III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Такую систему координат называют канонической для рассматриваемого эллипса, а соответствующие переменные — канонинескнмн. В выбранной системе координат фокусы имеют координаты г1 (с; О), Рг( — с; О). Используя формулу расстояния между ! <чьпмп, запишем условие (Г<М)+ (ггМ( = 2а в координатам: уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два <вмц<атпых радикала.
Поэтому преобразуем его. Перенесем и ~(4,<поении (11.2) второй радикал в правую часть и возведем и к<<ад!<а!: ( — '(' 4 и' = 4" — 4'<< ((* * 4 4'! ' 4 Р 4 (* 4 '(' 4 и' (! л! раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых и ! ! <! у '! аем Л*4 !'444= 4 (11.3) = с/а. Повторим операцию возведения в квадрат, чтобы (! (ь<ть н второй радикал: (х+с)2+у = а +2еах+е х и (и, учитывая значение введенного параметра е, 2 (а — с) — +у =а — с. 2 2 Х 2 2 2 а2 ! пь как аг — сг = Ьг > О< то х2 у2 — + — =1, а>Ь>0. аг Ьг (11.4) Уравнению (11.4) удовлетворяют координаты всех точек, и <кащнх на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использоппгп< ь неэквивалентные преобразования исходного уравнения ( ! (.2) — два возведения в квадрат, убирающие квадратные ра<и!.,<лы.
Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины 298 ЕК КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях и« проверяли. Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек Р< и Рг, ~Г<гЯ =2с, на пло< кости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точ ках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка г< Рг, при надлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фо кальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс, Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покры вает всю плоскость, кроме точек отрезка Р~Гг.
рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уран нению 111.4) с данным значением параметра а. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой по луосью и. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая пл эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению г г =+==1, 6 =а — с, У г -г г (11Л) аг йг т.е.
уравнения (11.4) и (11.5) имеют общие решения. Однак« легко убедиться, что система хг — + пг хг йг — + уг цг сг =1, У =1 аг — сг при а ф а решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, х из первого уравнения: 1 г у <г =1 — —, аг — сг (аг — сг)аг/ аг ' 11.1. Эллипс 299 ««п<п:ле преобразований приводит к уравнению у с (а а ) (-г г) (аг сг)(аг — сг) пе пм< ющему решений при а ~ а, поскольку (а — с )(а — с ) = 6гЬ > О. 11т«к, (11.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью а > О и п«и<й полуосью 6 = ~/аг — сг > О.
Его называют каноническим уравнением эллииса. Нид эллипса. Рассмотренный выше геометрический спо«<Г< построения эллипса дает достаточное представление о пш шпем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и п <мощью его канонического уравнения (11.4). Например, „><, °, ° ° >->. *:< <>«:*< ... ю,<п довав эту функцию, построить ее график 11Ц. Есть еще 1пп способ построения эллипса. Окружность радиуса а с цен- < ~ <м и начале канонической системы координат эллипса (11.4) ппсывается уравнением х +уг = а .
Если ее сжать с коэффициентом а/6 > 1 вдоль оси ординат, то получится кривая, к т рая описывается уравнением хг+ (уа/6)г = аг, т.е. эллипс. :Замечание 11.1. Если ту же окружность сжать с коэффи«п птом а/6 < 1 вдоль оси ординат, т.е.
У (ыктически растянуть в этом напра- «и пни, то получится кривая, которая 7 ппсывается уравнением (11.4), в ко- ~п<м а < 6. Это тоже эллипс, но в пс « ме координат Оху (рис. 11.3) его ф«кусы расположены на вертикальной п < имметрии. Каноническую системуу координат для этого эллипса можно в<лучить в результате поворота сис- лг < мы Оху на 90', что соответствует ым< пе переменных х' = у, у' = — х. Рис. 11.3 300 Гп КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (Е~ М( = а — кх, (РзМ) = а+ сх, (11.6) и каждое из этих уравнений является уравнением эллипса.
Пример 11.1. Найдем каноническое уравнение эллипса ~ большой полуосью 5 и эксцентриситетом 0,8 и построим его. Зксцентриситет эллипса. Отношение фокзльного рас стояния эллипса к его большой оси называют эмсцентирвсвтепзом эллипса и обозначают через с. Для эллипса, задан ного каноническим уравнением (11.4), я = 2с/2а = с/а. Если же в (11.4) параметры а и 6 связаны неравенством а < 6, ъ фокусы расположены на вертикальной оси симметрии эллипса, с = ~/6з — аз, с = 2с/26 = с/6. При с = О, когда эллипс превращается в окружность, я с = О.
В остальных случаях 0 < с < 1. Если зафиксировать фокусы эллипса и менять его форму, устремляя эксцентриситгч к единице, то в пределе получим отрезок, соединяющий фокусы, который можно назвать вырожденным эллипсом с а = с и 6 = 0 Если же, наоборот, зафиксировать параметр а и устремить: к нулю, то в пределе мы получим окружность радиуса а. Этз предельная ситуация соответствует равенству параметров а и 6 уравнения (11.4). Уравнение (11.3) эквивалентно уравнению (11.4), поскольку эквивалентны уравнения (11.4) и (11.2).
Поэтому уравнени~м эллипса является и (11.3). Кроме того, соотношение (11.Л) интересно тем, что дает простую, не содержащую радикален, формулу для длины ~ ЕзМ~ одного из фокальных радиусов точки М(х; у) эллипса: (РзМ( = а+сх. Аналогичная формула для второго фокального радиуса м жет быть получена из соображений симметрии либо повторени ем выкладок, в которых перед возведением в квадрат уравненин (11.2) в правую часть переносится первый радикал, а не второй Итак, для любой точки М(х; у) на эллипсе (см. рис. 11.2) 301 11.1. Эллипс ;1пая большую полуось эллипса а = 5 и эксцентриситет я = 11,н, найдем его малую полуось 6. Поскольку 6 = х/аз — сз, а :а = 4, то 6 = Л~ — 41 = 3.
Значит каноническое уравнение им< гт вид х~ у~ — + — = 1. 51 3г '1,«и построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с <н итром в начале канонической системы координат, стороны ь т рого параллельны осям симметрии эллипса и равны его «<тветствующим осям 1рнс. 11.4). Этот прямоугольник пер <кается с осями эллипса в его вершинах А1 — 5;О), В15;О), < '(О; — 3), 010; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 11.4 чк<я<аны также фокусы г1 з(~4; О) эллипса. Рис. 11.4 Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое чравнение в (11.6) в виде 1Г<М) = 1а/е — х)е. Отметим, что ве<ичина а/е — х при а > с положительна, так как фокус г< не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой рас- тояние до вертикальной прямой И: х = а/е от точки М(х; у), а жащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать н ниде )Р'1М) а/е — х 302 ГК КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек М(х; у~ плоскости, для которых отношение длины фокального радиус ~ Р~М к расстоянию до прямой И есть величина постояннаи, равная е (рис.
11.5). Рис. 11Л У прямой И есть „двойник" — вертикальная прямая Н', сии метричная Н относительно центра эллипса, которая задает ° уравнением х = — а/е. Относительно ~1У эллипс описывается таь же, как и относительно Ы. Обе прямые Н и ~1У называют дерем. пзрмсама эллмузса. Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фоку сы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/е = аз/с (см рис. 11.5). Расстояние р от директрисы до ближайшего к ней фокус~ называют фомальмььм узорамепзром эллиузсп.
Этот парз метр равен а аз иэ — сз 6з Р= — — с= — — с= Е с с с Эллипс обладает еще одним важным геометрическим своп ством: фокальные радиусы Р1М и РзМ составляют с каса тельной к эллипсу в точке М равные углы (рис. 11.6). Прежд. ООЗ 11.1. Эллипс ~ м д казывать это, убедимся, что касательная к эллипсу суин ~ о~от н любой его точке.
Рассматривая у как функцию от х, огапцо заданную уравнением (11.4) (1Ц, и дифференцируя его: ' ~ /о1+ 2уу'/Ь2 = О, находим производную у'(х) = — хЬ /(уа ), У~О. Рис. 11.В Видим, что для всех точек эллипса, кроме вершин 4 и В, ороизводнал, а значит, и касательная существуют. Найдем ее ~ раопение в произвольной точке М(хо, уо) эллипса. Воспользоооп~пись уравнением касательной у — уо = у (хо)(х — хо) о графику функции у = у(х) в точке М, получим хоЬ у — уо = — — 2(х — хо) уоа2 очи ха о ууо хо уо 2 2 + — + а' Ь2 а' Ь2 ' 304 Кс КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА т.е ххо ууо — + — =1 аг ьг 1 поскольку координаты точки М удовлетворяют уравнепю (11.4) эллипса.
Касательные в вершинах А и В также суи~ ствуют, в чем можно убедиться, рассматривая х как неявпу~ функцию у. Полученное уравнение касательных распространи ется и на касательные в точках А и В. Нормальным вектором касательной к эллипсу является еи ь тор и с координатами (хо/аг;уо/6г). Утверждение, что ф кальные радиусы РгМ и РгМ составляют с касательной ~ эллипсу в точке М равные углы, эквивалентно утверждению о параллельности нормального вектора касательной и бис. се трисы МЮ угла РгМРг (см. рис. 11.6).
Убедимся в том, и последнее верно для любой точки М эллипса. Рассмотрим вгь торы Лг Л$ и г й~. Векторы п1 = ~ггЛ1~Р Л1 и пг = ~г Л$~ 1"г Л) коллииеариы векторам Р~Л1 и ггХ~ и имеют одинаковую длину равную ~Р'~Л1~ ~М~. Поэтому их сумма п1+ пг представлг ет собой диагональ построенного на них ромба, являющуки г как известно, биссектрисой внутреннего угла ромба. Танин образом, согласно теореме 1.8, достаточно доказать пропоров ональность координат вектора пг+ пг и нормального вектор; и касательной, что следует из равенств ~ Рг Л~~ ) Ю'~ + ( Й Л~ ) ~г Л~ = = (а+ ехо)(хо — с; уо) + (а — ехо)(хо+ с; уо) = = ((а+ ехо) (*о — с) + (а — ехо) (хо+ с); 2ауо) = сг '~ = (2ахо — 2сехо; 2ауо) = 2а 1 — — ) хо' уо аг) 6г =2 ( —,*;у)=2 ь'1 —,; —,). Доказанное геометрическое свойство имеет наглядный фи знческий смысл.
Если в фокусе Лг расположить источник свет, 305 >ЬЗ. <'впербол<> то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после <> гражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса Р>, сконцентрируются во втором фокусе гз, и наоборот. Исходя из данной интерпретации доказанное свойство называют окгкическим своя1стввом эллипса. 11.2.
1"ипербола Определение 11.2. Геометрическое место точек плоско< ти, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постояннал, называют еииерболоб. Замечание 11.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. ф Определение гиперболы аналогично определению эллипса. Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
