III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 47
Текст из файла (страница 47)
12.22 (рис. 12.22). Наглядным примером однополостного гиперболоида с двумя семействами прямолинейнмх образующих являются секции Шаболовской телебашни. Автор оригинальной идеи, заложенной в конструкцию телебашни, он же ее конструктор — русский инженер В.Г. Шухов (1853 — 1939). 367 Д.12.1, Конические и лннейчвтые поверхности хз уз — — — = 2рг аз Ьз и виду (- — -) (- + -) = 2рг.
(12.27) Так же как и в случае однонолостного гиперболоида, это уравнение можно „расщепить" в систему двух линейных уравнений х д ---=Лр, а Ь (12.28) Л( — + — ) =2г нли по-другому х у -+-=Лр, а Ь (12.29) Л(-* — "-) =2 . Каждая из систем (12.28), (12.29) задает семейство прямолиней- ных образующих гиперболического параболоида (рис. 12.23).
Рис. 12.23 Прямолинейные образующие гиперболического пареболон да находятся так же, же как н однополостного гиперболоида. Преобразуем каноническое уравнение гиперболического пара баланда 368 ~г. поверхности второго порядкл В случае однополостного гиперболоида вращения, т.е. при а = 6, каждое из дв»х семейств прямолинейных образующих по лучается вращением одной прямой семейства вокруг оси вращс ния поверхности. Это значит, что однополостный гиперболоид вращения можно получить вращением прямой, которая является скрещивающейся по отношению к оси вращения.
Рассмотрим, например, семейство (12.25), полагая, что а = 6. Каждая прямая семейства пересекает коордннатнук> плоскость хОу в точке, лежащей на окружности хг+ рг = а' (других точек гиперболоида в плоскости хОу нет). С другой стороны, прямолинейная образующая не может быть параллельна этой плоскости, так как соответствующим сечением гиперболоида является эллипс). Выбрав произвольную точку М(асов<р; ав1п <р; 0) на указанной окружности, найдем значени< параметра Л для прямой семейства (12.25), проходящей чере:> М. Отметим, что прямолинейная образующая, соответствующая Л = О, пересекает эту окружность в точке (О; — а; 0), а соответствующая бесконечному значению Л вЂ” в точке (О; а; 0).
Это непосредственно следует из (12.25). Подставим в первое уравнение системы (12.25) координаты точки М асов <р / ав1п у =Л~1— а а и решим уравнение относительно Л: сову 1 — в1пу (12.30) г г й 1/а Л/а -1/с Л/а -1/а Л/с Лг — 1. 2Л . Ля+1 й — — г — — г —— ас ас аг Зная параметр Л, мы можем найти нанравляюи<и<1 вектор в прямой (12.25) как векторное произведение норма ьных векторов двух плоскостей, определяемых уравнениями системы (не забывая при этом, что а = 6): 369 Д.12.2.
Коннчккис сечения Длина полученного вектора равна (1+ Л2),ДР+сг 1л!— а2с а2с Разделив вектор л на его длину, получим единичный направля- кпцнй вектор Л2 — 1, 2Л рг — — рт' — дк = р'' Р*'- Р в Ру' — ук, Л2+1 Л2+1 где р = а/~/а~ + сг, д = с/~/а~ + сг, а параметр Л заменен на р согласно формуле 112.30)- Можно показать, что вектор ло получается из вектора с координатами (О; — р; — д), соответ<твующего Л = 1, поворотом на угол ~р вокруг оси Ог [1У).
1'ледовательно, прямая семейства (12.25), соответствующая параметру Л, получается поворотом вокруг оси аннликат прямой того же семейства, соответствующей параметру Л = 1. Дополнение 12.2. Конические сечения Важнейшей особенностью прямого кругового конуса явля«тся то, что все кривые второго порядка трех типов: эллипсы, . инербольь, параболы — могут быть получены как комические сечения, т.е. сечения конуса, различными плоскостями. Рассмотрим прямой круговой конус, который в прямоугольной системе координат Охуг описывается уравнением х2+ уг 22 — О (12.31) и геометрически получаетои при вращении вокруг оси Ог прямой 2 = х, принадлежащей координатной плоскости х02, В силу круговой симметрии поверхности (12.31) можно ограничиться только сечениями и ри помощи плоскостей, перпендикулярных координатной плоскости хО2 Таким плоскостям «оответствуют уравнения А х+ Вг+ Р = О, А2+ Вг ф О.
370 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если В = О, то секущая плоскость описывается уравнением х = хо, где хе = — Р)А, и параллельна координатной плоско сти у02. Подставив значение абсциссы хе в уравнение конуса (12.31), найдем, что сечение в плоскости х = хе описываетсе уравнением г~ — уз = х~~ (см. 12.7) и при хе ф 0 представляет со. бой Раенобочную гиперболу (рис. 12.24, а), а при хе = 0 — пару прямых, которые являются образующими конуса (рис. 12.24, б).
Рис. 12.24 Пусть в уравнении секущей плоскости коэффициент В ф О. Тогда плоскость можно представить уравнением г = йх + 6, где й= — А7'В, 6= -В/В. В силу симметрии конуса относительно плоскости Оху достаточно ограничиться случаем, когда й ( О. Коническое сечение для рассматриваемой плоскости в пространстве будет описываться системой двух уравнений < х +у — я~=О, г = йх+а. (12.32) Чтобы получить уравнение кривой в секущей плоскости, рассмотрим прямоугольную систему координат ОЪп, взяв в качестве координатных осей О'и и О'ч прямые, являющиеся пересе- 371 д.ьг.г.
к гениями секущей плоскости с к<п<рдипатпыми плоскостями хОг и хОу (рис. 12.25). Координаты и и о произвольной точки и < екущей плоскости будут связаны с ее координатами я, 1< и г в пространстве соотношениями и хо+ исов<р =- хп </1 Ь Л'~' 6< й<ь ив1п <р = — =. ч/1+ Лг 112.33) где <д — угол между коническим <ч 'и пи< м, и< рпепдикулярным координатной плоскости хОг, и координатной плоскостью хОу (см. рис. 12.25), причем й=гй1<ь, а яц — Ь/Л;. Рис. гг.ге Подставляя 112.33) в первое уравнение системы 112.32), получаем уравнение конического сечения в системе координат О<ни ( е /1+йг) ( /1+йг) Раскрывая скобки и приводя подобные, находим 1 й г 2Ь Ь г 11+йг + й,/Г+Лг~ йг+и 112.34) 372 И.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДЕА При << = — 1, когда секущая плоскость образует с плоск<я стью хОу тот же угол, что и образующие конуса, коническк< сечения будут представлять собой параболы (рис. 12.26, а) и описываться уравнением о~ = 6~/2(и — 6/чу). Варьируя параметр 6 в уравнении секущей плоскости, в качестве конического сечения можно получить любую параболу.
Рис. 12.26 При и ~ — 1 (6 < О) уравнение (12.34) примет внд (12.35) Здесь возможны два варианта. При — 1 < 6 < О, т.е. когда секущая плоскость образует с плоскостью хОу меньший угол, чем образующие конуса, выполнено неравенство 1 — <<з ) 0 и поэтому уравнение (12.35) конического сечения является уравнением эллипса (см. рис. 12.2б,б). И здесь, варьируя параметры 6 и Й в уравнении секущей плоскости, мы мож< м получить в сечении любой эллипс. Вопросы и «нянчи При й < — 1, т.е.
когда секущая плоскость «бризу« ~ ~ ин костью хОу больший угол, чем образующие кону и, им 1 — йг < О, так что коническое сечение, описыиа«м~и ч1 ~ии кием 112.35), является гиперболой 1рис. 12.26,н). 1Рнр««1~ ~ параметры 5 и й, можно получить в коническом г«ч иии и « бую гиперболу. Вопросы и задачи 12.1. Исследовать форму поверхности второго и«1 иу . методом сечений: а) хг — 2у — хг= 1; б) хг — уг — 4=0; в) 4хг+4уг+5гг+1 О.
г) уг гг хг 0 д) уг+ гг — хг = 0; е) уг — хг+ хг = 0; ж) ху = 0; з) 2хг+2уг+4х — 8у+11= О. Установить названия этих поверхностей и сделать рисунок и заданной системе координат. 12.2. Найти уравнения проекций на координатные плоско сти пересечений поверхностей: а) хг+у +г — 4=0 хг+уг — я=О; б) хг+уг — г — 9=0, хг+уг — 1=0; в) х + уг — г = О, 4х — 4у — х+ 8 = О. 12.3. Найти уравнение конуса с вершиной в точке 11; — 3; 2), образующие которого составляют угол 60' с координатной плоскостью: а) хОу; б) хОг; в) уОг.
12.4. Доказать, что уравнение хг — Зуг+ зг = 2х — 2г — 2 задает конус, и найти его вершину. 12.5. Найти уравнение конуса с вершиной в начале системы координат, если в него вписана сфера хг+ уз+ 1г — 4)г = 1. 12.6. Найти каноническое уравнение эллипсоида с полуосями5,3и2. 374 И. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 12.7. Преобразовать уравнение поверхности второго порядка с помощью параллельного переноса системы координат н построить ее в новой системе координат: а) хх — х — я+1=0; б) уз+хз — 4у — 4г+4=0; в) 4хз+9у~+ г~ — 16х — Збу+2х+ 296 = 0; г) 4хз — уз+аз — 24х+2у — 4х+35= 0; д) х — у — г — 4у — 2г — 1=0. з г 12.8.
Установить название поверхности второго порядка при всех значениях параметра 1: а) х~ — 2х — я+1=0; б) х~ — 1уз+(1+1)хз — 4у — 4х+4=0; в) хз + 2у~ + Зх~ — 16х — 8у+ 12х+ 1 = 0; г) хз — у~+я~ — 4х+2у-4х+1=0; д) гх' — (1 — 1)уз — (1+ 2)хз — 1 = О. 12.9. В прямоугольной системе координат задана прямая х — 1 у+2 ю+1 2 1 1 Найти все значения параметра ~, при которых поверхность, образованная прн вращении данной прямой вокруг оси: а) Ох; б) Оу, "в) Ох, является конусом, и определить вершину этого конуса. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Учебники и учебные пособия Алексонорое П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры; Учеб. для вузов.
Мс Наука, 1979. 512 с. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие для физ.-мат. и инж.-физ. специазьностей вузов. 6-е изд., стереотип. Мс Наука, 1984. 319 с. Беллмен Р. Введение в теорию матриц / Пер. с англ. под ред. В.Б. Лвосяозо. Мс Наука, 1969. 368 с. Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц. 3-е изд. Мс Наука, 1967. 576 с. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. 12-е изд., стереотип. Мл Наука, 1975. 272 с.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учеб. для университетов. 4-е изд., доп. Мс Наука, 1988. 224 с. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 8-е изд. Мс Наука, 1965. 432 с. 7онкосгаер П. Теория матриц / Пер, с англ. С.П. Демршявмо. Мс Наука, 1978. 280 с. Позорелоо А.В. Анаштическая геометрия: Учеб. для мат. и физ.
специальностей вузов. 4-е над., стереотип. Мс Наука, 1978. 208 с. Постников М.М. Аналитическая геометрия. 2-е изд., перераб. М: Наука, 1986. 414 с. Хорн Р., Дзсомсом Ч. Матричный анализ / Пер, с англ. под ред. Х.Д.Икрамово. Мс Мир, 1989. 655 с. Справочные издания Александрово И.В. Математические термины; Справочник. Мс Высш. шк., 1978. 190 с. Бронштейн И.И., Семенолее К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. Мс Наука, 1986.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
