III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Свойства определителей Поскольку определители соответствуют квадратным матрицам, в их теорию легко переносится матричная терминология (порядок, элементы, строки, столбцы, диагональ, диаеанальные элементы, виды матриц и определителей, транспонирование, элементарные преобразования строк и столбцов, линейные комбинации строк и столбцов и др.).
При изучении определителей используют эту возможность, подразумевая однако, что терминология относится к матрице определителя. Свойство 7.1. Определитель не меняется при транспонировании. ~ Фактически требуется доказать, что для любой квадратной матрицы А вида (7.2) выполнено равенство деФА = деФА. Прежде всего отметим, что если произведение а1а1аза~ ° ана является слагаемым в определителе аес А, то оно является слат гаемым и в определителе пей А . Действительно, если сомножители этого произведения расположены в разных строках и разных столбцах в матрице А, то они обладают этим же свойством т и в транспонированной матрице А . Знак этого слагаемого в де1 А определяется подстановкой Однако в транспонированной матрице сомножители этого слагаемого расположены на симметричных относительно диагот пали матрицы местах.
Поэтому в де1А его знак определяется подстановкой о1 оз 189 7.3. Свойства оиределитаесй Четности подстановок <т и т совпадают, так как общее число инверсий в их строках равно числу инверсий в пересгиаиовке (оы ог, ..., се„). Поэтому совпадают и знаки рассматриваемого слагаемого в де$ А и с1е1 А . Следовательно, беФ А = с1е~ А. ~ь Согласно свойству 7.1, строки и столбцы определителя равноправны в том смысле, что любое доказанное утверждение о ~ троках определителя сразу переносится на столбцы и наоборот.
Учитывая зто, мы, хотя и формулируем нижеследующие утверждения для строк н столбцов, доказательства проводим только в одном варианте. Свойство 7.2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный. < Обозначим через Ь определитель матрицы А вида (7.2), а через Ь1 — определитель, полученный из Ь перестановкой 1-й и г-й строк: аы а~г .. аг„ аы а1г ... аг„ ап сиг ... а, а,ч ауг ..
а „ Ь1 —— оп спг ° ° ° ого а~ч ауг ... ау„ а„~ аог ... ав оо1 ног ... а„„ Если произведение а1, ...а;, ...ау,...а„„является слагаемым в определителе Л, то оно является слагаемым и в определителе Ьы и наоборот. Это следует из того, что если сомножители этого произведения расположены в разных строках и разных столбцах в матрице определителя Ь, то они обладают этим же свойством и в матрице определителя Ьм и наоборот.
Знак этого слагаемого в Ь определяется подстановкой 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Однако в Ь1 знак этого же слагаемого определяется подста- новкой Поскольку первая строка подстановки т получается из первой строки подстановки и при помощи одной транспозиции, а вторые строки у них совпадают, эти подстановки имеют разную четность. Значит, определители Ь и Ь| содержат одинаковые по абсолютной величине слагаемые, но с противоположными знаками. ~ и аы ... а,„... а1„ н агг ... аг ...
аг„ аы ...а, ...а1„ / пю "пг' ..аг ° аы ...а, +а, ...а1„ ! и аг1 ... а' -+аг' ... аг„ а„1 ... а„... а„„ / и а г "а„".а а„1 ... а„,+ащ ... а„„ ! и Аналогично, если все элементы 1-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме 1-й, такие же, как и в данном определителе, а 1-я строка первого определителя состоит из первых слагаемых г-й строки данного определителя, вторая — из вторых слагаемых: аы агг ... аг„ аг1 а|г ...
а1„ аы а1г ... а1„ и и л а; а; ... а,„ / / а,,а, ...а,„ а', +а," а';. +а' ... а,'„+а'„ ам а„г ... а„„ Свойство 7.3. Если все элементы у-го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме г-го, такие же, как и в данном определителе, а г-й столбец первого определителя состоит из первых слагаемых гаго столбца данного определителя, а второго — из вторых слагаемых: 191 7.2. Свойства определителей < !!усть, например, элементы г-й строки определителя пред- < тавлены в виде суммы двух слагаемых.
Тогда агг аго а11 / и / Р / П а 1+ам аг+аг ... а +а а„1 а г = ~) ( — 1) ~ага агог ..(а' ,+а," )...а„„= и ( — 1)~~~аг,...а;'„...а„„„+ ~) ( — 1)~~~аг,...а' ...а„„= аы агг ... агв аы агг ... аго / / / а;, асг ... а;„+ и и П а; а, ... асв авг авг .. а„„ а„г а„г ... авв что и требовалось доказать. ~ аы ... агу ... аг„ аы ... а1, ... аго Ла,г ... Лоб ...
Ла,„ аи ... а;, ... а со а„г ... а„... авв а„г ... а„... а„„ аы ... Лаг ... агв аы .. агг ... аго аи ... Ла; ... асо а,г ... а; ... а,„ а„г ... Ла„... а„„ а„г ... а„... а„„ Свойство 7.4. Общий множитель элементов строки или столбца может быть вынесен за знак определителя. Для умножения определителя на число достаточно умножить на это число элементы любой строки илн любого столбца: 192 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ~ Пусть, например, элементы д-й строки определителя имеют общий множитель Л. Тогда аы .. аду ... ад„ ( — 1)~ ~ад„д...
(Ла;,)...а„„= Ла;д ... Лаб ... Ла;„ а„д ...а„...а„„ адд ... адд ... ад„ а д ... а;„ ... а;„ = Л ,'д ( — 1)~ ~ад, ...а;„, ...а„„= Л а„д ...а„...а„„ где первое и последнее равенства выполняются в силу опреде- ления 7.1. ~ < 1) Так как определитель является суммой произведений элементов из каждой строки, то в каждом таком произведении есть нуль — какой-то элемент иэ нулевой строки. Следовательно, все слагаемые в сумме (7.3) равны нулю, как и сам определитель. Доказанное свойство диссонирует со свойствами умножения матрицы на число.
Действительно, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на число. Но умножение определителя на число — это лишь умножение одной строки или столбца матрицы определителя на зто число. Поэтому, если А — квадратная матрица порядка и, то д1ед(ЛА) = Л" дед А. Свойство 7.5. Определитель равен нулю, если он имеет: 1) нулевую строку (столбец); 2) хотя бы две одинаковые строки (столбца); 3) хотя бы две строки (столбца), элементы которых пропорциональны; 4) хотя бы одну строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов). 193 7,г. Свойства определителей 2) В соответствии со свойством 7.2 определитель меняет знак при перестановке строк.
Если некоторый определитель Ь имеет одинаковые строки, то при их перестановке он изменяет знак, но в то же время при такой перестановке он не изменяется, так как переставляемые строки одинаковы. Следовательно, Ь= — Ь, те. 2Ь=О, откуда Ь=О. 3) Пусть, например, элементы 1-го столбца пропорциональны элементам гчго столбца с коэффициентом пропорциональности Л.
Тогда в силу свойства 7.4 общий множитель элементов 1-го столбца можно вынести за знак определителя: Лагг атг ... ат ... аги Лаг агг ... аг ... аг„ агг агг ... агг ... аьи аг агг ... аг ... аги аи1 аиг ... а„; ... а„„ Ла„, а.г .. асг ... аои Последний определитель равен нулю, так как имеет два одинаковых столбца. 4) Пусть, например, 1-й столбец определителя Ь является линейной комбинацией всех остальных столбцов: ,') Льать а1г ... аги ь=г Е Льагь агг "° аг й=г ЛьЕК, Й=2,п. 2, Льа„ь а„г ...
аии ь=г 1 Итилитииесиии геометрии Некоторые ноэффициентаы линейной комбинации, представляющей 1-й столбец, могут быть нулевыми. Это равносильно тому, что соответствующие столбцы не участвуют в линейной комбинации. Используя свойства 7.3, 7.4 определителя, полу- 194 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ чаем аг„ агг ... аг„ + Л аг„ агг ... аг„ агг агг ... аг„ агг агг .. аг Ь=Лг а~ аг " а а„г а„г ... а„„ = ЛгО+...
+ Л„О = О, где последние определители равны нулю, так как имеют по два одинаковых столбца. в Свойство 7.6. Определитель не изменится, если к любой его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов): аы агг ... аг„ агг агг ... аг. а„г а„г ... а„„ Ль б К (к 1-му столбцу прибавлена линейная комбинация осталь- ных столбцов); аы+~ й,ац агг+~ Ца г ... аг„+~й;а;„ агг аг ° аг~ а„1 а„,г ... а„„ а„г а„1 Йг Е В 1к 1-й строке прибавлена линейная комбинация остальных строк).
аы+ ~ Ллагь а1г ... а1„ ь=г аг1+ ~ Льагь агг .. аг„ ь=г а а„г+ ~, Льа„ь а„г ... а„„ ь=г аы агг ... а1„ аг1 агг " аг 195 7.2. Свойства определителей ~ В силу свойства 7.3 определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен нулю в силу нойства 7.5. Например, для 1-го столбца это означает, что ам+ ~ Льагь ь=г а21 + ~', Льагь Ь=г а12 ... а1 аы о12 ... а1„ П21 Огг П2 пгг ...
аг ° а„1 авг ... а„„ и а 1+ Е Льавь пвг " а ь=г Льагь агг ... а1„ 11=2 Льпгь агг ... ог„ ь=г ам агг ° .. бра аг1 агг .. аг„ ~, Льа„ь авг ... а„„ ь=г Пвг авг ... П„„ В матрице А вычеркнем 1'-ю строку и г'-й столбец, в которых стоит элемент а; . Из оставшихся элементов можно составить новую квадратную матрицу (и — 1)-го порядка, сдвинув строки и столбцы после вычеркивания. Такой способ образования этой матрицы означает, что элемент аы матрицы А, расположенный и Й-й строке, при Й > 1 оказывается в (Й вЂ” 1)-й строке новой матрицы. Аналогично, при 1 > 1' этот же элемент оказывается и (1 — 1)-м столбце новой матрицы.
Определитель построенной матрицы обозначают через М; и называют ммкороле (матрицы А и ее определителя Ь), соответствующим элементу и; . '1исло Ам —— ( — 1)'+1М; называют олееброккеским догголкеиием, соответствующим этому же элементу ог . Миноры и алгебраические дополнения позволяют, в частности, вычислять определитель и-го порядка путем сведения его к вычислению п определителей (а — 1)-го порядка. 196 7. О()РЕДЕЛИТЕЛИ Свойство 7.7. Определитель Ь квадратной матрицы А = = (а1 ) порядка п можно представить в виде Ь=Я п1А; =~ ( — 1)1+1а; М;, (7.4) или Ь = ~ а1 А; = Я( — 1)1+)а; М; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
