III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2. Это ненулевой минор первого порядка. На втором шаге строим окаймляющий минор второго порядка. Добавляем 2-ю строку и 2-й столбец и вычисляем получающийся окаймляющий минор М,'~= =О. Это окаймление не подходит. Меняем 2-й столбец на З-й. Получаем минор второго порядка й41,з 2 3 Это окаймление подходит. Третий шаг: добавляем к этому минору 3-ю строку и можно снова попытаться испольэовать 2-й столбец. Оказывается, что 2 -4 3 1 — 2 1 =4+3 †4 †2, 0 1 — 1 гд,з гл1,'г,'з = значит, выбранный минор третьего порядка подходит. Четвертый шаг: добавляем 4-ю строку (других нет) и 4-й столбец и вычисляем определитель четвертого порядка 0 1 9 1-1 3 1 012 цг,зд Л4г,'г,'з,'4 = Выбранный окаймляющий минор не подходит. Меняем 4-й столбец на 5-й: 0 1 — 4 1-1 1 1 0-3 гл1,г,з,5 2-4 3 1 1 -2 1 -4 0 1-1 3 4 — 7 4 — 4 2 — 4 3 0 1 — 2 1 2 0 1 — 1 1 4-7 45 0 0 1 9 1 — 2 1 — 4 0 1-1 3 0 1 0 12 0 0 1 — 4 1-2 1 2 0 1-1 1 0 1 0-3 237 8.6.
Вычисление ранга матрицы Итак, ненулевой минор третьего порядка М~' ' имеет два 2Д,З окаймляющих минора четвертого порядка и оба они равны пулю. Других окаймляющих миноров четвертого порядка нет. Поэтому делаем вывод, что М ' з — базисный минор, а ранг 1,2,3 матрицы равен трем. Метод элементарных преобразований. При элеменнтрных преобразованиях строк (столбцов) матрицы ее ранг, согласно теореме 8.6, не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся. Например, согласно теореме 6.3, с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.
Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, с оответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как < оответствующая матрица является верхней треугольной, алюГи1е его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому привел< ние матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.
Пример 8.8. Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований. Для этого достаточно привести матрицу к ступенчатому виду, воспользовавшись, например, алгоритмом нз доказательства теоремы 6.3 (см. с. 178). Отметим, тго вычисления удобно проводить, если текущий элемент ранен единице. Поэтому операцию 2* алгоритма (перестановка строк) будем выполнять не только для замены нулевого текущего элемента (так было заложено в алгоритме), но также и для того, чтобы в качестве текущего элемента получить единицу или другое небольшое целое число.
Отметим также, что можно в любое время умножать ту или иную строку матрицы на ненулевое число, в частности сокращать элементы строки 238 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ на общий множитель, хотя это и не предусматривается алгоритмом. Эта дополнительная операция позволяет упростить вычисления: -~(Я Р>~- 1 — 1 — 2 1 — 4 2 2 — 2 — 4 3 1 О (2) -+ 12) — 2(1) О 1 1 - 1 3 1 (4) -+ (4) — 4(1) 4 — 3 -7 4 — 4 5 1 — 1 -2 1 — 4 2 О О О 1 9 -4 О 1 1 — 1 3 1 О 1 1 О 12 — 3 ~~2) н (е] 1 -1 — 2 1 — 4 2 ~~4~ м — (.'% О 1 1 — 1 3 1 О 1 1 О 12 — 3 1 — 1 — 2 1 — 4 2 О 1 1 — 1 3 1 О О О 1 9 — 4 О О О 1 9 — 4 ~~ЦЯ4~ — ~З)Д 1 — 1 — 2 1 — 4 2 О 1 1 — 1 3 1 О О О 1 9 — 4 О О О О О О Полученная матрица ступенчатого строки, поэтому ранг этой матрицы А равен трем.
Базисным минором 1,2,4 ется М1 'з'з. 2 — 2 — 4 3 1 О 1 — 1 — 2 1 -4 2 О 1 1 — 1 3 1 4 — 3 — 7 4 — 4 5 вида имеет три ненулевые и, следовательно, матрицы в последней матрице явля- 239 Вопросы и задачи 2 — 2 3 1 — 1 1 О 1 — 1 2 О 3 1 О 1 О 1 — 1 =1~ 0. (.'ледовательно, он является одним из базисных миноров мат- рицы А. Вопросы и задачи 8.1. Для заданной матрицы выяснить, существует ли обратная матрица, и, если существует, найти ее: 1 1 1 4 О -1 а); б); в) 2 3 2; г) — 1 4 -1 394 3 3 — 1 ('делать проверку ответов. Замечание 8.1. Приведенные два метода существенно ~ та ичаются друг от друга. При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться сюльшое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы.
Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из о базисных миноров. При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Прин м разница в объемах вычислений возрастает с ростом размероп матрицы и усложнением ее вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, и лученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнит| льные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.
И примере 8.8, вычислив наудачу минор третьего порядка, стовщий в тех же строках и столбцах, что и в преобразованной матрице ступенчатого вида, получим 240 в. ОБРйтнАЯ мАтРиЦА и РАИГ ЧАтРиЦы 8.2. При каких о Е К следующие матрицы имеют обратные: а) ; б) ; в) 2 3 а 8.3. Пусть А — невырожденная матрица. Что можно утверждать о виде матрицы А ~ и (или) ее элементах, если матрица А является: а) единичной; б) диагональной; в) симметрической; г) кососимметрической; д) нижней треугольной; е) верхней треугольной? 8.4.
Доказать, что матричное уравнение ХА = В с невырожденной матрицей А имеет единственное решение. 8.5, Решить матричные уравнения: а) Х=; б)Х 8.6. Найти матрицу Х из матричного уравнения: а) А (Х вЂ” В ~)А ~ = (АВ) б) ВА(3Х+2В')-'А-' = АВ-'А. 8.7. Найти определитель матрицы А, если известно, что А А = 4А 'А . Зависит ли он от порядка матрицы А? Приве: стн пример матрицы второго (и-го) порядка, удовлетворяющей указанному равенству. 8.8. Какой порядок имеет невырожденная матрица, если она удовлетворяет условию Аз+ ЗА = О? 8.9. Методами окаймляющих миноров и элементарных преобразований найти ранг матрицы: 31 — 2 0 2 1 01 2 13 12 1-1 55 0 — 2 4 3 — 1 — 1 1 3 — 12 1 — 1 — 20 4 3 — 33 1 — 1 1 в) 0 11 241 Воироом и задачи 8.10.
При всех а Е В. найти ранг матрицы: «) 3 О 1; б) О -2 2; в) О 2о 1 8.11. Доказать, что если для матриц А и В определено их произведение АВ, то всегда Ки(АВ) < пчахЩА, К8В~. 8.12. Привести примеры таких матриц А и В, что: и) Кя(АВ) < щах(КОА, К8В); б) К8(АВ) =шпак(К8А, К8В~. 8.13. Пусть матрицы А и В имеют один и тот же тип. Всегда ли выполнены следующие неравенства: . ) К8(А+ В) < 118 А+ ВО В; б) Кб(А - В) < КО А+ Вб Ву 8.14.
Привести примеры таких матриц А и В, что: п) К8(А+ В) < К8А+ НДВ; б) Нд(А — В) < К8А+ К8В; н) К8(А+В) =В8А+К~В; г) К8(А — В) =К8А+К8В. 8.15. Доказать, что ранг матрицы А не изменится, если ее умножить слева (справа) на любую невырождениую матрицу. 8.16. Пусть А — квадратная матрица, элементы которой являются функциями, непрерывными на отрезке 1а; 6). Можно ли утверждать, что ранг этой матрицы является функцией, непрерывной на этом отрезке? Привести иллюстрирующие примеры. 8.17. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие условию: а) Хз = Е; б) Хз = — Е; в) Хз = сз; г) Хз = Х; д) ХХ =Е; е) Х Х= — Е.
8.18. Доказать, что если невырожденная матрица А перестановочна с матрицей В, то и матрица А ~ перестановочна с матрицей В. 8.19. Доказать, что если некоторал квадратная матрица А удовлетворяет равенству Аз — Аз+ А+ Е = О, то она невырокденная. Выразить матрицу А ' через матрицу А с помощью многочлена второй степени. 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИ'ЧЕСКИХ огРАВНЕНИЙ 9.1. Основные определения Система т линейных алеебраических уравнений с п неизвестными 1сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида апхг+ а1гхг+...+ аг„х„=6г, анхг+ аггхг+...+ аг„х„=6г, (9.1) а~1хг + а,„гхг +... + а „х„= 6~. Уравнения системы (9.1) называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть мноеочлен от и переменных хы ..., х„, а линейными потому, что зти многочлены имеют первую степень. Числа а; Е К называют козффиииентами СЛАУ.
Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения г' и номером неизвестного г'. Действительные числа 6г, ..., 6 называют свободными членами уравнений. Запись СЛАУ в виде 19.1) будем называть координатной. СЛАУ называют однородной, если 61 = Ьг = ... = Ь,„= О. Иначе ее называют неоднородной. Решением СЛАУ; да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных х'„...,х'„, при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют ее частным решением. Решить СЛАУ вЂ” значит решить две задачи: — выяснить, имеет ли СЛАУ решения; — найти все решения, если они существуют. 243 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
