III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оптическое свойство означает, что в любой точке М параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом МГ и осью абсцисс одинаковые углы. Проверим это. Выберем произвольную точку М1хо; уо) па параболе, описываемой уравнением 111.16).
Рассматривая н !!. !. Неполные уравнения кривой второ! о и»рояля луЛ ! ря ииепии (11.16) переменное х как функцию у (х = уи/(2р) ), он ниии м уравнение касательной в точке М: х — хо — — х'(уо)(у у!,). 16 ь»льку х' = у/р, то х'(уо) = уо/р.
Подставляем выражено! ! !я производной в уравнение касательной х — хо = уо(у — у!)/р я н»лучаем рх — рхо = уоу — уо. Координаты точки М уд»и и пн!ряют уравнению параболы, т.е. уоз = 2рхо. Значит, уран ю ии! касательной можно записать в виде рх — уоу+рхо = О. П» уравнению касательной на° дим ее нормальный вектор в чко М: п = 1р; — уо1. Убедим- я, что этот вектор коллинеа)и и вектору МФ+ )МГ) е, который направлен вдоль биссектри- и у гла, образованного прямым и !еграженным лучами (е — орт, и!,!)и!о!ций направление оси Ох).
()тмстим, что, согласно (11.15), рюттояние МГ равно хо+ р/2. Рис. 11.19 П .!тому М Р+ ) МЕ) й = 1 — — хо; — уо) + (хо + р/2Н1) й = (р; — уо)! !р 12 !.о.:>тот вектор совпадает с выбранным нормальным вектором ьв! ательной. 11.4. Неполные уравнения кривой второго порядка Если в уравнении Ахх+Вху+Су +Вх+Еу+Г=О, А +В +С фО, (11.17) кривой второго порядка на плоскости либо В = О (нет слагаемог ! произведением переменных), либо А = С = О (нет слагаемых квадратами переменных), то такое уравнение называют мемолмым. Гь КРИВЫК ВТОРОГО ПОРЯДКА Неполное уравнение второго порядка при помощи парил лельного переноса системы координат и, возможно, дополни тельного поворота системы координат на плоскости на уг ~ ~ к/2, — к/2 или к можно преобразовать либо в каноничссю уравнение эллипса, либо в каноническое уравнение гиперболы, либо в каноническое уравнение параболы, либо в уравнена< .
ч перболы в асимптотах. Кроме того, есть особые случаи, ко~ л уравнение не сводится ни к одному из вышеперечисленных (ел~ чаи вырождения кривой второго порядка). Замечание 11.4. Поворот системы координат на плоск сти Оху на угол я-/2 ( — к/2, к) соответствует введению ноны переменных х=у, у= — х, (х= — у, у=х; х= — х, у= — у1 Такие замены переменных удобно называть переобоэначени.
лми переменных. Рассмотрим преобразование неполного уравнения крив и второго порядка. Если уравнение второго порядка не содержи ~ слагаемого с произведением переменных (В = 0), то для сч преобразования используют выделение полного квадрата и каждому из переменных, которые входят в уравнение во второй и в первой степени. Напомним, что для квадратного трехчлеил ах + Ьх+с, а ~ О, выделением полного квадрата по х называнп следующее его тождественное преобразование: ах +Ьх+с=а х + — х(+с=а~х +2 — х+ — — — ~+с= а / ~, 2а 4аз 4аз/ Ь Ьз ~ Ьз = а ~ х + 2 — х+ — ) — — + с= а(х — хо) + д, 2а 4аз/ 4а где хв = — Ь/(2а); д = с — Ь~/(4а). При В = 0 возможны три варианта. 1.
В первом варианте при А ~ 0 и С ~ 0 уравнение (11.!7) путем выделения полного квадрата по х (при В ф 0) и по у (при Е ф 0) приводится к виду А(х — хв)э+ С(у — уо)~ = Е', (11.1н) ЫЛ.Неполные урввненнв кривой второго порвдки 325 где р Е Ог сг хо = — — уо = — — г' = -" + — + —. 2А' 2С' 4А 4С Если в (11.18) Г' ~ О, то, введя обозначения аг = )Р'~/)А~, Ьг = )Г')/)С~ и учитывая знаки коэффициентов н (11.18), приходим к одному из следующих четырех уравнении: (х — хо) (у — уо) а Ь г г (х — хо) (у — уо) — — = -1 а2 Ь2 (х — хо) (у — уо) аг Ьг г + г (х — хо)2 — + — — -1 а2 Ь2 Геометрическим образом последнего уравнения является пу<тое множество, которое иногда называют мнимым эл гипсом.
Первое (второе, третье) из этих уравнений называют смеи4енным уравнением еиперболы (сопрлженноб еиперболы, эллипса), поскольку после параллельного переноса системы координат < г х =х — хо, у =у — уо и новых переменных эти уравнения примут соответственно вид аг Ьг Отметим, что среди последних трех уравнений канонический вид всегда имеют первые два и третье (при а > Ь) уравнения.
< < Аналитическая геометрия (х') аг <)г аг ( ')' (у')2 — =1 Ь2 (у<)г — = — 1 Ьг (у<) 2 — — 1. 326 1К КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если же в последнем уравнении а и о удовлетворяют неравен ству а < О, то это уравнение примет канонический вид посл> переобозначения переменных х = у', у = -х'. Если в уравнении (11.18) Е> = О, то оно имеет вид А(х — хо)э+С(У вЂ” Уо)з = О. Геометрическим образом этого уравнения при АС > 0 буд»" точка с координатами (хо, уо), а при АС < 0 — пара пересеки ющихся прямых ДА/(х — хо) ~ ЛСНу-уо) =О.
2. Второй вариант соответствует А ф О, С= О. При Еф О, т.е. когда в уравнении присутствует слагаемое с у в первой степени, выделяем полный квадрат по переменному х (при Р ф 0). Перенеся затем остальные слагаемые в правую часть, получим А(х — хо) =-Еу+Е>> где хо — — -Р((2А); Е> = Рз((АА) — Е. В результате приходим и уравнению А(х — хо) = -Е(у — уо)> где уо = Г>(Е.
Полагая р = ~Е)/(2~А~), найдем слленленнос УРавнение паРаболы (х — хо)з = 2Р(У вЂ” Уо) (пРи АЕ < 0) или (х — хо)з = — 2Р(У вЂ” Уо) (пРи АЕ > 0). После паРаллельног переноса системы координат > > х =х — хо, у =у — уо эти уравнения сводятся к (х>)~ = 2ру' и (х>)з = — 2ру' соответ ственно. Наконец, полученные уравнения преобразуются в ки ионическое уравнение параболы уз = 2рх после переобозначени и переменных х = у', у = — х' и х = -у', у = х' соответственно, Если в этом варианте слагаемое с у в первой степени и уравнении отсутствует (Е = 0), то уравнение имеет вид Ах +Рх+Е=О, А~О, Ь Ь4.
Неполные уравнение кривой второго п«рвявв :127 . ИНЛЯптСЯ КВаДРатНЫМ ОтНОСИтЕЛЬНО Х. Эта ОДИП ИЗ <<<4<и к<ь< нных случаев, поскольку (11.17) является уравн< пипм <ьтно пт< лоно одного переменного. Выделение полного квадркта и < е«м случае сводит уравнение к одному из трех видов: (х — хо) = — а, (х — хо) = а, (х — хо) = О, < .„= — Р<(<А), =Д-гьР <«АЬ<ф<. и р ь рноиеннй описывает на плоскости пару параллельных прямых < хо ~ а, которые во втором случае сливаются в одну прямую то. Третье уравнение задает на плоскости пустое множетоо (уравнение пары мнимых параллельных прямых).
3. Третий вариант А=О, Сфб аналогичен второму (сво<ит<.я к нему переобозначением переменных х = у, у = -х). !О<отому при Р ф. О, т.е, когда в уравнении присутствует «<агаемое с х в первой степени, выделяя полный квадрат по и ременному у (при Е ф О) и перенося остальные слагаемые в правую часть, находим С(у — уо) = -Рх+ г', < де уо —— — Е/(2С) Г' = Е~/(4С) — Е. В результате приходим к цньвнению С(у — уо)' = -Р(х — хо), х =х — хо, У =У вЂ” Уо первое из этих уравнений преобразуется в каноническое уравнение параболы (у<)з = 2рх', а второе сведется к уравнению (у')" = — 2рх'. Последнее уравнение преобразуется в канониче< юи уравнение параболы УЯ = 2рх после переобозначения перем<ппых хее — х У= 1/ ° <дг хо — — Г</Р. Полагая р = ~В(/(2)СО, мы опять получим гмещеммое уравмемме параболы (у — уо)з = 2р(х — хо) (при < '/) < О) или (у — уо)~ = — 2р(х — хо) (при СР > 0).
После параллельного переноса системы координат 328 ГЬ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если в этом варианте слагаемое с х в первой степени и уравнении отсутствует (В = 0), то уравнение имеет вид Су~+ Еу+ Е = О, С ф О, (у — уо)' = а', (у-уо) =О, (у-уо) = -а, д у =-е/ос); = д-Ргед4С\~~0. т случае получаем пару параллельных (различных, совпадающих, мнимых) прямых, параллельных оси Ох. Рассмотрим случай, когда в уравнении (11.17) отсутствуют квадраты переменных, т.е. оно имеет вид Вху+ Рх+ Еу+ Е = О, В ~ О. (11.19) Такое уравнение можно привести к виду (х — хо)(у — уо) + г'~ = О, где хо — — — Е/В; уо — — Р/В; Е' = Š— хоуп. Полагая ~Е'! = аз/2, в зависимости от знака Р приходим к одному из уравнений а2 аз (х — хо) (у — уо) = —, (х — хо) (у — уо) = — —. (11.20) 2' 2 Если а ф О, мы получаем смещенное уравнение гиперболы в асимнтионзах.
Название отражает то, что после параллельного переноса системы координат х' = х — хо, у' = у — уо уравнение превратится в уравнение гиперболы в асимптотах х'у' = аз/2 или в уравнение сопряженной гиперболы в асимптотах х'у' = — аз/2. Если а = О, оба уравнения (11.20) будут одинаковы, нх геометрическим образом будет пара пересекающихся прямых х =хо и У=уо. т.е. является квадратным относительно у. Это тоже один из вырожденных случаев, в котором выделение полного квадрата по у дает уравнение одного из трех видов: 1 Ь4. Неполные ураяпеппя мрпяой второго порядка 329 Несложный анализ приведенных преобразований неполного ~ равнения кривой второго порядка показывает, что при АС > О, В О геометрическим образом уравнения могут быть лишь мнпс (окружность при А = С), точка или мнимый эллипс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
