь Лу,х<~>) = ~ь ЛьАх~ ~ =~~) ЛяО=О, ь=1 я=1 ь=1 тл. столбец х является решением однородной СЛАУ Ах = О.~ь Следствие 9.2. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое шение, то она имеет бесконечно много решений.
250 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й Если х — ненулевое решение однородной СЛАУ, то для любого Л Е К решением однородной СЛАУ является и Лх. ~ Естественно попытаться найти такие решения хП1, ..., х1'1 системы Ах = О, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению. Определение 9.1. Любой набор из й = п — г линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ Ах = О, где и — количество неизвестных в системе, а т — ране ее матрицы А, называют фундаменпъальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании н решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице А однородной СЛАУ Ах = О фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.
Теорема 9.4. Пусть дана однородная СЛАУ Ах = О с н неизвестными и К8А = г. Тогда существует набор из й = и — г решений хП1, ..., х1"1 этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений. < Пе ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. расположен в строках 1, 2, ..., г и столбцах 1, 2, ..., т. Тогда остальные строки матрицы А, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, являются линейными комбинациями базисных строк. Для системы Ах = О это означает, что если значения хм ..., х„ удовлетворяют уравнениям, соответствующим строкам базисного минора, т.е. первым г уравнениям, то они удовлетворяют и остальным уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
