III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Покажем, как этих повторений можно избежать. 260 з. системы линейных уРАВнений Пусть задана СЛА У Ах = Ь. Запишем ее расширенную матрицу (А ~ Ь). Каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует аналогичное преобразование уравнений в исходной СЛАУ: а) умножение 1-й строки матрицы на число Л ~ О означает умножение 1-го уравнения СЛАУ на это же число; б) перестановке 1-й и Ь-й строк в матрице отвечает перестановка 1-го и Ь-го уравнений СЛАУ; в) добавление к 1-й строке матрицы ее Ь-й строки равнозначно замене 1-го уравнения его суммой с Ь-м уравнением СЛАУ.
Эти преобразования СЛАУ не меняют ее множество решений. Поэтому приведение расширенной матрицы системы с помощью элементарных преобразований ее строк к ступенчатому виду означает сведение СЛАУ к эквивалентной системе, имеющей ступенчатую матрицу. Итак, сначала приводим расширенную матрицу (А ~Ь) заданной СЛАУ с помощью элементарных преобразований строк к ступенчатому виду (А'~ Ь'). При этих преобразованиях ранги матриц не меняются, поэтому КфА~Ь) = ВЕ(А'~Ь'), а йнА = = ВЕА'. Ранги матриц А' и (А'~Ь') равны количеству их ненулевых строк. Если эти ранги равны, то по теореме 9А Кронекера — Капелли СЛАУ совместна, а в противоположном случае — несовместна.
В случае совместности в матрице А' ступенчатого вида выбираем, следуя 8.6, базисный минор и фиксируем соответствующие ему базисные и свободные неизвестные. В матрице (А'~Ь') ступенчатого вида отбрасываем нулевые строки (им соответствуют тривиальные уравнения) и по получившейся матрице восстанавливаем СЛАУ. В уравнениях этой СЛАУ слагаемые со свободными неизвестными переносим в правые части н получаем систему, матрица которой является верхней треугольной и невырожденной, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А'.
Последовательно исключая неизвестные, выражаем базисные неизвестные через свободные. 261 9.7, Как решать СДАУ 7 ( '.пободные неизвестные обозначаем как произвольные постоаппые и записываем общее решение СЛАУ в виде линейной комбинации столбцов, выделяя в правых частях полученных пыражений в отдельные столбцы: а) свободные члены; б) коффнциенты при каждой произвольной постоянной. В этой ш и иси столбец свободных членов есть часгпное реигение СЛА У, и толбцы при произвольных постоянных образуют нормальную ~1~ундпменгоальную систему решений однородной СЛАУ, соотш т< твующей заданной неоднородной системе. Если исходная СЛАУ является однородной, то изложенный м~ тод решения чуть упрощается, поскольку в расширенной матрице последний столбец является всегда нулевым н не м~ пяется при элементарных преобразованиях строк. Имея .
то в виду, его опускают, т.е. все преобразования проводят с мшприцей системы. Пример 9.2. Решим однородную СЛАУ х1 — хг+ хз — ха=О, х1+ хг+2хз+ Зх4=0, 2х1+4хг+5хз+ 10х4 = О, 2х1 — 4хг + хз — бх4 —— О. Чтобы найти общее решение, запишем матрицу системы и преобразуем ее при помощи элементарных преобразований спрок к ступенчатому виду: 1 — 1 1 -1 0 2 1 4 0 6 3 12 0 — 2 — 1 — 4 1 -1 1 — 1 0 2 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 — 1 1 — 1 1 1 2 3 2 4 5 10 2 — 4 1 — 6 Базисный минор в преобразованной матрице стоит вверху ~лева и имеет второй порядок.
Это значит, что ранг г матрицы системы равен двум, фундаментальная система решений 262 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ состоит из п — г =4 — 2 = 2 решений, а сама СЛАУ эквивалент- на следующей системе, которая соответствует преобразованной матрице: с х1 — хз + хз — х4 = 0~ 2хз+ хз+ 4х4 = О. Базисными неизвестными являются х1 и хз, а свободными — хз н х4. Выражаем базисные неизвестные через свободные: х1 = -1,5хз — хз, хз = — 0,5хз — 2х4. Вводим обозначения хз = с1, х4 = сз и записываем общее реше- ние СЛАУ: х1 = — 1,5с1 — сз, хз — — — 0,5с1 — 2сз, Хз = С1) Х4 = СЗ. Используя матричную форму записи, получаем — 1,5с1 — сз — 0,5с1 — 2сз =С1 С1 сз где х(1) нормальная фундаментальная система решений, а с1, сз— произвольные постоянные.
— 1,5 — 0,5 0 — 1,5 — 0,5 +сз 0 — 2 0 1 -1 — 2 0 1 263 9.7. Как решать СЛАУ? Пример О.З. Решим неоднородную СЛАУ х1 — хз+ хз — х4 = 4, х1+ хз+2хз+ Зхл — — 8, 2х1+ 4хз+ 5хз+ 10Х4 —— 20, 2х1 — 4хз + хз — бх4 = 4. !1реобразуем расширенную матрицу этой СЛАУ при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду: 1 — 1 1 — 1 4 1 1 2 3 8 2 4 5 10 20 2 — 4 1 — 6 4 1 — 1 1 — 1 4 0 2 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 '!Ьперь видно, что для преобразованной матрицы минор М,' 1Д является базисным. Поэтому 116А = Рсб(А ~5) = 2 = г, и, согласи теореме 9.1 Кронекера — Капелли, СЛАУ совместна.
Кроме пего, СЛАУ свелась к эквивалентной системе Е х1 — хз + хз — х4 = 4, 2хз+ хз+ 4Х4 — — 4, мггорая соответствует преобразованной матрице. Однако можно продолжить преобразования в матрице, упрощал базиспшг столбцы (1-й и 2-й) с помощью элементарных преобразований строк гак, чтобы в каждом из ннх остался один ненулевой .а мент, причем нулевые строки можно отбросить: 41 — 11 — 14101,516 ! — 1 1 — 1 О 2 1 4 0 0 0 0 0 0 О 0 1 — 1 1 — 1 0 2 1 4 0 6 3 12 0 — 2 — 1 — 4 4 4 12 — 4 265 9.7. Как решать СЛАУ? Преобразуем расширенную матрицу этой СЛАУ при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду: 1 — 1 1 — 1 4 0 2 1 4 4 0 6 3 12 12 0 — 2 — 1 — 4 — 3 4 8 20 5 1 — 1 1 — 1 1 1 2 3 2 4 5 10 2 — 4 1 — 6 1 — 1 1 — 1 4 0 2 1 4 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 — 1 1 — 1 4 0 2 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 цг !'еперь видно, что в преобразованной матрице минор М~ ' являцгд отея базисным для матрицы системы, а минор Мг'г'з — для расширенной матрицы.
Поэтому К6А = 2, К6(А~5) = 3 и, согласно теореме 9.1 Кронекера — Капелли, СЛАУ несовместна. Инрочем, несовместность очевидна и так, потому что последи й матрице соответствует СЛАУ, в которой третье уравнение имеет вид: Охг + Охг+ Охз+ Оха —— 1. Пример 9.5. Найдем все матрицы, нерестановочные с м и рицей А=( ). (Рбозначим искомые матрицы через Х. Условие перестановочи гти означает выполнение матричного равенства АХ = ХА. цтобы существовало произведение в левой части этого равен- ~ тна, матрица Х должна иметь две строки, а чтобы существовало произведение в правой части — два столбца.
Следователь- и, Х вЂ” квадратная натприца второго порядка, т.е. 266 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ и для ее нахождения требуется решить матричное уравнение (' 'И:.'::) =(:.',И' ') Перемножая матрицы в этом уравнении и приравнивая элемен- ты, стоящие на одинаковых местах в получающихся матрицах, приходим к равносильной системе четырех уравнений или Эта система имеет простой вид, и мы можем отойти от общей схемы решения однородных СЛАУ, продемонстрированной в примере 9.2. Легко увидеть, что если из второго уравнения вычесть удвоенное третье, то получится такое же уравнение, как первое и последнее. Поэтому первые два уравнения в этой системе можно отбросить и тогда х1+ хз — Х4 =О Х1 = — ХЗ+Х4, или Зхз — 2хз = О, х2 = 2хз/3.
Итак, хз, Х4 — независимые неизвестные, а х1, Х2 — зависимые неизвестные. Для независимых неизвестных положим хз = с1, х4 = с2 и тогда получим ответ в виде Х1 — — — С1 + С2, х2 = 2с1/3, ХЗ=С1, Х4 = С2~ или в матричной форме сз — с1 2с1/3 ~ С1 С2 Х1+ 2хз = х1+ Зхз, х2+2х4 =2х1+4х2, Зх1+ 4хз = хз+ Зх4, Зхз+4Х4 = 2хз+4х4, ЗХ2 — 2хз = О, 2х1+ Зхз — 2х4 = О, х1+ хз — х4 = О, Зхз — 2хз = О д.9.К СЛАУ с комилексными коэффициентами 267 ~ло гы сз Е К вЂ” произвольные постоянные. Если фиксировать лли гм сз конкретные значения, то из множества всех перестан ночных с А матриц будет выделена одна. Например, при ~ ~ -= 0 и сэ = 0 получается пулевая матрица, а при с1 = 0 и = 1 — — единичнал. Дополнение 9.1.
СЛАУ с комплексными коэффициентами Изложенный в главах 6 — 9 материал относится к „действиегльномук случаю, поскольку элементами матриц и определителей, коэффициентами СЛАУ являлись действительные чи- ~ ла. В качестве решений СЛАУтакже рассматривались наборы д иствительных чисел. Оказывается, что имеется „комплекс- и и " обобщение указанного материала. Для получения соотнгтствующего комплексного варианта того или иного из приведенных результатов достаточно заменить в формулировках и доказательствах действительные числа на комплексные 11-4.3). Специально подчеркнем, что для уравнений с комплексными коэффициентами сохраняется вся теория СЛАУ. В том числе остаются справедливыми: условия совместности СЛАУ (< м. 9.3) и свойства их решений; правило и формулы Крамера (см.
9сй) для квадратных СЛАУ с невырожденной матрицси'; условие существования ненулевого решения у однородной ~ 'ЛАУ; метод решения СЛАУ на основе приведения расширенной матрицы к ступенчатому виду. Пример 9.6. Решим квадратную СЛАУ второго порядка с к мплексными коэффициентами (г — мнимая единица, е' = — 1) < х1 — эхз = э'+ 1, х1+ 2хз — — 21. Вычисляем определитель оесА матрицы СЛАУ: 1 — 1 ое1 А = = 1.
2 — 1( — 1) = 2+ 1 ~ О. 1 2 258 а системы линейных уРАВнений Следовательно, матрица СЛАУ невырождена, и система имеет решение, притом единственное. Чтобы его найти, воспользу- емся формула.мн (9.3) Крамера: ,лф 1 ~ г+ 1 -11 (1+ 1)2+ 2гг хф = — —— —,~ дефА 2+г ~ 2г 2 ~ 2+г 2г 2г'(2 — г') 2+ 41 ! 2+г 5 5 'Ьг 1 ~ 1 г+1 ~ 21 — (г+ 1) — 1+1 — 1+31 дефА 2+1~ 1 21 1 2+г 2+1 5 Вопросы и задачи 9.1.
Решить СЛАУ и найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы: хф +2хз — х4 = 5, Зхф — хг+ хз+ 2х4 = 1, хф — 2хг+ хз+2х4=3, 5хф — Зхг+ 4хз+ Зх4 = 9, бхф — 5хг+ Зхз+ бх4 = 7. Зх1+ 4хг+ 2хз — хх = 3, а) 2х, + 2хг+ Зхз — 2хх = — 1, б) хф + 2хг — хз+ х4 = 4, бх1 — 8хг+4хз — 2х4 = 3; 9.2. Решить матричное уравнение 9.3. Найти общее решение СЛАУ Ах = Ь1 — 2Ьг, если известны общие решения систем Ах = Ьф и Ах = Ьг. 9.4. Может ли неоднородная СЛАУ Ах = Ь быть неопределенной, если столбцы ее матрицы линейно независимы (линейно зависимы)? 9.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
