III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 44
Текст из файла (страница 44)
11.9. Доказать, что в полярных уравнениях кривых второго порядка знаменатели не обращаются в нуль. 11.10. Найти каноническое уравнение кривой второго порядка по ее полярному уравнению: 15 15 а) р=; б) р= 5 — Зсов~р' 3 — 5сов~р' 5 в) р= —. 1 — сов ~р 11.8. Составить уравнение параболы, если ее фокусом является точка (2; — 4), а директрисой: а) ось ординат; б) ось абсцисс; в) прямая у = 8. 12.ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 12.1.Поверхность вращения и преобразование сжатия Поверхность вращения.
Простейшие поверхности в про- транстве — зто плоскости. Они являются геометрическими образина уравнений первой степени от трех переменных. Друг»й достаточно простой тип поверхностей составляют поверхп»стн вращения. Определение 12.1. Поверхность й называют поверхнос тью ершцения, если она образована окружностями с центрами на некоторой прямой Ь (оси вра»и ния), которые расположены в плоскотях, перпендикулярных Ь (рис.
12.1). Уравнение поверхности вращения й имеет наиболее простой вид, когда кама- ло О прямоугольной системы координат ли жит на оси вращения, а ось Ог совпадает с ней. Пересечение поверхности й координатной плоскостью Охг — зто ш которое множество з (рис. 12.2), вращение которого образует й. Ь Предположим, что множество 5 в ри плоскости Охг описывается уравнением ~в(х,х) = О. Рассмотрим произвольную точку М(х; у; г).
Она удалена от оси Ог на расстояние д= ~/хг+уг. Если точка М лежит на поверхности вращения й, то точки М~(х~,О; х), 1 1г(хг, 0; х) с той же аппликатой х, что и М, и абсциссами х~ =д, зло пь повярхности второго порядкл хг = — Н принадлежат множеству 5. Поэтому 0 = уг(хмг) = уг(д,г) = уг(г/хг+ уз,г), 0 = уг(хг,г) = ~р( — д,г) = уг( — ~/хг+ уз,г) и условие М е Й сводится к тому, что координаты точки М удовлетворяют равенству ~р(~4хг+ у' г) =О. (12П) Уравнение (12.1) и есть уравнени егг поверхности Й, которая образова на вращением подмножества 5 = =((х; х): уг(х, г) = 0), расположен ного в координатной плоскости Охг.
Из уравнения множества,'~' уравнение (12.1) соответствуя~ щей поверхности вращения полу Рис. 12.2 чается заменой х на ~~/хг+ уг. Преобразование сжатия. Под иреобраэоеакиелг сжокгил к координатной плоскости Охг мы понимаем такое пре. образование, при котором точка М(х; у; г) смещается в точку М'(х; у/й; г), к > О. Параметр й называют коэффициентпом сжатия. При й > 1 точки пространства, расположенные пг одной прямой, перпендикулярной плоскости Охг, в результа те такого преобразования сближаются, т.е. преобразование— действительно сжатие.
При 0 < Й < 1 преобразование фактичо ски является растяжением. Пусть в пространстве в прямоугольной системе коорди нат Охуг некоторое множество Я задано своим уравнением г(х,у,г) = О. При преобразовании сжатия к координатной плоскости Охг с коэффициентом к это множество превратит ся в новое множество Я' с уравнением Г(х,ку,х) = О. Это следует из того, что точка (х; у; г) тогда и только тогда при. надлежит множеству Я', когда точка (х; Йу; х) принадлежит множеству Я.
:14 ! 12.3. Эллин чтдн 12.2. Эллипсоиды х2 22 — + — =1 а2 Ь2 Исли в этом уравнении заменить х на ~~/хх+ у2 (см. 12.1), то получится уравнение 2+ 2 2 — + — — 1 а2 Ь2 соответствующей поверхности вращения. Итак, эллипсоид вращения с осью вращения Ох описывается уравнением х2 у2 22 — + — + — =1 а2 а2 Ь2 (12.2) Рис. 12.4 Рис. 12.3 Поверхность, которая получается прн вращении эллипса вокруг одной из его осей симмеьприи, называют эллипсоидом враиаенил (рис. 12.3) Уравнение эллипсоида вращения выведем, расположив начало прлмоуеольной системы координат в центре эллипса и совместив ось аппликат Ох с осью вращения, а координатную плоскость Охг — с плоскостью эллипса (рис. 12.4). Тогда уравнение эллипса будет иметь вид 342 иь поверхности второго порядкл Применив к зллипсоиду вращения преобразование сжатая ь координатной плоскости Ох», получим эллипсоид общего ви да.
Если к — коэ44ациент сжатая, то уравнение эллипсоидв будет иметь вид хг ьгдг »г — + — + — =1, аг аг ьг или, после переобозначения параметров, х д» вЂ” + — + — = 1. а» вг сг (12.3) Рис. 12.5 При совпадении каких-либо двух полуосей 1как, например, в уравнении 112.2)) эллипсоид является поверхностью вращении (эллипсоидом вращения). Если равны все три полуоси 1а = в = = с = г), то эллипсоид превращается в сферу радиуса г, котораи описывается уравнением х +у +» =г. Уравнение (12.3) задает поверхность второ»о порядка. Его называют иамоиииеским уравиеиием эллиисоида.
Три па раметра а, в и с, входящие в него — это полуоси эллиисоида 1рис. 12.5). Если все три полуоси эллипсоида попарно различны, то эллипсоид называют трехосиым. 343 12.3. Гиперболоиды 12.3. Гиперболоиды При вращении гиперболы вокруг одной из ее осей симмтнрии получается поверхность, называемая гилербояоидом вращения. Выбор оси вращения влияет на тип гиперболоида. Если осью вращения является действительн л ось сим.кетрии .
ннерболы, то поверхность вращения будет состоять из двух ч'атей (полостей). Это двуиолостиый гиперболоид вращения (рнс. 12.б). При вращении гиперболы вокруг ее мнимой > и симметрии поверхность будет состоять из одной полости (рис. 12.7). Такую поверхность называют однопогостиым ипербояоидом вращения. Для вывода уравнений гиперболоидов вращения расположим нрлмоугольную систему координат так, чтобы ось вращения, внляющзяся осью симметрии гиперболы, совпадала с осью ттликат Ог, а сама гипербола располагалась в координатной плоскости Охг с иентром в начале системы координат. Для случая двуполостного гиперболоида вращения уравнение гиперболы будет иметь вид ,г г — -1 аг 6г Рис.
12.7 Рис. 12.6 344 22, повкрхности второго порядкл Заменив в нем х на ~~/х~+ уг (см. 12.1), получим уравнение уг 22 — + — — — = — 1. аз аз ог (12 4) В случае однополостного гиперболоида вращения гиперболя будет описываться уравнением хг — — — = 1. а2 62 Опять меняем х на радикал ~ /хг+уз, получаем уз 22 — + — — — =1 аг аз Ег (12,9) и — + — — — = 1. а2 а2 $2 Д ьгуг — + — — — = -1 аг аз Ьг После переобозначений параметров зти уравнения преобразу ются в каноническое уравнение двуполостпного(рис.12.Н) 2 2 2 — + — — — = — 1 а2 й2 с2 (12А)) и однополостпного (рис. 12.9) гиперболоидов хг уз 22 — + — — — = 1.
а2 $2 с2 (12.7) уравнение однополостного гиперболоида вращения. Гиперболоиды вращения преобразованием сжатия к каор дннатной плоскости Охя превращаются в двуполостпныб и однополостпныт1 гиперболоиды общего вида. При коэффициеноте сжатпил Й нх уравнениями будут соответственно 345 12.4. Эллиптические параболоияы Как видно из уравнений (12.6), (12.7), оба гиперболоида являя~тел поверхностями второго порядка. Рнс.
12.8 Рис. 12.9 12.4. Эллиптические параболоиды При вращении параболы вокруг ее оси получаем парабояоид враилекия (рис. 12.10). Чтобы найти его уравнение, выберем прямоугольную систему координат, направив ось Ох по оси вращения и совместив координатную плоскость Охх с плоскостью параболы. Пусть при этом парабола описывается уравнением хз = 2рл, р > О. Тогда для получения уравнения поверхности вращения нужно заменить в этом уравнении х на 1 /хз+уз (см.
12.1): 2рх = х~+ у~. Преобразование сжатия параболоида вращения к коордииатной плоскости Охг с коэффициентом й дает поверхность 346 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА более общего вида — эллиптпический параболоид, уравнением которого будет 2рг = хг+ ьгуг После переобозначения параметрон получаем каноническое уравнение эл типтпического пвраболоида хг уг — + — = 2х. (12.8) аг ег Рис. 12.10 Видим, что эллиптический парабо- лоид является поверхностпью втпорого порядка. При а= в он превращается в параболоид вращения.
12.5. Конусы При вращении прямой А, пересекающейся с осью вращения, образуется пр»мой круговой конус (рис. 12.11). Точка пересечения вращающейся прямой с осьн~ вращения остается неподвижной, ее называют вертминой конуса. Как и ранее, уравнение будем выводить в прямоугольной системе координат, ось Ох которой совпадает с осью вращения, а начало системы координат — с вершиной конуса. Ось Ох расположим так, чтобы прямая Ь находилась в координатной плоскости Охх и описывалась уравнением х = ктх. В этой системе координат уравнение поверхности вращения полунаРис.
12.11 ется из уравнения прямой заменой х на 12.6. Цнлнндрнчегнне поверхности ! ~Й~+уг (см. 12.1). В результате такой замены получаем : =- ~й1 ~/хг+ уг. Возведя уравнение в квадрат, придем к сооти цпенню 22 = Йгг(хг+уг), а разделив его на сг = йггаг, получим наноническое уравнение ирлмоео круеовоео кокуса хг уг 22 — + — =— а2 а2 с2' Преобразование сжатия прямого кругового конуса к координатной плоскости Охг с коэффициентом к дает эллиптический конус.
Его уравнение имеет вид г ьгуг г + 1 а2 а2 с2' или, после переобозначения параметров, хг уг 22 — + — =— аг ьг сг' (12.9) Уравнение (12.9) называют каноническим уравнением эллвнгпическоео конуса. Эллиптический конус при а = о совпадает с прямым круговым конусом, и оба они являются поверхностями второео порядка. 12.6. Цилиндрические поверхности При вращении прямой вокруг оси вращения, параллельной : той прямой, образуется поверхность, которую называют круеовым цилиндром (рис. 12.12). Эта поверхность является ~астным случаем цилиндрической поверхностно, получаюгцейся при движении прямой в пространстве, которая остается параллельной своему исходному положению (рис.
12.13). Если ца движущейся прямой фиксировать точку, то она опишет кривую, которую называют направллюв4еб цилиндрической поверхности (см. рис. 12.13). Можно также сказать, что цилиндрическая поверхность представляет собой множество 348 пь понятности второго порядкл точек на прямых, параллельных фиксированной прямой. Эти параллельные прямые называют обраэуюилими цилиндрической пооерхносяпи. Рнс. 1г.1г Рнс. 1г.1З В качестве направляющей цилиндра можно взять любу~ кривую, образованную пересечением цилиндрической поверя ности с плоскостью, не параллельной образующим. Выберем прлмоуаольную систему координат так, чтобы образующи цилиндрической поверхности были параллельны оси Ог.
В ка честве направляющей выберем кривую, являющуюся пересе н нием цилиндрической поверхности с координатной плоскостьь~ хОу (рис. 12.14). Рис. 1г.14 349 12ЛЬ Циаиидричесиие поверхности Направляющая в плоскости хОу описывается некоторым травнением двух переменных <р(х,у) = О. Точка М(х; у; «) лежит на цилиндрической поверхности тогда и только тогда, когда ее абсцисса и ординатпа (фактически координаты точки М(х; у; 0) на плоскости хОу) подчиняются уравнению направля<ощей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
