III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отметим, что коэффициенты а~ и 6', вычи!и< мые в процессе прямого хода метода Гаусса, при обратном и д! непосредственно используются для определения решения ~ истомы, значит, никаких преобразований расширенной матрицы при обратном ходе вообще выполнять нет необходимости. 10.4. Особенности метода Гаусса Разумеется, изложенный в 10.3 метод пригоден только в ~ом случае, если матрица СЛАУ невырождепа (иначе едииичпал матрица в результате элементарных преобразований широк не получится). Но даже если зто требование выполнено, мы можем на каком-то шаге получить нуль в качестве диагонального элемеи!па, на который необходимо делить.
Это может ~ пучиться даже на первом шаге. Пример 10.2. К системе с расширенной матрицей мы не можем непосредственно применить изложенный алгоритм и вынуждены предпринять дополнительные действия, например предварительно переставить на первое место 2-ю или й и! строку 4 278 Ш. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ Теорема 10.1. СЛАУ Ах = Ь может быть решена методом Гаусса тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы А системы отличны от нуля. 1 Отметим, что элементарные преобразования прямого хода метода Гаусса являются также элементарными преобразова пнями определителей <4.
В результате таких преобразований угловые миноры изменяются, но не меняются ранги соответствующих матриц. Это значит, что угловой минор й-го поряд. ка равен нулю тогда и только тогда, когда равен нулю угловой минор того же порядка верхней треугольной матрицы, полученной в результате прямого хода. Но это возможно лишь я том случае, если один из ведущих элементов равен нулю. Наоборот, если все миноры Ьь отличны от нуля, то и все ведущи< элементы метода Гаусса являются ненулевыми.
~ Сформулированный критерий проверить трудно, может быть, не легче, чем решить саму систему. Поэтому он интересен, скорее, с теоретической точки зрения, чем с практической. Однако в одном важном случае выполнение критерия следует и:< вида матрицы.
Говорят, что в матрице А = (а;,) диагональны< элементы преобладают, если для каждой строки с номером < выполняется неравенство ~а;;) > ~< ~а< ~, (10.1) т.е. каждый диагональный элемент по абсолютной величии< превосходит сумму абсолютных величин всех остальных зле- В практике численных методов диагональные элементы матрицы, на которые в методе Гаусса приходится делить, называют ведуи4ими, или главными.
При каких условиях ведущие элементы не обращаются в нуль? Рассмотрим угловые миноры матрицы А системы, сосрекя доточенные в ее верхнем левом углу: <'.<« = М<<, <лг = М<'я < ° ", 279 10.4. Особенности метода Гаусса и итон своей строки. Такие матрицы называют мапгрн((амн г днаеональным преобладанием. (В< метим, что в матрице с диагональным преобладанием <и ° диагональные элементы отличны от нуля.
Действительно, < <и бы некоторый диагональный элемент ап матрицы равнялся иили<, то из 110.1) следовало бы неравенство 0 = ~а;;) > ~< (а( ~ > О, !'ОФ и <и 0 > О. Теорема 10.2. Если в матрице А преобладают диагональные элементы, то все угловые миноры этой матрицы отличны <и нуля. ° ()тметим, что преобладание диагональных элементов в ма< Р<щс означает, что и в каждом угловом миноре диагональные <а м< нты преобладают.
Поэтому достаточно доказать, что »яр< делитель матрицы с преобладанием угловых элементов от<и и и от нуля. Рассмотрим определитель аы а(г ... а(„ аг! агг ° .. аг а„! асг ... а„„ ! <»<торого диагональные элементы преобладают. Тогда амфО и для его матрицы можно выполнить первый шаг метода Гаус< и. В результате первого шага получим определитель агг а(з ! ! ! агг агз ! 1 ! зг азз ." аз ! ! ! ! ! 1 0 аог аз 280 10.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ с элементами а11 а М= ап а1; аь —— аь — — аы, ап 1'= 2, п. Убедимся, что у нового определителя Ь1 диагональные эле менты также преобладают. Для этого оценим сумму модулей всех элементов Й-й (Й > 1) строки, кроме 1-го (он равен нулю) и й-го (он диагональный): !а~я ! = ~~) !аьз — — 'аы! < ~~) !аьй!+ — ~~) !а11! < (используем преобладание ап в 1-й строке) < ~) !аьз!+ — 1!ап! — !аы!) = ~> !аьй!+ !аы!— «'» з'Ф й !аы!!аы! !ап! (используем преобладание аль в Й-й строке) < !аль! — < аьь — ~ = !аль!. !аы!!аы! ! аыаы! !ап! ап При транспонировании матрицы ее угловые миноры транс.
понируются и потому сохраняют свое значение. Поэтому если Итак, после первого шага прямого хода метода Гаусса преобладание диагональных элементов в матрице сохранилось. Ис пользуя разложение определителя Ь1 по 1-му столбнд, прихо. дим к определителю (п — 1)-го порядка с преобладанием диаго нальных элементов, который является минором определителя Ьп соответствующим единице в верхнем левом углу. Дока зательство завершается методом математической индукции по порядку определителя.
Для определителей первого порядка, т.е. чисел, утверждение теоремы очевидно. ~ 281 1О 4. Осооеииости метода Гаусса а ~ и теме с данной матрицей применим метод Гаусса, то он применим н к системам с транспонированной матрицей. Дру- ~ ими < ловами, метод Гаусса применим к си~темам, в матрицах ь г~ фых диагональные элементы являются преобладающими в ~ ~~абцах. Если метод Гаусса не проходит, т.е.
один из угловых мино- ~ ьч обращается в нуль, то в алгоритм приходится включать ~ ш лннтельные действия, например перестановку строк. С ~ ш лпнтельной перестановкой строк метод Гаусса можно прим пить к любым системам с невырожденной матрицей, и он оид т давать правильное решение в предположении, что все вычю ж пня выполняются точно. Однако, даже если метод Гаусса проходит без модификаций, о г равно могут возникнуть неприятности.
Дело в том, что изса ипнбок вычислений вместо ведущих элементов, на которые ор дгтоит делить, мы получаем лишь их некоторое приближеяп . Значит, вместо теоретического нуля мы можем получить ш ло, хотя и малое, но не нуль. Тогда дальнейшие вычисления и гут привести к переполнению разрядной сетки компьютера, вызванному делением большого числа на малое (это фактически м»жпо расценивать как деление на нуль). Если же переполнеою пе произойдет, то дальнейшие вычисления не будут иметь оикакого отношения к реальному решению. Конечный резуль- ~ ат будет определяться не исходными данными, а причудливой ягр й ошибок вычислений. Пример 10.3.
Система 4х+ Зу = 3, 10х+ 7,51у+ 8х = — 0,49, 2х — у — х= 0 ям ч т решение (О, 1, — 1), в чем можно убедиться непосредг иг и ной проверкой. Применим метод Гаусса, предполагал, что вычисления выя апиются с точностью до четырех значащих цифр. После 282 Ш. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ первого шага получаем матрицу — 7,99 с 1 0,75 0 0 0,01 8 0 — 2,5 — 1 Следующий шаг рассмотрим подробнее. Делим 2-ю строку на ее диагональный элемент 1 0,75 0 0,75 0 1 800 -799 0 -25 -1 -15 и вычитаем ее из 3-й строки с коэффициентом — 2,5.
В последнем столбце мы должны из -1,5 вычесть произведение ( — 2,5)( — 799) = 1997,(5). Заданная точность требует, чтобм мы отбросили последний пятый знак и в качестве вычитаемога взяли число 1997. Вычтя его из — 1,5, получим — 1998,(5) и снопа должны отбросить лишний знак. В итоге получим: с 1 0,75 0 0,75 0 1 800 -799 0 0 1999 -1998 Рассмотренный пример показывает, что дополнительная перестановка строк может помочь и в борьбе с ошибками округления. Действительно, если перед выполнением второгя шага прямого хода переставить 2-ю и 3-ю строки, то, кая показывают непосредственные расчеты, ошибки в результате не появляются, и мы получаем верное решение.
Отметим, чтя указанная перестановка строк перед вторым шагом приводит к матрице системы с преобладанием в строках диагональньм элементов. Деление 3-й строки на ведущий элемент в последнем столбце дает — 0,9995. В результате обратного хода метода Гаусса получаем в качестве решения х = 0,3, у = О,б, я = — 0,9995, чт» значительно отличается от верного решения. 4 10.4.Особенности метода Гаусса 283 !!так, перестановкой строк матрицы в процессе вычислений он н| ьч>ду Гаусса можно улучшить характеристики матрицы и н им~ ить надежность метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
