III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии. Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их г> и Кз) называют фокусами еикербо яы. Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокалькым расскяолкивм, а отрезки г> М и ГзМ, соединяющие произвольную точку М на гиперболе с ее фокусами, — фамильными радиусами. Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием ~Р>гз~ = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости— положением фокусов Е> и гз.
< > Аналитич<с«««еомеч<ил ЗОб Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которал делит отрезок г1гз пополам и перпендикулярна ему (рис. 11.7). Первую из этих осей симметрии называют дебствитпельноб осью гиперболы, а вторую — ее мнимой осью.
Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют дебстввнпзельноб полуосью гиперболы. Рис. 11.7 Середина отрезка Р1рз, соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центпром гнперболы. Для гиперболы действительная ось 2а должна быть ие больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника Р~Мгз (см.
рис. 11.7) справедливо неравенство ! !Г1М! !сам!! < !Г1 гз! ° Равенство а = с выполнено только для тех точек М, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала г1гз. Отбрасывал этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а < с.
Отметим также, что случай а = О соответствует геометрическому месту точек, равноудаяенных от фиксированных точек г1 и гз. Как известно из курса школьной геометрии, это геометрическое место представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку г1гз и проходящую через его середину. Этот случай мы также не будем рассматривать. 307 ы.з. Йшерболв Уравнение гиперболы.
Рассмотрим на плоскости неко»>рук> гиперболу с фокусами в точках Р~ и Гз и действительной >>и> 2о. Пусть 2с — фокальное расстояние, 2с= ~Р> Гз~ ) 2а. (2>гласно замечанию 11.2, гипербола состоит из тех точек М(х; у), для которых ~ ~Р>М~ — ~Р~М~ ~ = 2а. Выберем прямоу чыьмую сисп>е ну коордимап> Оху так, чтобы центр гиперболы находился в начале коордимап>, а фокусы располагались на оси »о> Пиес (рис. 11.8). Такую систему координат для рассматрива> мой гиперболы называют яамомимесяоб, а соответствующие пер< менные — яамомммесямлем. Рнс.
11.В В канонической системе координат фокусы гиперболы имеем коорднмап>ы Е>(с; О) и Гз(-с; О). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ~ ~Р>М~ — )РзМ~ ~ = - 2а в координатах ~ч7 — е'>-Р' — Ф + >'>Р~=> где (х;у) — координаты точки М. Чтобы упростить зто уравнение, избавимся от знака модуля: Д вЂ” > .>ф — Д + > +>~ =е>, ш ренесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: ( — > .>> = ( .> > .>у е> Д*+ > .>Р-'.>4 308 Ы.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА После упрощения получим илн где с = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные: (е — 1)х — уг = с — а или, учитывая равенство е = с/а и полагая 6г = сг — аг, хг уг — — — =1. аг 6г (11.8) хг уг — — — =1 $ а 6г г г -г 6 =с -а. Величину 6 > 0 называют мнимой полуосью еипербольа Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фо кусами Рг(с; О) и Рг( — с; О) и действительной полуосью а удо влетворяет уравнению (11.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовл~ творяют.
Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами )гг и Гг. У этого семейства гипербол о< я симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащнх вл действительной оси симметрии вне интервала ЕгГг, и точеь, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов Рг и Рг меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки М(х; у) удовлетворяюс уравнению (11.8), а сама точка принадлежит гиперболе семей ства с некоторым значением а действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению 309 ы.г.
Гипербола Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными у =1, сг — аг у — =1 сг — аг аг хг аг имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при аф а зто невозможно. Действительно, исключив, например, х из первого уравнения: у г аг 1 ~~ аг — — =1 —— (сг — аг)аг сг — аг/ аг после преобразований получаем уравнение угсг(аг — аг) -г г ( г аг)(сг аг) (а )' которое при а ~ а не имеет решений, так как (с — а )(с — а ) = Ь262 > О. Вид гиперболы.
По своему виду гипербола (11.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. И первой четверти, т.е. при х > О, у > О, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у: у = -~/х~ — аг. Ь а (11. 9) Исследование функции у(х) дает следующие результаты (П].
~' Лоалитическан геометр«я Итак, (11.8) есть уравнение гиперболы с действительной полу- осью а > 0 и мнимой полуосью Ь= ~(сг — аг > О. Его называют иаиоиииесиим ураеиеиием еииерболы. 1Ь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА заключаем, что при х > а функция монотонно возрастает Кроме того, !пп ~'(х) = +оо, х-+а+О а это означает, что в точке х = а пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная.
Фупь ция у(х) имеет вторую производную „а, Ь( г аг)-з/г при х > а, и эта производная отрицательна. Поэтому графи| функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет. Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это выт кает из существования двух пределов [Н1: Ь . ~(хг — аг Ь вЂ” 1пп ) а ю-++сю х а Й= !пп Т(х) ю->+сю Х Ь . ( с Ь= 1пп Щх) — Ьх) = — 1пп (~/хг — аг — х) = ю-++ со а *-++ Ь вЂ” а — 1пп — О а х-++сю „ссхг — аг+ х Наклоннал асимптота описывается уравнением у = (Ь/а)х.
Проведенное исследование функции (11.9) позволяет постро ить ее график (рис. 11.9), который ~овпадает с частью гип< р балы (11.8), содержащейся в первой четверти. Область определения функции — (х: х > а) и в этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке х = а она непрерывна справа. Единственным нул< и функции является точка х = а.
Найдя производную функции п(х) !ьа!Ьппп с З~~ Т «рб р пти крнвзя имеет вид, изображенный пп ~~и~ ! ! Гивер ола штоит из двух симметричных веччпн, рю» п и„ ° иных и разные стороны от ее мнимой оси симм~ т1пи мя етви пп ограничены с обеих сторон, причем примы н ~ц,(а)я ппляются одновременно асимптотами и правой и м ш и н<тп и ~иппрболы. Рис.
11.10 Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действии льнал пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометриче- ~ пим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересею» т (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения ~ йствительной оси симметрии с гиперболой называют вершииами еааерболы (точки А(а; О) и В( — а; О) на рис. 11.10). Построение гиперболы по ее действительной (2а) и мним»й (26) осям следует начинать с прямоугольника с центром в ппчале координат и сторонами 2а и 26, параллельными, соответ- ~ гпенно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 11.11).
Асимптоты гиперболы являются продолжениями пипгоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы— и»чками пересечения сторон прямоугольника с действительной гпо симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение па плоскости однозначно определяют форму и положение ~ ппгрболы. Отношение 6/а сторон прямоугольника определя- т степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра »вычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцемзвра- ~ птетаом наиерболы называют отношение ее фокального Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 312 Рвс. 1ы11 Построим прямоугольник с центром в начале системы ко ординат Оху и сторонами 2а, 26, параллельными осям абсцисс и ординат соответственно.
Проведем прямые у = (6/а)х и у = — (6/а)х, на которых лежат диагонали прямоугольника. Существует две гиперболы, соответствующие построенному прямоугольнику (рис. 11.12). Первая из них описывается ка ионическим уравнением (11.8), а вторая — уравнением хя уз — — — = — 1. аз 62 (11.10) Вторую гиперболу называют сопр*э<сенной по отношению к первой, а уравнение (11.10) — нанонннесннм уравнением сопрлз<сенной енперболы. Действительная и мнимая о<и расстояния к действительной оси. Зксцентриситет обознача. ют через е. Для гиперболы, описываемой уравнением (11.8), е = с/а. Отметим, что если эксиеигариситет эллипса может принимать значения из полуинтервала [0,1) (значение 0 соот ветствует предельному варианту эллипса — окружности), то эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1, +со).
3!3 11.2. !'Ин<!<Л«ла ю !<иой гиперболы являются соотн< тстненно мнимой и действи«аьной осями сопряженной гип< рболы, а асимптоты у них «гнниг. Пример 11.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы э< ч действительной полуоси а = 4 и фокальному расстоянию 2< 10. По~троим гиперболу и определим координаты ее <я !<шин, фокусов и уравнения асимптот. '!'ак как действительная полуось а гиперболы известна, то, <а бы найти каноническое уравнение гиперболы, достаточно ар<делить мнимую полуось 6. Поскольку с= 5, 6= 1/сз — пз, «< 6 = </52 — 42 = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
