III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно, множество решений 251 9.9. Однородные системы с игтемы не изменится, если отбросить все уравнения начинал с (г+ 1)-го. Сделав зто, получим систему аыхг + асгхг+... + аг„х„= О, агг хе + аггхг +... + аг„х„= О, амхг+ аггхг+... + а„„х„= О. Разделим базисные хы ..., х„и свободные х„+ы ..., х„ пс известные, перенеся последние в правую часть, а в левой и тавив базисные: аых1+а12хг+...+асгхг ее — ас г+1х„»1 — ...— агох„, агс х1+ аггх2+ ...
+ а2„х„= — аг,„+1х„+1 — " — агох~ с аг1ХС + аггХ2 + ° ° ° + аггХ = пе г+\Хе+1 ' асссХо' Если мы зададим произвольные значения независимых неизвестных х„+с, ..., х„, то относительно базисных неизвестных псслучим нвадрапгную СЛАУс невырохсденнос) матрис»еб, решен ис которой существует и единственно. Таким образом, любое рсшение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями независимых неизвестных х„+с, ..., х„. Рассмотрим глс дующие й = н — г серий значений независимых неизвестных .гс+с, ..., х„: х„+1 — — О, (г) (/с) х„+2 — — О, х+ — — 1, (1) (2) х„+2 — — О, Хс +2 (г) хе+2 О (е) (9.6) х„=О; (1) х„=О; (г) = 1. (/с) :)десь номер серии указан верхним индексом в скобках, а сами серии значений выписаны в виде столбцов.
В каждой серии ,г, = 1, если у'= г, и х„+ —— О, если у ф(. 252 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Далее, (-й серии значений независимых неизвестных однозначно соответствуют значения х1, ..., х„ зависимых не- (1) (1) известных. Значения независимых и зависимых неизвестных в совокупности дают решение системы (9.5). Покажем, что столбцы х() *1 Л(') 2 (')— (9.7) (=1,й, х() образуют фундаментальную систему решений. Так как эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Аю = О и их количество равно к, то, в соответствии с определением 9.1 фундаментальной системы решений, остается доказать линейную независимость решений (9.7).
Пусть есть некоторая линейная комбинация решений ж(1), ..., ж(ь), равнал нулевому столбцу: о1ж(1)+...+аьи(ь) = О. Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами г + 1, ..., и равны нулю. Но (с+1)-я компонента равна о| 1+азО+... +оьО = а1. Аналогично, (г+ 2)-я компонента равна аз и, наконец, й-я компонента равна аь. Поэтому а| = аз = ... = аь =О, что означает линейную независимость решений х(1),...,ю(ь).
~ Построенная при доказательстве теоремы 9.4 фундаментальная система решений (9.7) имеет достаточно специальный вид, поскольку, согласно (9.6), в любом из решений (9.7) все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице. Такие фундаментальные системы решений называют морляальмььмм. 253 9.5. Однородные енотены Следствие 9.3. С помощью нормальной фундаментальной < истомы решений (9.7) однородной СЛАУ (9.4) множество всех решений можно описать формулой з = с<к( 1+...+ сью~ 1, (9.8) гд< постоянные с;, < = 1, <е, принимают произвольные значения. Согласно теореме 9.3, столбец (9.8) является решением рш < матриваемой однородной СЛАУ Аз = О. Поэтому остается доказать, что любое решение д1 дз д= той однородной СЛАУ можно представить в виде (9.8).
Расмотрим столбец ж = д„+<жП) +... + д„х(ь). Этот столбец совпадает со столбцом д по элементам с номерами г+1, ..., п и является решением СЛАУ (9.5). Поэтому столбцы д и ж совпади<от, так как решения системы (9.5) однозначно определяются набором значений ее независимых неизвестных х„+ы ..., я„, н у столбцов д и ж зти наборы совпадают. Следовательно, д —.- ж = д„+< ж1<1+... + д„к<~1, т.е. решение д есть линейная комГ<ипация столбцов ж~Ц, ..., ж~"1 нормальной фундаментальной истемы решений, что завершает доказательство. ~ Следствие 9.4. Для существования ненулевого решения л однородной квадрап<ной СЛАУ необходимо и достаточно, п обы ее матрица была выроо<едена.
4 Если матрица однородной системы невырождена, то, согласно следствию 9.1, однороднал СЛАУ имеет только нулевое р в<ение. Если же матрица однородной системы вырождена, то <ч определитель, являющийся в квадратной матрице единственным минором максимального порядка, равен нулю. Значит, рл,пг г матрицы системы меньше ее порядка и, следовательно, 254 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (9.9) где см ..., сь — некоторые постоянные. Эту теорему называют теоремой о структуре общего решения однородной СЛАУ. Это вызвано тем, что, согласно теоремам 9.3 и 9.5, при заданной фундаментальной системе решений х(~), ..., х(") однородной СЛАУ (9.4) выражение х, = с~х +... + сьх (1) (ь) (9.10) где см ..., сь принимают произвольные значения, описывает все множество решений.
Соотношение (9.10) называют общем решением однородной СДАУ. ~ Пусть некоторое решение однородной СЛАУ Ах = О имеет вид о х( ) *1 х (0) меньше количества п неизвестных. Поэтому й = и — г > 0 и однородная СЛАУ имеет нормальную фундаментальную систему из к > 0 решений (9.7). Каждое из этих решений является ненулевым (значение одного из неизвестных в каждом решении равно единице). ~ Однородная СЛАУ (9.4) может иметь не только нормальные фундаментальные системы решений, но и другие фундаментальные системы решений. Оказывается, что утверждение следствия 9.3 имеет место не только для нормальной фундаментальной системы решений, но и для произвольной фундаментальной системы решений, что и утверждает следующая теорема.
Теорема 9.5. Если х(~), ..., х(~) — произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ах = О, то любое ее решение х можно представить в виде х = с~х(~) +... + сьх( ), 255 9.Л. Однородные системы !О ограничивая общности, опять будем предполагать, что оазисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, гз . в первых г строках и столбцах. Тогда (см. доказательство георемы 9.4) рассматриваемая однородная СЛАУ (9.4) имеет г ° ке решения, что и система амхг+аггхг+ ..+огпх„= О, аг1 х1+ аггхг+...
+ аг„х„= О, о,гхг+а„гхг+ ..+аепх„=О. ьоторую можно записать в виде аых1+ а1гхг+... + аь х„= -а1 „+1х„+1 — ... — агпх„, аг1хг + аггхг + ... + аг„х„ = -аг,„+1х„+г — ... — аг„х„, а„1х1+ а„гхг+... + а„„х„= — а„„+1х„+1 — ... — а„пх„. : )та система, рассматриваемая как СЛАУ относительно базисных неизвестных хы ..., х„, имеет невырожденную матрицу, гак как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ (9.4).
Решая систему относительно гцюисных неизвестных (например, с помощью формул Крамери), получаем соотношения хг =ац„+гх„+1+...+ а1 х1, хг = аг „+гх„+г +... + агпхп, (9.11) хе = Ж',~+1хе+1 + ° ° ° + аепхп~ г)(г а; Š — некоторые числа. Запишем фундаментальную систему решений х('), ..., х(~) в координатной форме: х() 1 РО (')— г= 1,/с, (г) хп 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ и составим из столбцов х, х(1), ..., х(") матрицу (о) (П (ь) 1 Х1 ". Х1 (о) (П (ь) Х2 Х2 ''' Х2 (о) (1) (ь) (о) (1) (ь) г+1 г+1 ' ' ' г+1 В= Последние к столбцов матрицы В образуют фундаментальную систему решений н, согласно определению 9.1, линейно независимы, а так как по теореме 8.9 ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то К8В > й. Покажем, что К8 В < к.
Так как столбцы матрицы В являются решениями системы Ах = О, их элементы удовлетворяют соотношениям (9.11), т.е. Х, =а1г+1Хг+,+...+ а1„Х„, Н) () (1) Х2 — О2,г+1Хг+1 + .. ° + О2иха (1) (1) ( ) (9.12) Хг = Ог,г+1Хг+1 + + Оггьхгг ~ (') (1) (1) где 1 =О, г. Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних к = и — г строк с коэффициентами а1г+1, ..., о1„. Тогда, согласно первому равенству из (9.12), получим нулевую строку. Аналогично преобразуем строки 2-ю, ..., г-ю, используя оставшиеся равенства (9.12). В результате этих преобразований мы получим матрицу, у которой первые г строк нулевые.
Так как при этом ранг матрицы не меняется, то В.ЕВ < п — г = й. Поскольку Кб В = й, а последние к столбцов матрицы В, как уже отмечалось, линейно независимы, то, согласно теореме 8.8, они являются базнсными н, следовательно, первый столбец х, 257 9.6. Неоднородные системы < огласно теореме 8.7 о базисном миноре, является их линейной комбинацией. Это означает, что существуют такие постоянные г, (1= 1, Ь), что выполнено равенство (9.9). ~ 9.6. Неоднородные системы Рассмотрим произвольную СЛАУ Ах = Ь.
Заменив стол<н и Ь свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ Ах = О, соответствующую неоднородной СЛАУ Ах = Ь. Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного ргщенил неоднородной СЛАУ. Теорема 9.6. Пусть столбец х' — некоторое решение СЛАУ Ах = Ь. Произвольный столбец х является решением , той СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление .г = х'+ у, где у — решение соответствующей однородной СЛАУ Ау = О. и Если х — решение СЛАУ Ах = Ь, то А(х — х') = Ах — Ах' = 6 — 6= 9. Позтому столбец у = х — х' является решением соответствуинцей однородной СЛАУ, и мы получаем представление х = о+ Обратно, если у — произвольное решение соответствующей <>д~ородной системы, то х = х'+ у — решение системы Ах = Ь, так как А(х'+ у) = Ах'+ Ау = Ь+ О = Ь.
Следствие 9.5, Пусть х' и хн — решения неоднородной гигтемы Ах = Ь. Тогда их разность у = х' — хн является р< шепнем соответствующей однородной системы Ау = О. Теорема 9.б сводит проблему решения СЛАУ к случаю оде>родной системы: чтобы описать все решения неоднородной »», »<с»»» <»о»»> ои» 258 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СЛАУ, достаточно знать одно ее решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ. Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме 9.1 Кронекера — Капелли), а во-вторых, найти частное решение х' этой системы, чтобы свести ее к однородной системе. Следствием теорем 9.5 и 9.6 является теорема о структуре общего решения СЛАУ.
Теорема 9.7. Пусть х' — частное решение СЛАУ Ах = Ь и известна фундаментальная система решений хП1, ..., х1~1 соответствующей однородной системы Ах = О. Тогда любое решение СЛАУ Ах = Ь можно представить в виде х = х'+ сгх1 1+ сгх1 1+... + сьх1 1, (9.13) где с; Е К, 1 = 1, Й. Как и в случае однородной СЛАУ, название теоремы отражает то, что формула х=х'+х,, х =с1хП1+...+сьх11, (9.14) при произвольных постоянных с, Е К, г = 1, Ь, описывает все множество решений СЛАУ Ах = Ь.
Формулу (9.14) называют обшиля решением САА У. Как найти частное решение неоднородной СЛАУ Ах = Ь? Пусть для соответствующей однородной системы Ах = О выбраны базисные и свободные неизвестиные. Базисный .минор матрицы А является базисным и для расигиренной матрицы (А ) Ь), если СЛАУ Ах = Ь совмеспгна. Поэтому строки базисного минора определяют те уравнения СЛАУ Ах = Ь, из которых следуют остальные. Этн остальные можно отбросить. Итак, пусть есть СЛАУ аых1+ аггхг+" + аг х = Ьы аггхг+ аггхг+...+ аг„х„=йг, п„л хг + аьгхг+...
+ а „х„= Ь 259 9.7. Как решать СЛАУ? и базисный минор матрицы СЛАУ сосредоточен вверху слева: аы агг ... аы аг1 агг ... агт а,г а„г ... а,„ Г гда исходная система эквивалентна следующей: амхг + аггхг+... + ашх„= 6м аг1х1+ аггхг+... + аг„х„= 6г, аых1+ а„гхг+... + а„„х„= 6„. Пададнм нулевые значения х„ег — — ... — — х„= О для свободных ю известных и получим СЛАУ с нееырожденнов матрицей амхг + аггхг+ ...
+ аг„хт = 6ы аг1х1 + аггхг + ° ° + аггхг = 6г амхг + а~гхг+... + а„„х„= 6„, им< ющей единственное решение. Решая последнюю систему, находим значения х', ..., х„'. Тогда частным решением будет столбец х' 1 хО О 9.7. Как решать СЛА'У ? В принципе все уже изложено в предыдущих разделах. Однако описанная схема может быть достаточно трудоемкой из за того, что некоторые вычисления будут несколько раз повторяться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
