III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Некоторую матрицу называют реилемием матриимоео уравнения относительно неизвестной матрицы Х, если прн ее подстановке вместо Х матричное уравнение превращается в тождество. Начнем с уравнения АХ = В н изложим два метода его решения. Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы А ~ (например, при помощи присоединенной матрицы) и дает запись решения матричного уравнения в виде Х = А 'В. Действительно, подставляя Х = А 'В в уравнение АХ = В, получаем А(А 'В) = В, т.е. В = В,и Х = А 1В является решением матричного уравнения АХ = В. Более того, это решение единственно, так как для любого другого решения Х' выполнено тождество АХ' = В, после умножения которого слева на 223 8.3. Решение матричных уравнений А ' оказывается, что А '(АХ') = А 'В, т.е. (А 1А)Х'= Х и, ~ л< довательно, Х' = Х. Второй метод основан на эяеиенупарнах преобразованиях ~ мирок блочной матрицы (А~В) и имеет своей целью преобразование ее к виду (Е~ В~), в котором вместо матрицы А стоит единичная матрица Е.
Тогда матрица Вт и будет решением уравнения. Если матрица В совпадает с единичной, то в этом частном случае получается метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы. Пример 8.3. Найдем решение матричного уравнения АХ = = В, имеющего вид 3 4 7 8 Воспользуемся методом элементарных преобразований. Для этого запишем матрицу (А~В) и выполним те же элементарные преобразования ее строк,) что и в примере 8.2 (так как матрицы А и цели преобразований~совпадают): 3 47 8 0 — 2 — 8 — 10 1 0 — 3 -4 1 0 — 3 -4 Итак, ( — 3 — 4) Проверка ответа выполняется подстановкой найденного реше- ния в исходное уравнение: 1 2 — 3 — 4 5 б Матричное уравнение ХА = В также можно решить двумя пособами.
Если известна матрица А 1, то умножаем справа 224 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МА ТРИЦЫ на А 1 матричное уравнение ХА = В и после очевидных пре- образований (ХА)А '=ВА ', Х(АА ') =ВА ', ХЕ= ВА ' получаем ответ в виде произведения двух матриц Х = ВА 1. Пример 8.4. Найдем решение матрииного уравнения ХА = = В, имеющего вид 3 4 7 8 Поскольку обратная матрица А 1 известна (см. пример 8.2), то 7 8 1,5 -0,5 -2 3 Другой метод решения матричного уравнения ХА = В состоит в транспонировании его левой и правой частей (ХА) т т т т = В, А Х = В . После введения новой неизвестной матрицы т т т У = Х получаем уравнение вида А У = В, которое решается методом элементарных преобразований.
Пример 8.5. Чтобы решить матричное уравнение из примера 8.4, транспонируем его После элементарных преобразований строк блочной матрицы получаем (2) -+ (2) — 2(1) (2) -+ — 0,5(2) ° 225 8М. Ранг матрицы Итак, т — 1 -2 — 1 2 го о, конечно же, совпадает с решением этого уравнения, най- денным в примере 8.4. 8.4. Ранг матрицы Определение 8.2. Минором порядка к матрицы А типа тхп называют определитель, который составлен из эле,ментов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных Й строк и й столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.
Если выбранные строки имеют номера гм йз, ..., 1ю а < толбцы — ум 4з, ..., 4ь, то соответствующий минор будем обозначать М~';~'";~~». О миноре М,",-"'",~" говорят, что: — строки гм гз, ..., гь и столбцы 1м 1з, ..., уь матрицы входят в него; — он образован этими строками и столбцами; — он располагается на пересечении этих строк н столбцов; — он располагается в этих строках и столбцах матрицы. Строки, входящие в минор, попарно различны, и в обозначении минора естественно упорядочить их по возрастанию номеров. Это же относится и к столбцам. Правило возрастазд,в цня номеров означает, что, например, М1 ' 4 является минором некоторой матрицы, расположенным на пересечении 1-й, 3-й и 1-й строк с З-м, 5-м и 6-м столбцами, в то время как М,'з'4 з,з,в минором не является, потому что нарушен порядок столбцов (й-й столбец указан в верхних индексах перед 3-м).
Это просто » Л~ »»»т»ч»с»»» г»ом»»р»» 226 н. ОБРАтнАЯ мАтРиЦА и РАИГ мАтРиЦы определитель третьего порядка, который получается из минора М23'4 матрицы при перестановке в нем первых двух столб- З,в,е 5,3,6 цов. Поэтому, согласно свойству 7.2 определителей, М, ' ' 3,5,6 М1,3,4 ' Итак, мы следуем соглашению, что обозначение М~','";~" соответствует минору матрицы, если верхние и нижние индексы в нем строго возрастают. В противном случае, если индексы расположены в ином порядке, это обозначение соответствует определителю, который получается из соответствующего минора перестановкой строк и столбцов. Пример 8.6. У матрицы третьего порядка аы а22 а1з а2! а22 а23 девять миноров первого порядка, девять миноров второго порядка и один минор третьего порядка. Определение 8.3.
Ранголл матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров. Для ранга матрицы А используют обозначение К8А. Если нвадратнал матрица порядка п невырождена, то ее ранг равен ее порядку и: ненулевым является единственный минор максимального порядка и, совпадающий с определителем матрицы. В частности, ранг единичной матрицы Е порядка и равен п. Если квадратная матрица вырождена, то ее ранг меньше ее порядка: единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю. 227 8.4. Ранг матрицы Ранг диагональной ма<приам равен количеству ее ненулевых диагональных элементов. Непосредственно из определения ранга матрицы следует, гго ранг имеет следующее свойство, полностью его характери:<ующее. Свойство 8.1. Если ранг матрицы равен и, то матрица им< ет хотя бы один минор порядка и, не равный нулю, а все ее миноры больших порядков равны нулю. Теорема 8.5. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, т.е. К8А = К8А. ~ Если мы покажем, что при транспонировании матрицы А т <н ранг г не убывает, т.е.
В8А > и, то сможем прийти к <ледующему заключению. Поскольку (А ) = А, то и = К8А < .; К8А < К8(А ) =ВиА=с, и поэтому К8А =т. т Итак, докажем, что В8А > и. Согласно определению 8.3 ранга матрицы, существует ее минор порядка и, отличный от пуля. Пусть это будет минор М = М~<~'";~'. При транспонироиапни строки и столбцы меняются местами. Поэтому минору М, обРазованномУ стРоками гм <з, ..., <„и столбцами 1ы Уз, ..., )„матрицы А, соответствует минор Ж = Х",,","" матрицы А, обРазованный стРоками Ум Уз, ..., 1„и столбцами гм <з, ..., <'„.
Нгно, что эти миноры получаются один из другого операцией транспонирования. Согласно свойству 7.1 определителей, они равны. Таким образом, найден минор и-го порядка в матрице т А, а именно минор Ф, который не равен нулю. Следовательно, К8А >г.> Теорема 8.6. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов. < Согласно теореме 8.5, ранг матрицы не будет меняться при :<лементарных преобразованиях ее столбцов, если он не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк. Поэтому 228 8.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ случай столбцов можно не рассматривать. Так как элементарные преобразования обратимы, нам достаточно доказать, что ранг матрицы при элементарных преобразованиях строк не увеличивается, а для этого нужно показать, что произвольный минор М = Ж~',~'";.~' преобразованной матрицы А' равен нулю, если его порядок 1 превышает ранг г исходной матрицы А. При умножении 1-й строки матрицы А на число Л ~ О возможны два случая. 1. Элементы 1-й строки не входят в минор Х.
Тогда минор Х является минором матрицы А и равен нулю, так как 1 > г. 2. Элементы 1-й строки входят в минор Ф. Тогда, согласно свойству 7.4 определителей, Х = ЛМ = О, где М = М~',~',~'— минор матрицы А, который равен нулю, так как его порядок 1 больше г. При перестановке двух ~трок в матрице А с номерами 1 и й возможны три случая. 1. Элементы обеих строк входят в минор М. Тогда, согласно свойству 7.2 определителей, перестановка соответствующих строк в миноре Х изменяет его знак, но превращает в минор М = М~,",,'";",' матрицы А порядка! > г. Следовательно, Х = = — М = О. 2.
Элементы обеих строк не входят в минор Ф. Тогда минор М является минором матрицы А и равен нулю, так как 1> г. 3. Одна из строк 11-я) входит в рассматриваемый минор Д1, а другая (й-я) не входит. Не нарушая общности доказательства, можем считать, что 1-я строка матрицы есть 1-я строка минора, т.е. г =1ь Минор Ж матрицы А' представляет собой определитель, составленный из строк и столбцов матрицы А.
Но этот определитель, вообще говоря, не является минором А из-за нарушения порядка строк. Восстановив естественный порядок строк, мы получаем минор М матрицы А порядка 1 > г, который совпадает с Ф или отличается от него знаком. Следовательно, % = М = О. При добавлении к 1-й строке матрицы А ее я-й строки с коэффициентом Л возможны три случал. 8.4. Ранг матРнлм 229 1. Элементы обеих строк входят в минор Ф. Не нарушал $бщности доказательства можем считать, что ! = !ы а Й = !з. Тогда, согласно свойствам 7.3, 7.4 определителей, дà — д!3!~~- $! — Мт$т'- т! + ) М3$3$- ~! — 9 — !ь$$- й $$л$$- й $$ь$$...$! э!скольку минор Мтьт,""~' равен нулю как минор матрицы Л порядка !' > г, а определитель М",$ь'$"';! равен нулю как определитель, имеющий две одинаковые строки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
