III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Позтому в выбранной системе координат цилиндрнче< кая поверхность описывается уравнением р(х, у) = 0 — уравнением своей направляющей, которое трактуется как уравнение трех переменных х, у и «. Верно и обратное утверждение: если и некоторой прямоугольной системе координат в пространстве поверхность описывается уравнением, не содержащим одного из переменных, то зта поверхность является цилиндрической. Итак, критерием для цилиндрической поверхности является отсутствие в ее уравнении в подходящей системе координат одного из переменных. Цтьвикдр в«норова корядка — зто цилиндрическая поверхность, направляющая которой в плоскости, перпендикулярной образующим, представляет собой кривую второго порядка. В выбранной выше прямоугольной системе координат цилиндр второго порядка описывается уравнением втпорой стпенени Ах +2Вху+Суг+211х+2Еу+Г = О, где Аг+ Вг+Сг ~0 Это уравнение можно упростить подходящим выбором системы координат.
Фактически речь идет о приведении к каноническому виду уравнений второго порядка от двух переменных (см. 11.4, а также (1У)). Канонические уравнения кривых второго порядка приводят к трем видам цилиндров второго порядка: — элликнгическому (рис. 12.15, а) с каноническим уравне- 2 2 пнем — + — = 1; Ьг= ' 350 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — евггерболическомп (рис. 12.15, 6) с каноническим уран. г „г пением — — — = 1; ег, йг — параболическому с каноническим уравнением уг = 2ря (рис.
12.15, в). Отметим, что если направляющей является пара пересекающихся (параллельных, совпадающих) прямых, то соответствующая им цилиндрическая поверхность представляют со5ой пару пересекающихся (параллельных, совпадающих) плоскостей. Рис. 12.15 12.7. Метод сечений 12.7. Метод сечений Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению Ф(х,у,х) = 0 (12.10) часто используют так называемый метпод сечений. Он состоит в анализе пересечений поверхности с плоскостями, параллельными координагпнмм плоскоспиьм, например с плоскостями вида г = с, где параметр с пробегает все действительные значения.
Для каждого значения с система уравнений < Ф(х,у,г) =О, я=с (12.11) Ф(х,у,с) = О. (12.12) Зная эти пересечения, т.е. кривые (12.12), можно представить форму поверхности. Отметим, что указанный „рентген" поверхности можно проводить другими плоскостями, но они должны быть параллельными между собой. Обычно при исследовании формы поверхности методом сечений используют две точки зрения на уравнение (12.12). Первая состоит в том, что его интерпретируют как уравнение проекции на координатную плоскость хОу сечения (12.11). Согласно второй точке зрения предполагают, что в секущей плоскости имеется прямоугольная система координат с началом в точке О' пересечения секущей плоскости с осью Ог и осями, О'х и О'у, которые проектируются на соответствующие оси Ох и Оу системы координат Охуг. Это позволяет говорить о (12.12) как об уравнении сечения (12.11) в секущей плоскости.
задает соответствующее пересечение. Критерием принадлежности точки М(х; у; г) этому пересечению являются следующие условия: а) г = с; б) координаты х и у ее проекции на координатную плоскость хОу, т.е. координаты точки Х(х; у; 0), удовлетворяют уравнению 352 гг. пОВеРхнОСти ВТОРОГО пОРядкА Пример 12.1. В качестве примера рассмотрим уравнени< эллиптического параболоида (12.8) хг уг — + — = 2г аг Ьг и исследуем его форму методом сечений.
Пересечение этой поверхности с плоскостью г = с описывается уравнением г „г — + — = 2с. аг Ьг При с ( О пересечение пусто, при с = О оно совпадает с началом системы координат Охух, а при с > О представляет собой эллипс хг „г + = 1. (а,/2сс) г (Ь~/2сс) г Оси этого эллипса с ростом параметра с увеличиваются, н можно представить форму поверхности (рис. 12.16, а). Кстати, слово „эллиптический" в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сечений имеются эллипсы. Пересечения этой же поверхности как с плоскостью х = с (рис. 12.16, 6), так н с плоскостью у = с (рнс.
12.16, о) представляют собой параболы сг — + — =2г аг Ьг хг сг — + — = 2г аг Ьг соответственно. Параболы в каждом из этих семейств сечений имеют равные параметры (они не зависят от значения с). Этн сечения позволяют дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида. Рассмотрим параболу Рм находящуюся в плоскости д = О, н аналогичную параболу Рг 354 ЕЬ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рис.
12.17 в плоскости х = 0 (рис. 12.17, а). Пусть вторая парабола Р, перемещается в пространстве так, что: — вершина параболы Рз все время находится на параболе РП вЂ” ось параболы Рз параллельна оси параболы Р1, — плоскость параболы Рз перпендикулярна плоскости пара балы Р1. Тогда в результате такого перемещения и образуется элли птический параболоид. При этом роли парабол Р1 и Рз можн поменять, т.е. перемещать параболу Ры используя параболу !'с как направляющую. Уравнение хз уз — — — =2х аз Ьз (12.13) отличается от уравнения (12.8) эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность вто рого порядка. Ее называют гиперболическим параболоидом, а само уравнение (12.13) — каноническим уравнением гиперболического параболоида. гг.а Неполные уравнения ноновгооотн второго ногняьо МЬ Исследуем вид гиперболического параболоида м< тодом и ний.
Его пересечения с плоскостями у = с при любом зио и иии е являются параболами: хг сг — — — = 2г. аг ог Пересечения с плоскостями х = с тоже при всех значениях с я вляются параболами: сг уг — — — = 2г. аг Ьг Обозначим через Рг параболу, находящуюся в сечении у = О, а через Рг — аналогичную параболу в сечении х = О.
Переме- шал, как и выше, параболу Рг по параболе Р, (рис. 12.17, б), получаем седлообразную поверхность гиперболического пара- болоида. Пересечения гиперболического параболоида с плоскостями = с при с ~ О являются гиперболами 2 уг —.— — =2с, аг Ьг а при с= Π— парой пересекающихся прямых г уг — — — = О. а2 Ьг Выбор названия поверхности объясняется характером сечений: горизонтальные сечения гиперболического параболоида — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы. 12.8.Неполные уравнения поверхности второго порядка Поверхноскгь второео порядка в пространстве в заданной прямоугольной системе координат описывается уравнени- ~ и с десятью коэффициентами: Ах + Вуг + Сг~ + Оху+ Ехг+ Руг+ Сх + Оу+ Кг+ Ь = О, 356 12.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА причем среди первых шести коэффициентов, от А до г', должен быть хотя бы один ненулевой. Мы, как и в случае кривых второго порядка, не будем про водить полную классификацию поверхностей второго порядка, отложив ее до изучения курса линейной алгебры [1Ч]. В этом разделе мы рассмотрим случай неполного уравнения поверхности второго порядка, т.е. когда в уравнении отсут ствуют попарные произведения переменных: Ах +Ву~+Сх~+Сх+Ну+Кх+.5=0.
(12.И) Такое уравнение второго порядка при помощи параллельноео переноса систены координат и, возможно, переобозначенин переменных можно преобразовать в одно из канонических уран пений поверхности второго порядка или в уравнение вырождеи ной поверхности второго порядка, хотя в некоторых особыи случаях для упрощения уравнения параллельного переноса пе достаточно. Такие особые случаи подробно анализируются и [1Ч]. Для преобразования уравнения (12.14) используют выделе ние полного квадрата по каждому из переменных, входящих и уравнение во второй и первой степени (см. 11.4 или [1]). При этом возможны три варианта. 1.
В первом варианте уравнение (12.14) содержит квадраты всех трех переменных. Выделение полного квадрата по х (при С ~ 0), по д (при Н ~ 0) и по г (при К ~ 0) преобразует уравнение (12.14) к виду А(х — хо)'+В(у — уо) +С(х — го) = В', (12А5) где а Н К а' Н' К' хо= — —, уо= — —, хо=- — ь = — 1+ + + 2А' 2В' 2С' 4А 4В 4С Пусть в полученном уравнении (12.15) Ь' ~ О. Тогда, введи обозначения аз =)Ц/[А), Ьз = [Ц/)В[, сз = )Ц/)С[, придем ь 22.8. Неполные уравнения поверхности второго порядка 357 ~ мещенному уравнению поеерхностпи второео парадна. И зависимости от знаков коэффициентов уравнения (12.15) это могут быть уравнения эллипсоида (х хо) (У Уо) (» о) 1 (12 18) аг + Ьг + сг ~н)нополостного гиперболоида (х — хо) (У вЂ” Уо) (»»о) (х — хо) (У-Уо) (»- »о) (12.17) аг Ьг сг (х — хо) (У вЂ” Уо) (» — »о) Ьг сг а2 двуполосгпноео еиперболоида (х — хо)2 (У вЂ” УО) ( — »О) + г г Ь с (У Уо) (» »о) а2 (х — хо)2 (12.
18) Ьг сг — 1, (У УО) (» »0) Ьг сг а2 (х — хо) или мнимоео эллипсоида (х — хо)' (У вЂ” Уо) (» — »о)' а с ~ 1 Аналитктвквя оометрия называемого так потому, что уравнение напоминает уравнение зллипсоида, но в отличие от последнего описывает пустое множество. Если Ь' = О, то, вводя обозначения аг = 1/ ~А(, Ьг = 1/ )В), сг = = 1/ ~С~, также приходим к смещенному уравнению поверхности второго порядка. В зависимости от знаков коэффициентов 358 нь поннрхности второго порядкл уравнения (12.15) это могут быть уравнения конуса (х — хо)г (у — уо)г (х — эо) — О, сэ + (х — хо)г г ьг (х — хо) г (у — уо) = О, (12.19) аг Ьг (х — хо) г (у — уо) г сг (х — хо) — О сг пг ьг или точки (х — ха) (у — уо) (х — хо) ,г + ьг + г Замечание 12.1.
После параллельного переноса системы координат / Р 1 х =х — хо, у =у — уо, е =х — хо в точку 0'(хо., уо,. хо) уравнение (12.16) и первые в тройках уран некий (12.17)-(12.19) в новых переменных примут канони н ский вид, в то время как остальные уравнения в (12.17)-(12Л 91 преобразуются к каноническому виду дополнительным пере обозначением переменных в соответствующей координатнон плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
