III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Мультнолнкатианые ратложеннл матриц 289 глины и. Следовательно, если из таких строк составить матрицу аы 0 0 ... 0 аг1 а212 0 ... 0 аз1 аэг аЗЗ г г а„1 а„г аиэ ... аии го матрица А получается нз матрицы 11 умножением слева на Ь. Как видим, использование прямого хода метода Гаусса, привогппцего к верхней треугольной матрице 11, дает коэффициенты и„, позволяющие записать матрицу ь. Теорема 10.3. Если для квадратной матрицы А существут Иг-разложение А = Иг, то это разложение единственное. н Пусть А = Е11г1 = Ь21гг.
Матрицы Ьг и 112 невырождены. Потому, умножив равенство 11111 — — Ьгсгг на обратные матрицы глг ва и справа, запишем Фг Е1)1 '1~ 2 ) Мы получили мультипликативное разложение единичной лгатрицы Е. Установив, что единичная матрица имеет единственное Иг-разложение (с единицами на главной диагонали сг), а именно Е = ЕЕ, мы тем самым докажем, что е'г г'1 = Е Из этих равенств следует, что Ь1 = Ьг и 111 = 112, т.е.
теорема будет доказана. Итак, покажем, что представление Е = Иг единственно. Обозначим 1 игг игз О 1 и23 . ° . иг О 0 0 ... 1 1и1 1иг 1из 1ии ~н Ниннитинниинн гиоинтрин 290 ил численные метОды Решения слАу АО'-разложение может выполняться по формулам метода Гаусса. Если несколько изменить порядок операций 1не меняя причинно-следственных взаимосвязей), то алгоритм можно записать в виде формул. На г-м шаге (г = 1,2,...,и) сначала вычисляются элементы г-го столбца матрицы Ь: 1;г = а;, — ~~~ 1;ьиь„ ь=1 1=с,г+1,...,п, а затем г-й строки матрицы 11: г †! аг — ~~) 1глаь ь=1 1'= с+ 1,с+2,..., и. аг, = 1гг При реализации алгоритма на компьютере матрицы А и 11 можно хранить в одном двумерном массиве, так как диагональные элементы матрицы П известны заранее и их хранить не нужно. При этом они записываются как одна матрица, у которой на главной диагонали и под ней стоят элементы Ь, а над главной диагональю — элементы 11.
Рассмотрим произведение 1-й строки матрицы Ь на 1-й столбец матрицы 11. Оно равно 1п. Но ЬУ = Е, поэтому произведение 1-й строки Ь на 1-й столбец П равно нулю при 1= 2, ..., и. Таким образом, 10 = 0 при 1 = 2, ..., и и все элементы 1-го столбца матрицы Ь, кроме первого, равны нулю. Первый же равен 1ы =1.
Теперь рассмотрим произведение г-й строки Ь на 2-й столбец П начиная с третьей и учтем, что 1п = 0 при 1= 2, ..., и. Получим, что 1зз = 1, 1;г = 0 при ю = 3, ..., и. Продолжая процесс последовательно по столбцам матрицы 11, приходим к заключению, что А является единичной матрицей.
Но тогда из равенства ИУ = Е следует, что и 11 является единичной матрицей. > д.10лк Мультиолииатиаиые раалажеиия матрии 291 /,/!-разложение сушествует для тех матриц, для которых выполним прямой ход метода Гаусса. Его можно использовать 1«н решения различных задач: для решения нескольких систем с одинаковой матрицей и ~ <лличными правыми частями; для обращения матриц; для вычисления определителей (ое1А = де1Ьде1//, где <1<п /! = 1, а бе1/, равен произведению диагональных элементов). Есть небольшая асимметрия между нижней треугольной и и< рхней треугольной матрицами в И/-разоложении матрицы А, поскольку лишь диагональные элементы матрицы // ~«.пи<я единице. Матрица Ь может быть представлена в вид< произведения ь = БР нижней треугольной матрицы Х с дипицами на главной диагонали и диагональной матрицы />, <.остоящей из диагональных элементов /и матрицы Ь, т.е.
/> = </1а~(/ы, ..., /„„). Это представление приводит к новому разложению А = ХР// матрицы А в произведение нижн й треугольной, диагональной и верхней треугольной матриц, причем диагональные элементы обеих треугольных матриц равны единице. Такое представление матрицы называют /, /лс/-разлоз<гением. Из единственности И/-разложения выг кает единственность и ЬРУ-разложения. 1!редположим, что матрица А является симметиричесной. ',1»пишем ее ЕР//-разложение: А = ЬР//.
В силу свойств произт и линия матриц и операции транспонирования получаем А // РЬ = ь'Р//<, т.е. ЬР//-разложение транспонированной т и;<трицы. Но по условию А= А . Поэтому, согласноединствени и ти /,Р//-разложения, заключаем, что для симметрической т т м»трицы А выполняются равенства 1, = // и / = //, эквива< итные друг другу. Значит, для симметрической матрицы ее /./1//-разложение имеет вид А = 1,РЬ . Пусть симметрическая матрица А к тому же является пололсительно определенной, т.е. все ее углоеые миноры имеют положительное значение. Исходя из алгоритма Ы/-разложения, 292 нь численные метОды Решения слАу можно показать, что в этом случае диагональные элемеп ты матрицы Ь все положительны.
Значит матрица Р из ЬР1<-разложения А имеет на диагонали только положительны< значения, а потому ее можно представить в виде Р = РР = = РР, где Р = <11ая(~<7ы<, ~/)зз, ..., ~/7„„). Учитываем это и ЬР1<'-разложении симметрической матрицы: А = йРБ = <БР)<Р Б ) = (1РНЬР) Вопросы и задачи 10.1. Решить СЛАУ методом Гаусса.
Сделать проверку найденных решений: .<( 25х+ 15у+ 10х = 5, б) 15х+13у+ 4х= 3, 10х+ 4у+ 6»= — 2. 5х — 5у+5х = 2, Зх — 5у+ 5х = 3, 2х — у+ 2х = — 1; 10.2. Решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей методом прогонки: 2х< + хз =5, х<+Зхз+2хз =9 2хз — хз+ х4 — — 1, хз+Зх4 = 5; 2х< + хз 4, х<+2хз+ хз — — 3< хз+2хз+ х4 — — 12, хз+ 2х4 — 1 <. б) а) Мы получили еще одно мультипликативное разложение для симметрической положительно определенной матрицы в вид< т А = зз, где 5 — это нижняя треугольная матрица.
Это т разложение называют ЯЕ -раэлоз<семмем или разложением Холеи<яоео. Симметрические положительно определенные матрицы ча сто встречаются в прикладных задачах (например, в матема тической физике). Выполнение разложения Холецкого, вытека ющего из И<'-разложения, может быть проведено по таким ж< простым формулам, как и само 111-разложение. Но хранени< информации о разложении Холецкого требует меньше опера тивной памяти, так как нужно хранить только одну нижнюк> треугольную матрицу о'. Вопросы и задачи 10.3. Составить программу на одном из алгоритмических а ыкон, реализующую: а) метод Гаусса; б) метод Гаусса с иыоором главного элемента. Используя составленную программу, решить систему 0,1х — 8,0хз+9,3хз — 8,2х = 1,5, — 3,3х~ + 2,4хз — 2,8хз+ 2,4ха = 2, — 2,6х ~ + 1,9хз — 2,2хз + 1,9х4 — — — 1, — 1,3х~ + 9,3хз — 1,1хз+ 9,5х4 — 0 и т дом Гаусса и методом Гаусса с выбором главного элемента.
! '1сл нннть результаты. 10.4. Найти И7- и ЬРУ-разложения следующих матриц: а) 3 — 5 5; б) 3 — 14 2 !1ыполнить проверку полученных ответов. т 10.5. Найти Яо -разложение симметрических матриц: 11ы полнить проверку полученных ответов. 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Хривал впзороно пор*дна на плоскости в прлмоугольнон системе координат описывается уравнением Л*~+ В у+Суз+ Р + Еу+ Е= О, (! !.!) в котором коэффициенты А, В, с! одновременно не обращаются в нуль.
В этой главе мы не ставим себе задачу выявить все кривьн . которые могут быть представлены уравнением второй степени, т.е. мы не будем проводить их полную классификацию. Этп удобно выполнять при помощи методов линейной алгебры [!У), Здесь же мы опишем известные кривые второго порядка н их свойства, а также покажем, как можно упростить неко торые частные виды уравнения второго порядка при помощи преобразования параллельного переноса системы координат и определить вид кривой и ее характеристики.
11.1. Зллипс Определение 11.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Е~ и Ез есть заданная постоянная величина, называют эллипсоля. Определение эллипса дает следующий способ его геометри ческого построения. Фиксируем на плоскости дне точки Е! и Рз, а неотрицательную постоянную величину обозначим пер<э 2а. Пусть расстояние между точками Е! и Ез равно 2с. Прел ставим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена н точках Е! и Ез, например, при помощи двух иголок. Ясно, что 295 11.1. Эллипс возможно лишь при а > с.
Натянув нить карандашом, на- ~ ртим линию, которая и будет эллипсом (рис. 11.1). Рис. 11.1 Итак, описываемое множество не пусто, если а > с. При и г эллипс представляет собой отрезок с концами Г1 и 1',, а, при с = О, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а.
Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее яр дполать, как правило, что а > с > О. ~Риксированные точки г1 и Ез в определении 11.1 эллин- и (~ и. рис. 11.1) называют фокусами элликса, расстояние и жду ними, обозначенное через 2с, — фокалькым рассозояиием, а отрезки г1М н Е1М, соединяющие произвольную ~ку М на эллипсе с его фокусами, — фокалькыми радиусами.
Иид эллипса полностью определяется фокальным расстояпи~ м ~Г,Рг~ = 2с и параметром а, а его положение на плоскоти — парой точек Р~ и рз. Из определения эллипса следует, что он симметричен отноичч льно прямой, проходящей через фокусы г1 и Гз, а также пн ительно прямой, которая делит отрезок Е1Р1 пополам и ьэ рпендикулярна ему (рис. 11.2, а). Эти прямые называют ~олми элликса. Точка О их пересечения является центром 29б Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА симметрии эллипса, и ее называют центиром эллнкса, а точ.
ки пересечения эллипса с осями симметрии (точкн А, В, С и В на рис. 11.2, а) — еершинамн эллнкса. Рис. 11.2 Число а называют 6олыиой колуосью эл викса, а 6 = = ъ'аг — сг — его малой полуосью. Нетрудно заметить, что при с ) 0 большая полуось а равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины А и В на рис. 11.2, а), а малан полуось 6 равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины С и Р на рис.
11.2, а). Ъ'равнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках г1 и гг, большой осью 2а. Пусть 2с — фокальное расстояние, 2с = )Г~рг) ( 2а. Согласно опргделению 11.1 эллипса, его образуют те точки М, для которых ! Рт М ! + ~ Фг М! = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Оху на плоскости так, чтобы ее начало совпало с центром эллипса, а фокусы находились на оси абсцисс (рис. 11.2, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
