III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Н е тому случай АС > О, В = О называют эллиптическим. Н то же время в случае АС < О, В = О геометрическим г!псюм уравнения могут быть лишь гипербола или пара пер л кающихся прямых, которую можно рассматривать как выр жденный случай гиперболы. Аналогична ситуация и в случае ! -: С = О, В ф О. Эти случаи называют гиперболическими. Наконец, если в уравнении из трех коэффициентов при ~ яагаемых второго порядка отличен от нуля только один, А нян С, то геометрическим образом может быть нли парабола, нян пара параллельных (совпадающих) прямых. Этот случай называют параболическим.
В задачах на исследование кривых второго порядка, заданных в прямоугольной системе координат неполными уравнениями, обычно требуется определить каноническое уравнение и пмчнслить в системе координат Оху: для параболы — координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы; для эллипса— мюрдинаты центра, вершин и фокусов, полуоси и эксцснтрп- ~ птст, уравнения директрис, а для гиперболы — еще и уравп~ ння асимптот. Пример 11.5.
Исследуем кривую второго порядка, задана ю своим уравнением 9хз+ 4уз — 18х+ 16у — 11 = О. В этом неполном уравнении второго порядка коэффициенты прн квадратах переменных имеют одинаковый знак. Значит ярпнненне относится к эллиптическому типу. Выделяя полные нппдраты по обоим переменным, получаем 9(х — 2х + 1 — 1) + 4(у + 4у+ 4 — 4) — 11 = О, 9(х — 1) з+ 4(у+ 2)з = 36, (х — 1)з (у+ 2)з 2з 32 ГЬ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 330 Следовательно, после параллельного переноса системы ко ординат х' = х — 1, у' = у+2 получим уравнение — + — =1 (х') (у') 22 32 которое задает эллипс с полуоси ми а=2, 6=3.
Так как а(6, то фокусы лежат на вертикаль ной оси симметрии. Поэтому с = т/Р— а2 =;/б, а эксцентри< н тет 5 = с/6 = т/5/3. Центр элли пса находится в точке О' с ко ордннатами (1; — 2) (рис. 11.20) Отметим, что полученное уран пение эллипса не является капо Рис. 11.20 ническим, для перехода в капо ническую систему координат требуется дополнительный попо рот системы координат О'х'у' на угол 90'.
Приведем остальные характеристики кривой: Система координат О'х'у' Оху Координаты вершин Координаты фокусов Уравнения директрис Пример 11.0. Неполное уравнение 4х2+ 1бу2+ 8х — 04у-( + 4 = 0 кривой второго порядка тоже относится к эллипти и скому типу. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, А( — 2; О) В(2; О) С(0; -3) Р(0; 3) Р,(0; -Л) Р,(0;,/5) я' = ~9/~/5 А(1 — 2; — 2) В(1+ 2; — 2) С(1; — 2 — 3) П(1; — 2+3) Р< (1; — 2 — ~/5) Рг ( 1; — 2 + ~/5) у+2 = х9/Л ! !.4.
Неполные уравнения кривой второго повидло '!Л) получаем 4(хг + 2х + 1 — 1) + 16(у — 4у+ 4 — 4) + 4 = О, 4(х + 1)г+ 16(у — 2)2 = 64, (х + 1)2 (у 2)г — -(- — = 1. 42 22 Иь!полнив параллельный перенос системы координат х' = х 4 (, !!' = у — 2, запишем каноническое уравнение эллипса (х') г (у') г — + — =1 42 22 полуосями аее4, 6=2. Так как а) о, то фокусы лежат на горизонтальной оси симметрии.
Поэтому с= ~/аг — ог = 2т/3, и эксцентриситет е = с/а = т/3/2. Центр эллипса находится в точке О' с координатами ( — 1; 2) (рис. 11.21). Рис. 11.21 Приведем остальные характеристики кривой: О'к'у' Система координат Координаты вершин Координаты фокусов Уравнения директрис А( — 4; О) В(4; О) С(0; — 2) Р(0; 2) с) (-2 ~/3' О) к, (г,/3; о) х' = +8/ /3 Оку А( — 1 — 4; 2) В( — 1+4; 2) С( — 1; 2 — 2) Р( — 1; 2+2) к,(-1-2 /з; г) р, (-1+ г~/3; 2) х + 1 = хз/~(3 11.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пример 11.7. В неполном уравнении кривой второго и рядка 4хз — 9уз — 24х+ 18у — 9 = О коэффициенты при квадрата ~ переменных имеют противоположный знак. Поэтому уравнепи относится к гиперболическому типу. Выделяя полные квадри ты по обоим переменным, получаем 4(х — Ох+9 — 9) — 9(у~ — 2у+ 1 — 1) — 9= О, 4(х — 3) — 9(у — 1)з = Зб, (х — 3) (у — 1) Зз 22 = 1. В канонических координатах х' = х — 3, у' = у — 1 уравнеии имеет вид (х') (у') = 1.
Зз 22 Оно задает гиперболу с центром в точке 0'(3; 1), дейстии тельной полуосью а = 3, мнимой полуосью 6 = 2. При этом с = ~/аз + У = ~/ГЗ, е = с/а = ~/ГЗ/3 (рис. 11.22). Рне. 11.22 Н. Ь Неполные уравнения кривой второго порядка 4,13 Приведем сводку остальных характеристик ш> ит и ~ ии и ро пич О'х'у' Оху Система координат Координаты вершин Координаты фокусов Уравнения директрис Уравнения асииптот Пример 11.8.
Неполное уравнение кривой второго порядка ха+ 2х — бу+ 7 = О относится к параболическому типу, ипекольку содержит только одно слагаемое с переменным в квад)ште. Выделяя полный квадрат по х, получаем (х + 2х+ 1 — 1) — бу+ 7 = О, (х+ 1) = б(у — 1). И координатах х'= х+1, у'= у — 1 уравнение имеет вид (х')~ = 2 Зу'. '. )то парабола с вертикальной осью симметрии, для которой р = 3, а р/2 = 1,5. Вершина параболы находится в точке О'( — 1; 1) (рис. 11.23). Рис. 11.33 А( — 3; О) В(3; О) к, ( —,/Гз; 0) Р. (~/Гз; 0) х' = х9/~/ГЗ и' ы шз/Зх' А(3 — 3;!) В(3+3; 1) г, (3-,/Гз; 1) Р,(з+,/Гз; 1) х — 3 = ш9/~ЛЗ д — 1 = ыз(х — з)/з 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Укажем остальные характеристики кривой: 334 О'х'у' Оху Система координат Р( — 1; 1+ 1,5) х+1 =-1,5 Координаты фокуса Р(0; 1,5) Уравнение директрисы х' = — 1,5 Пример 11,9.
Неполное уравнение ху — х — 2у+ 6 = О кри вой второго порядка относится к гиперболическому типу, по скольку оно не содержит слагаемых с квадратами переменных, но имеет слагаемое с их произведением. Преобразуем уравне ние: х(у — 1) — 2(у — 1+ 1) + 6 = О, (у — 1) (х — 2) + 4 = О, (х — 2)(у — 1) = -8/2. В канонических координатах х' = х — 2, у' = у — 1 уравнение имеет вид х'у' = †(21/2)~/2, Рис. 11.24 т.е.
представляет собой уравнение сопряженной гиперболы и аснмптотах с полуосями и = о = 21/2. Далее находим с = = 1/от+аз = 4 с = с/а = 4/(2~/2) = 1/2. Центр гиперболы находится в точке О'(2; 1) (рис. 11.24). 335 Д. 11.1. Полярные уравнения ,>(ат м сводку остальных характеристик по этой кривой: Система координат О'х у' Оху К оорд ипаты вершин А(-2; 2) А(2 — 2; 1+ 2) в(г; -г) В(2+ 2; 1 — 2) В (2 — 2>/2; 1+2>>т2) Рв (2+ 2>/2; 1 — гв>2) Рв 242; -2 2 у' = х' х 2ч'2 Координаты фокусов у — 1 = хг»>2(х — 2) Уравнения директрис Уравнения асимптот у' = 0 х'=0 у-1=0 х — 2=0 Дополнение 11.1.Полярные уравнения =г> (11.21) >де р — полярный, он же фокальный, радиус точки М на ариной; МР— перпендикуляр, опущенный из точки М на 1иректрису б (рис.
11.25, б). '1асто используют уравнения эллипса, гиперболы и парабош> и полярной систпелте координата. На вид этих уравнений вдинет взаимное расположение канонической систаелтти хоордин>пн кривой и полярной системы координат. Мы фиксируем пв.пос полярной системы координат в фокусе кривой. При этом дяв эллипса выбираем левый фокус, а для гиперболы правый, >ч ли рассматривать их расположение в канонической системе а>юрдинат. Полярную ось выбираем так, чтобы ее направление > шпадало с положительным направлением оси абсцисс канани~в кой системы координат. Все три вида кривых описываются общим свойством: для «юбой их точки отношение расстояний до фокуса и до дирек>рисы постоянно и равно эксцентриситету кривой.
Значение асцентриситета определяет тип кривой. Если зафиксировать ф»кальный параметр, так что положение директрисы в вытранной системе координат будет оставаться неизменным, мы, варьируя эксцентриситет, получим единый ряд эллипсов, параболы, правых ветвей гипербол (рис.
11.25, а). Конкретная вривая определяется своим эксцентриситетом г при помощи уравнения ~ИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 4й 336 а) Рис. 11.25 Так 1 ~МР~ = р+ рсов~Р, тО, подс) к ~ажение в 111.21), иолучим ~вин это выР р+ рсое<Р или рЕ Р= 1 — е соя Р (11.22) Уравнен ывают ноллрным ураененнем эллин1й ветви еииерболы. 1~,. 11.26) принадлежит левой ветви гипер. болы, тс~) 111 22) наак) )олы и правор МР~ = -рсое~Р— р, ~~лярное уравнение левой ветви гиперболы получае1) ф; ! ре ~Ез (11.21) по) Р= 1+есое (11.23) ~ виде 337 Вопросы и задачи Рис.
11.26 Вопросы и задачи 11.1, Доказать, что у сопряженных гипербол фокальные расстояния совпадают. 11.2. Доказать, что при повороте канонической системы мюрдинат на угол х/2 уравнение сопряженной гиперболы превратится в каноническое уравнение гиперболы. 11.3. Найти уравнение эллипса, если его оси симметрии 'параллельны осям координат, которых он касается, а центр находится в точке (-3; 2). 11.4. Найти уравнение гиперболы с центром в точке (2; 1), учли ее оси симметрии параллельны осям координат, ее асимптота проходит через начало системы координат и эта гипербола касается: а) оси абсцисс; б) оси ординат.
11.5. Найти уравнение равнобочной гиперболы с центром я точке (2;1) и проходящей через начало системы координат, чли одна из ее асимптот: а) вертикальна; б) горизонтальна; в) параллельна прямой у = х. 11.6. Найти уравнение параболы с вершиной в точке (1; 3), проходящей через точку (3; — 1), ось симметрии которой: а) вертикальна; б) горизонтальна. 338 Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 11.7. Преобразовать уравнение кривой второго порядка и построить его геометрический образ в системе координат Оху, определив: для параболы — координаты вершины и фокус», уравнение директрисы; для эллипса — координаты центра, вершин и фокусов, полуоси и эксцентриситет, уравнения ди ректрис; для гиперболы — еще и уравнения асимптот: а) хд — х — у+1 =0; б) ху — х — у+5 =0; в) 4хз — 9д~ — 16х — Збу — 56 = 0; г) 4хз — 25у~ — 16х — 100у+ 16 = 0; д) х~ — 16у~ — 2х — 64д — 47 =0; е) хз — 10х-4у+57= 0; ж) ху — 9х — 4у+ 72 = 0; з) 2х~+2у~+4х — 8у+11= 0; и) 2~э — уз+ 4х — 8у+36= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
