III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Итак, искомое уравнение имеет вид хз уз — — — = 1. 42 32 !!остроим прямоугольник, соответствующий заданной гин рболе (рис. 11.13). Продолжим его диагонали до асимптот < яю рболы и построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот я на<оотся у = ~3х/4, вершины находятся в точках ф4; О), а фоь я ы совпадают с точками (~5; О). 314 Кь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рис.
11.13 Геометрические свойства. Геометрические свойств: гиперболы во многом повторяют свойства эллипса. Вернемся к формуле (11.7). Она эквивалентна каноническому уравнении гиперболы и дает выражение для длины фокального радиол .РзМ ее точки М(х; у): где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а зная минус — левой. Аналогично можно получить формулу для длины другог фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал При этом вместо 111.7) получим откуда ~ГМ(= Д* — ) +у = ~(~ — ь (11.12) 315 ~ ~!с, как и в (11.11), знак плюс соответствует правой ветви ~ япгрболы, а знак минус — левой.
Каждое из уравнений (11.11), ! ! !. !3) является уравнением гиперболы. !'ипербола не проходит через свои фокусы (при О < а < с). !! с тому фокальные радиусы любой ее точки М имеют ненуи вую длину, т.е. (Р~М( ~ О и ~гзМ! ~ О. Но тогда в (11.11) и ! ! !. !3) правые части тоже отличны от нуля, и эти уравнения ~ нперболы можно переписать в следующем виде: ~г1М) !х — а/е) (Г2М~ !х+ а/е~ (11.13) Рнс. 11.14 !'ассмотрим прямую д'. х = — а/е (рис. 11.14). Выражение ! а/б! представляет собой расстояние от точки М(х; у) до прямой дУ. Аналогично выражение ~(х — а/е) равно расстоянию а/б! от точки М гиперболы до прямой И: х = а/е.
Поэтому я~ уравнений (11.13) следует, что гипербола состоит из таких ъ к, для которых отношение расстояния до фокуса гз (фоьхсв Г,) к расстоянию до прямой и" (прямой д) есть величина ю стоянная, равная ее эксцентриситету б. Эти две прямые Ы и !' называют директрисами еиперболы. 1Е КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Геометрически директрисы определяются как прямые, пер пендикулярные действительной оси симметрии гиперболы и удаленные от ее центра на расстояние, равное отношению дей ствительной полуоси к эксцентриситету. Расстояние р от директрисы гиперболы до ближайшего ь директрисе фокуса, как н у эллипса, называют фокальным параметром еиперболы.
Отметим, что а аг сг аг ог р= =с — — =с — — = с с с Гипербола также имеет и оптическое свойство, авали гичное оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, чти лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближаи шей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли и. другого фокуса (рис.
11.15). Рис. 11.15 Оптическое свойство гиперболы доказывается примери~ так же, как и эллипса. Это свойство эквивалентно утвержди нию о параллельности направляющего вектора касательной и точке М(хо, .уе) гиперболы и биссектрисы угла ГгМГг. Уб димся в этом. Вычислим вектор, направленный по биссектрис угла Г~МРг, и сравним его с направляющим вектором кави тельной. 317 11ла Пшербола !!усть точка М гиперболы не является ее вершиной. Расм трим функцию у от х, неявно заданную уравнением (11.8).
,1 ифференцируя (11.8), получаем 2х/аз — 2уу'/6~ = О, откуда на«дим производную у'(х) = х6 /(уа ). ~ рашн.ние касательной в точке М можно записать в виде у — уо = у'(хоЦх — хо). !! 6Э тавив выражение для значения производной в точке М, «~мучим хоЬ у — уо = з(х — хо) Уоа иеи ххо Ууо хо Уо з г аз 62 а2 62 ' ч ео приводит к уравнению касательной ххо УУо — — — =1 а2 62 ю кольку координаты точки М удовлетворяют уравнению ! ! !.м) гиперболы. Это уравнение справедливо и для касатель«ич к гиперболе в ее вершинах, которые в этих точках вер- ~ ииальны. Следовательно, в качестве направляющего вектора ию отельной к гиперболе можно выбрать вектор л с координа««ж и ( уо/Ьз; хо/аз ) .
!'ассмотрим векторы Р Л$ и Г~Л«. Векторы а1 — — ~РзЛ1!г1Х~ и «, = ~Р1Ж~~РзЛ$ коллинеарны векторам КЛ$ и гол и имеют !«пиковую длину, которая равна ~.~~А~~!Я$!. Поэтому их ульи« п1 +тез представляет собой диагональ построенного на «ия ромба, являющуюся, как известно, биссектрисой внутрен- 318 Ы, КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА него угла ромба. Вычисляем эту сумму: (гЯ(гЯ+ )Я лФ)ЮФ = = (схо+ а)1хо — с; уо) + (схо — а)(хо+ с; уо) = = ((схо + а) (хо — с) + (ехо — а) (хо + с); 2схоуо) = 1угог =(2 — 2 .;2*у~=2 ( —; у~=2 ( —; ю)= Видим, что этот вектор коллинеарен вектору л. Гипербола, приведенная к аснмптотам. Если у гипер болы совпадают действительная и мнимая полуоси, т.е.
а = 6, то угол между асимптотами равен 2 агс18(6/а) = 2 агс18 1 = х/2, т.е. является прямым. Такую гиперболу называют ровмобочмоб. Для нее кроме канонической системы координат, н которой оси координагп совпадают с осями симметрии гипер болы, рассматривают также и другую, осями которой являютсп асимптоты. Выведем уравнение гиперболы в этой системе ко ординат, которую обозначим Оху. Пусты, у — ее репер, а г', у' — репер канонической системы координат Ох'у' (рис.
11.16), Каноническая система координат повернута относительно системы Оху на угол х/4. Поэтому (см. 3.2) ~/2, ~/2, г = — г+ —,г, 2 2 ~/2, ~/2 . — г+ — у. 2 2 Значит, координаты х', у' канонической системы координач выражаются через координаты х, у с теми же коэффициентами: х/2 ~/2 х = — х+ — у, 2 2 х/2 х/2 у = — — х+ — у. 2 2 319 11.г. Пюпербола Уравнение равнобочной гиперболы в канонической системе ьоординат имеет вид (х')г — (у')г = аг, где а — действительная (опа же мнимая) полуось гиперболы. Заменив в зтом уравнении канонические переменные на х, у, получим — (х+ у) — — (х — у) = а, г 1 г г 2 2 я!!и аг ху = —.
2 (11.14) Уравнение (11.14) называют уравкемаем еиперболы в асамппгопгах. Рнс. 11.1В Замечание 11.3. Уравнение аг ху= —— 2 гадает сопряженную гиперболу для равнобочной гиперболы ( ! !.14). Пример 11.3. Найдем координаты вершин, фокусов и яравнения асимптот гиперболы ху = — 8 и построим ее. Рк КРИВЫЕ ВТОРОГг К данное уравнение является ура ~~~ в асимптотах длх сопряженной равнобочной гипербол ~Е1~~'х~Е~ У " - М-" гиперболы — аз/2 = — 8, позтому аз ехе а= 6= 4. Но тогда / а аз + и 2 ~ / 4 4 з + 4 2 4 Я и у ч н ~ ~ х / б о з н а ч е н и Я в е Р и и фокусов, находим: А( — 2~/2; 2Я) т"1~,' ' '" х' Рз(4; -4) (рис.
11.17). ю ~ х Рис, ы.1 ~ 11.З. Пара„ Рассмотрим на плоскости пряье этой прямой. И эллипс, и еипер~, единым образом как геометричесес, отношение расстояния до данной тх прямой есть постоянная величина. эллипс, а при е ) 1 — гипербола., Пентриеитетом как эллипса, так положительных значений парамет1 зывается незадействованным. Эт, , не лежащую пи нть определены я«, яля которых хенню до данно« < 1 полу чаете х яеляется эхе ~ Из возможных ианео е = 1, о«н х соответствует 02! 1ьЗ.
Парвбола > п<>м< трическое место точек, равноудаленных от дипп<>М т<>чьп и >т данной прямой. Определение 11.3. Геометрическое место то и к, рапп< >дал< нных от фиксированной точки и от фиксированной пря и и>, называют караболой. <1>пксированную точку называют фокусом караболы, и прямую — директрисой параболы.
При этом полагают, чт<> .>ксцеио>риситет параболы равен единице. Из геометрических соображений вытекает, что парабола > пмметрична относительно прямой, перпендикулярной дирек> рп< с и проходящей через фокус параболы. Эту прямую назып»от осью симметрии параболы или просто осью иараболы. Парабола пересекается со своей осью симметрии в единствени >й точке. Эту точку называют веригиной иараболы. Она рпг>н>ложена в середине отрезка, соединяющего фокус парабоеп> г точкой пересечения ее оси с ее директрисой (рнс. 11.18).
Уравнение параболы. Для У пмпода уравнения параболы выргм на плоскости начало ко- <1 рдппат в вершине параболы, в > н и гтве осп абсцисс — ось парагп л и, положительное направле- 7 пиг на которой задается поло<ю пнем фокуса (см. рис. 11.18). >гу систему координат называ- какокииеской для рассма>рппаемой параболы, а соответ- гпук>щие переменные — кано- Рис. 11.18 ннческими. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р.
И> называют фокальным параметром параболы. 'Рогда фокус имеет координаты г(р/2; 0), а директриса ! писывается уравнением х = — р/2. Геометрическое место 322 Кь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА точек М1х;у), равноудаленных от точки г и от прямой <1, задается уравнением (х — — ) +уз = ~х+ — ~. 111.1.'>) Возведем уравнение 111.15) в квадрат и приведем подобны«. Получим уравнение у~ = 2рх, (11 110 которое называют какокмческим уравкекмем параболы.
Отметим, что возведение в квадрат в данном случае — экви валентное преобразование уравнения 111.15), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом. Вид параболы. Если параболу уз = х, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением 111.16).
Пример 11.4. Найдем координаты фокуса н уравненн< директрисы параболы, если она проходит через точку, кано. ннческие координаты которой 125; 10). В канонических координатах уравнение параболы имеет вид уз = 2рх. Поскольку точка 125;10) находится на парабол<, то 100 = 50р и поэтому р = 2. Следовательно, уз = 4х являетсч каноническим уравнением параболы, х = -1 — уравнением е< директрисы,а фокус находится в точке 11;О). Оптическое свойство параболы. Парабола имеет еле дующее окк<кческое свойство. Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы 1рис. 11.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
