III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Это переобозначение переменных важно с тео ретической точки зрения, так как позволяет определить тип поверхности, хотя положение этой поверхности в системе ко ординат О'х'уЪ' принципиально иное, нежели в каноническои системе координат (на рис. 12.18 приведены три варианта по ложения однополостного гиперболоида). На практике допол нительное изменение системы координат не реализуют и изо бражают поверхность в системе координат 0'х'уЪ', получаю щейся параллельным переносом.
Переобозначение переменных рассматривают как чисто алгебраическую операцию, поэволп ющую выяснить положение поверхности относительно системы координат. НЬК Неполные урввненне поверхности второ! о поревев <<<О Рис. 12.18 2. Во втором варианте уравнение (12.14) содержит квадраты двух переменных. Здесь выделяются три подварианта: а) АФО, Вфб, С=О; б) А-,ЕО, В=О, СфО; в) А=О, Вф.О, С~О. Эти подварианты сводятся друг к другу переобозначением и< ременных. Поэтому они дают одни и те же результаты, и нам д<ктаточно рассмотреть лишь один из них, например первый.
Если А-Е О, В ф О, а С = О, то в случае К = О третье переменное я вообще не входит в уравнение 112.14), которое в этом случае является уравнением цилиндра второео порядка. Все возникающие ситуации и тип поверхности полностью характеризуются напраеляю<це<1 цилиндра в плоскости хОу (см.
11.4). 360 1г. повкрхности второго порядкл В случае К ф 0 выделение полного квадрата по х (при С ~ 0) и по у (при Н ~ 0) преобразует уравнение (12.14) к виду А(х — хо) + В(у — уо) = — К(« — «о), (12 20) где С Н .У Сз Н~ хо= — —, уо= — —, «о= —, ь = — ь+ — + —. 2А' 2В' К' 4А 4В Введя обозначения аз = 1/~А~, Ьз = 1/~В~< р = )К~/2, придем к смещенным уравнениям поверхности второго порядка. В зависимости от знаков коэффициентов в (12.20), зто могут быть уравнения нли эллиптического параболоида (х — хо)з (у — уо)з з + г = 2Р(« — «о) а2 (х — хо) «(У Уо) з а2 +, =-2Р( - о) (12.21) или гиперболического параболоида (х-х )г аз Ьз = 2р(««о) (х — хо) (у — уо) а2 Ьз = -2р(« — «о).
(12.22) в (1У). 3. В третьем варианте уравнение (12.14) содержит квадрат только одного переменного. Здесь также возникают три симметричных подварианта (квадрат х, квадрат у, квадрат «). Остановимся на случае А ф О. Если уравнение не содержит или слагаемого с у в первой степени, или такого же слагаемого < «,то реализуется случай цилиндра второго порядка, который сводится к исследованию направляющей цилиндра. Если же и уравнении присутствуют оба указанных слагаемых первой степени, как, например, в уравнении хз+у+2«=0, то приведение уравнения к каноническому виду требует поворота системы координат в пространстве.
Анализ таких уравнений приведен х2.8. Неполные уравнение поверхности второго парилка 361 Пример 12.2. Упростим уравнение 4хг + 9у + Збг~ — 8х — 36у+ 72г+ 40 = 0 п«верхности второго порядка с помощью параллельного пере- и са прямоугольной системы координат. Уравнение содержит каждое из трех переменных в первой и во второй степени. Позтому по каждому переменному выделяем полный квадрат: 4 (х — 2х + 1 — 1) + + 9(у — 4у+ 4 — 4) + 36(лг+ 2г+ 1 — 1) + 40 = О, 4(х — 1) + 9(у — 2) + 36(г+ 1) = 36, (х — 1)г (у 2)г Зг 2г + +( +цг Приходим к смещенному уравнению зллипсоида с центром в точке О'(1; 2; — 1) и полуосями а = 3, о = 2, с = 1. Соответствуи>щее каноническое уравнение получается после параллельного |н реноса системы координат х' = х — 1, у' = у — 2, х' = г + 1 и имеет вид (х!) г (ус) г + +( г)г Зг 2г Пример 12.3.
Выясним, какая поверхность является геометрическим образом уравнения х — у + г — 2х + 4у — 2л — 3 = О. г г Как и в примере 12.2, по каждому переменному выделяем полный квадрат: (хг — 2х + 1 — 1) — (уг — 4у+ 4 — 4) + (гг — 2г+ 1 — 1) — 3 = О, (х — 1)г — (у — 2)г + (г — 1)г = 1.
362 ПЬ ПОВЕРХИОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Приходим к смещенному уравнению однополостного гиперболо ида вращения с центром в точке О'(1; 2; 1). После параллельно го переноса системы координат в эту точку х'=х — 1, у'=у — 2, г' = х — 1 уравнение принимает вид (х ) — (н ) + (х ) = 1. Это уравнение не является каноническим из-за несоответствие знаков. Осью вращения гиперболоида является ось О'у' новой системы координат (рис.
12.19,а). Рнс. 12.19 Пример 12.4. Выясним, какую поверхность определяет уравнение второго порядка х~ — 4гз + 8р+ 8х — 12 = О. В уравнении нет слагаемого х первой степени и слагаемого и второй степени. Полный квадрат выделяем только по переменному г: х~ — 4(хз — 2х+ 1 — 1) + 8у — 12 = О, хз — 4(х — 1) з + 8у — 8 — 9 х~ — 4(х — 1) = — 8(у — 1), хз — — (х — 1) = -2(у — 1). 22 ДЛ2Л. Конические и лннейчетме поееряно«ти ЗбЗ 11риходим к смещенному уравнении< гиперболического параболоида. Выполнив параллельный и< 1нчпи си«т< мы координат .«'=х, у'= у — 1, л'= г — 1 в точку И<(0; 1; 1) получим уравнение вида 2 ( ')' < 2 22 которое преобразуется в канович<ч ко< дополнительным перебозначением переменных (рнс.
12.19, 6). Замечание 12.2. Для опред< л< ния нида поверхности и потроения ее в новой системе координат (п<к л< параллельного и< реноса) можно использовать м«нюд ««ч«ний. Конечно, если, как в примере 12.2, уравнение попорхп<я ти им«т канонический вид, то можно воспользоваться прин< донным выше выводом канонических уравнений поверхностей второго порядка.
Однако в примерах 12.3, 12А (см. рис. 12.10,а,б) ситуация сложнее, и использование метода сечений пред<"гавля< тся целесообразным для исключения ошибок. Дополнение 12.1. Конические и линейчатые поверхности Поверхность, которая образуется при движении прямой, проходящей через некоторую фиксированную точку А, называют комической. Точка А — это вер<иима комической моверхмостми, а всевозможные прямые на поверхности, пред«тавляющие собой положения движущейся прямой, — это образуюи1ие комической моверхмостми (рис. 12.20).
Примеры конических поверхностей дают прямой круговой и эллиптиче<кий конусы. Траекторию у некоторой фиксированной точки В на движущейся прямой (но не вершины) можно рассматривать как мамравллюилую комической моверхмостаи. При этом коническую поверхность можно определить как множество всевозможных прямых, проходящих через фиксированную точ- 364 ГД ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ку А (вершину) и пересекающих заданную кривую т (направ. ляющую). Рис. 12.20 Если нач ло прлмоуеольной системы координат Охух совпадает с вершиной конической поверхности, то уравнение г"(х,у,х) = О этой поверхности будет иметь следующее свойство. Если Р(хо,уо,хо) = О, то и Р(Лхо, Луо, Лхо) = О для любого действительного числа Л. Это следует из того, что через любую точку конической поверхности, не являющуюся вершиной, проходит образующая. Точки М(хо, уо, хо) и М'(Лхо, 'Луо', Лхо) лежат на этой прямой.
Уравнения с описанным свойством называют однороднммн. Итак, при укаэанном выборе системы координат уравнение конической поверхности будет однородным. Верно и обратное утверждение: геометрическим образом однородного уравнения является коническая поверхность.
Алгебраическое уравнение будет однородным, если оно содержит слагаемые одной и той же степени. Например, каноническое уравнение (12.9) эллиптического конуса состоит из слагаемых второй степени. Коническая поверхность относится к более широкому классу лннебчатвых поверхносгпеб, образуемых движущейся прямой (рис. 12.21). Если движущаяся прямая все время проходит через фиксированную точку (что, вообще говоря, необязательно), то линейчатая поверхность будет конической. Если ежатся поступательно, оставаясь параллельной свое- Д.12.1. К в .и' ' ел .'ПЬ му исходному положению, мы получаем другой иид ьинвйчв п й поверхности — цилиндрическую поверхность. Рис.
12.21 Линейчатыми, но не коническими, поверхностями являя>т ся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. '1тобы убедиться в этом, рассмотрим однополостный гиперболоид, заданный своим канонически>и уравнением хз уз гз — + — — — — 1 а2 1>2 сз 112.23) Перенесем второе слагаемой левой части уравнения в его правую часть хз з уз — — — =1 —— ая сз Ьз и преобразуем уравнение к следующему виду: ( — — — ) ( — + -) = (1 — — ) (1+ — ) .
(12.24) При любом значении параметра Л система 112.25) представляет собой общие уравнения пряной. Эта прямая при любом Л принадлежит однополостному гиперболоиду, поскольку при Л ~ 0 уравнение 112.24) гиперболоида получается перемножением уравнений системы 112.25) и сокращением на Л. При 366 12. ПОВЕРХНОСТ21 ВТОРОГО ПОРЯДКА Л = О (12.24) следует нэ (12.лб), поскольку обе части уравнения (12.24) содержат множители, равные нулю.
Таким образом, однополостному гиперболоиду принадлежит бесконечно много прямых, описываемых общими уравнениями (12.25). Если к этим прямым добавить еще одну прямую 1- — =О У Ь 7 (12.2б) г л — + — =О, а с которую естественно соотнести с бесконечным значением параметра Л, то через каждую точку однополостного гиперболоида будет проходить одна прямая семейства, лежащая на гиперболоиде.
Соответствующее значение Л можно найти нз систе. мы (12.25). Итак, гиперболоид, который задается уравнением (12.23), представляет собой множество прямых, описываемых уравнениями (12.25). Эти прямые называют прл,иолинебны.ии образуюи1ими однополостпного гиперболоида. Однополостный гиперболоид имеет также второе семейство прямолинейных образующих, которое описывается системой уравнений Л(1+ У), а с Ь аналогичной (12.25), с тем же со. глашением о значениях параметра Л Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
